家[23]:[120]:[28].L46):L47]差不多同时证明了：几乎所有的偶数可以表为二个奇素数之和，确切地说，他们证明了，对任给的正数1，我们有(25)E(")《loga（见第十一章1）.华罗夷7的结果比旁人要强，他还证明了对任意给定的正整数，几乎所有的偶数都可表为P+，P1P为奇素数。1972年，Vaughan1z句证明了：存在正常数c使E(x) < x exp(-c log r)(26)1973年，Ramachandra[95）把结果（25）推广到了小区间上（见第十章53）..1975年，Montgomery和Vaughan[3]进一步改进了（26），证明存在一个正数么>0，使E(α)《x1-A(27)（见第十一章52）.这是一个很漂亮的结果，在这里他们第一次把大筛法应用于对圆法中基本区间的讨论。为了证明这一结果几乎用到了L函数零点分布的全部知识（见第十章）.最近在文献[21]中，定出了常数A≥0.01通常我们把可以表为二个奇素数之和的偶数称为Goldbach数，而E（）称为不超过x的Goldbach数的例外集合，以上关于猜想（A）的结果是证明了：几乎所有的偶数都是Goldbach数，并逐步改进了对Goldbach数的例外集合E（x）的阶的估计，此外，还应该提到的是，JIHHHHK(7首先利用圆法研究了相邻Goldbach数之差这一一有趣的问题，我们将在第十二章中讨论。(二）筛法其次我们来谈谈筛法。在提出圆法的同时，为了研究猜想（A），数论中的一个应用广泛的强有力的初等方法一一筛法也开
始发展起来了，要解决猜想（A）实在是太困难了，因此人们设想能否先来证明每一个充分大的偶数是二个素因子个数不多的乘积（通常这种数称为殆素数）之和，由此通过逐步减少素因子的个数的办法来寻求一条解决猜想（A）的道路，·设，b是二个正整数，为方便起见，我们以命题（a，6）来表示下述命题：每一个充分大的偶数是一个不超过个索数的乘积与一个不超过b个素数的乘积之和。这样，如果证明了命题1，1，也就基本上解决了猜想(A).大家知道，筛法本是一种用来寻找素数的十分古老的方法，是二干多年前的希腊学者Eratosthenes所创造的，称为Eratosthenes筛法，我们的素数表基本上就是用这种方法编造的。但是，由于这种原始的筛法没有什么理论上的价