第二章2）研究L函数的零点分布，从而证明了：一定存在一个正常数no使对任意的正数n<m及任意正数A，有估计式(36)究()<log 4x成立，进而，他利用Brun筛法和这一结果证明了命题(1，6)，但这里的正数及正整数b都是没有定出具体数值的常数，所以这是一个有趣的定性结果。若用他原来的方法去确定常数，"将会很小而将是很大的.这样，具体地定出尽可能大的，并确定b和之间的联系，就是证明命题（1，的关键问题了1962年，潘承洞[8证明了当%一时，估计式（36）成立，并2由此得到命题1，5]；1推出了1962年，王元141从进一步改进筛法手，由一3命题【1，4}，同时，他还得到了和b之间的一个非显然联系：可分别推出命题（14]及{1，3]从no及二2.4753.3271二1及-1963年，JTeBMH[69]把这一结果改进为no=2.4953.271962年，潘承洞186]及1963年，Eap6a[2互相独立地证明了三时估计式（36）成立，并利用较为简单的筛法就证明了命n8题{14];1965 年， Byxurauo 由 no 号推出了命题(1,3);C1965年，A.H.BmHorpa及oBlu3]及E.Bombieri[4 都证明了1时估计式（36）成立，Bombieri的结果要稍强些（见第八2章1），这一结果通常称为Bombieri-BHorpanoB定理，它的重要性是在于它在某些数论问题中起到了可以代替GRH的作用，由这一结果再利用王元或JeBH的工作，他们就得到了命题1，3这里应该指出的是，Bombieri的工作对大筛法，特别是大筛法在数论中的应用作出了重要的贡献（第八章2）
1966年，陈景润18]宣布他证明了命题（1，2]，当时没有给出详细证明，仅简略地概述了他的方法。1973年，他发表了命题{1，2]的全部证明[19]，应该指出的是，在他宣布结果到发表全部证明的整整七年之中，没有别的数学家给出过命题【1，2}的证明，而且似乎国际数学界仍然认为命题（1，3)是最好的结果，因此，当陈景润在1973年发表了他的很有创造性的命题（1，2】的全部证明后，立即在国际数学界引起了强烈的反响，公认为这是一个十分杰出的结果，是对Goldbach猜想研究的重大贡献，是筛法理论的最卓越运用，并且一致地将这一结果称为陈景润定理，由于这一结果的重要性，在很短的时间内，国内外先后至少发表了命题（1，2)的五个简化证明138],[8],[39],[107],[323陈景润的贡献，就方法上来说，在于他提出并实现了一种新的加权筛法，在第九章，我们将会看到，为了实现他的加权筛法，在估计余项上出现了Bombieri-BHHorpanoB定理所不能克服的困难后来，在文【89]，【90]中指出，利用陈景润的加权筛法证明命题（1，2）的基础是证明下面新的一一类均值定理（见第八章52）：>p(y; a,l,d):g(amaxmaxyax(i)=l1210E欧X-(37)log-x(a)a)这亦是陈景润20最近改进D（V）上界估计的基础。我们将在第八章讨论（36），（37）二种类型的均值定理，并在第九章证明命题【1，3]，（1，2]及介绍陈景润改进D（N）上界估计的方法(三)密率最后，我们极简单地谈谈密率。密率是JI.r.ILIHupeJIbMaHCxo9]在1930年所首先提出的关于自然数集合的一个十分重要的基本概念，密率理论后来有广泛的发展和应用。关于这方面的内容可参看[51]，[81]，[37]，这单不作介绍了，13
在Landau提出想（C)，并预言证明它是当代数学家力所不及的之后，仅仅过去了二十年，IHipebMaHo9)在1933年就利用他的密率理论和Brun筛法证明了猜想（C)，但他没有定出其中的常数。如果我们以表示最小的整数，使每一个充分大的正整数都可表为不超过s个素数之和（s通常称为IHpeJsMaH常数），从HpemaH的方法可以证明：800000，这一结果后来得到了不断的改进。1935年，POMaHOBLu061证明了5≤2208；1936年，Heilbronn，Landau 及 Sckerk(45]证明了≤71;1936年，Riccica02l证明了，≤67;1950年，Shapio1141证明了≤20；1956年，尹文霖71证明了5≤18以上结果都是用初等的密率理论结合筛法得到的。如再利用解析数论的一些高深的结果，可对：的数值作进一步的改进。这方面的结果是：1968年，Siebertl115]及Ky391eB，Heypot6al都证明了，≤10;1976年，Vaughanl28证明了≤6.还应该提出的是，一些作者定出了猜想（C）中的常数，这方面的结果是：1972 年，KJMOB，IlaubTi及 IIleTIIkag(62]证明了≤115;1975年，KJIMOB[63]证明了≤55;1977年，Vaughanl129]证明了27V由于从三素数定理立即可推出≤4，所以本书将不讨论密率及其所得到的结果，当然，关于常数的结果，目前只有用密率的方法才能得到。以上我们简单地回顾了二百多年来研究Goldbach猜想的历史，介绍了主要的研究方法和取得的主要成果。对Goldbach猜想I）日前最好的结果是J.M，Deshouillers（见Math，Reviewr，575933）证明的26.16
的研究有力地推动了数论，函数论等一些数学分支的发展。它和无数例子一样，再一次生动地证明了合理的假设在科学发展中的重要地位和作用，一个有价值的假设，不管它最终被证明是正确的，错误的，或是部分正确，部分错误，都将引导人们去探索新的科学真理，推动科学的向前发展。从1966年陈景润宣布他证明了命题（1，2]，到今天已经过去十三个年头了应该说在这时期中，对Goldbach猜想的研究没有重大的实质性的进展，·事情往往是如此，对于研究一个问题来说，迈出开创性的第一步和走上彻底解决它的最后一步都同样是最困难的．虽然，表面上命题（1，2】和命题1，1}Goldbach猜想的基本解决一仅“1”之差，但是，看来完成这最后的一步所要克服的困难可能并不比我们已经走过的道路要来得容易，我们也没有多少把握可以肯定，沿着现有的方法一定可以最终解决Goldbach猜想。至今对于猜想（A），我们甚至还不能给出一个假设性的证明。只要稍为看一下现有的解析数论的基础理论就不难发现，我们对于Dirichlet特征，素数分布，函数，L函数理论等方面的知识仍然了解得非常之少圆法，在对余区间上的积分D（N）的处理一也就是对线性素变数三角和S(α，N）的估计一一碰到了巨大的困难。初等的筛法和密率（也需要筛法）虽然和解析方法相结合使它变得十分强有力，但现在的筛法毕竟是十分粗糙的，也许这种方法有其天然的局限性。我们对素数的算术性质同样也知道得极其肤浅。或许可以认为，今天对猜想的研究正处于一个相对的停滞阶段。这就是说，需要我们对原有的方法和结果作出重大的改进，或提出新的方法才有可能使Goldbach猜想的研究得到新的推进，因此，把迄今为止研究Goldbach猜想的主要方法和得到的主要成果作一总结是必要的和有益的。二百多年来，许许多多的数学家对Goldbach猜想从各个不同角度作了大量的研究，从方法到结果都是极其丰富的。要作一个全面的、恰如其份的、有创见和启发性的总结，显然是不容易的.这17
不是本书的任务，也是我们力所不及的，在这一本小书中，我们打算讨论一下圆法和筛法（Selberg筛法），以及与其有关的大筛法，函数、L函数理论，线性素变数三角和估计、复变积分法等。我们要证明的主要结果，是三素数定理和命题1，2]，同时介绍一下D(N）上界估计的改进及有关Goldbach数的若干结果.就方法和结果来说，我们比较侧重于基本方法的介绍。有一些结果（如线性素变数三角和估计，算术级数中素数分布的均值定理等）可以用不同的方法加以证明，我们认为这些方法都是重要的，所以都作了介绍。有时，对所用的方法作更细致，技巧更复杂的讨论后，可以得到更强的结果，但为了把基本方法介绍清楚，我们宁可使这里所证明的结果不是最好的（如命题【1，3，（1，2}中的系数，D（N）上界估计中的系数等，我们希望本书中所介绍的方法不仅对研究Goldbach猜想，而且对整个解析数论都是重要的．有些数学家把Goldbach猜想看作是一个更广泛的猜想的一部分，本书将丝毫不涉及这种推广。从目前来看，我们认为猜想的最原始，最简单的形式也是最重要的.大家知道，关于偶数Goldbach猜想的每一个结果都可相应地推广到李生素数上去，但本书亦将不讨论这一着名问题本书末所列出的文献仅是本书所需要的，当然是不完全的。在[50],[38]及[82]等著作中附有有关内容的十分详尽的文献，初等数论和解析数论的基础知识是本书所需要的预备知识前者主要可参看[51]，【80]，【137]及【43］等书，后者主要可参看[60]，[25]，[92]，【81]及［123］等书，由于篇幅所限，我们对以下的内容：（1）（）在临界长条0<α<1中的阶的估计（见第四章2引理5).（2）5（）及L函数的非零区域（见第十章1引理11，第十二章51引理1）（3）Turin方法（见第十章≤2)（4）素变数三角和（pα)的估计（见第六章s5引理15）。将不给出证明，在文中将指出参考文献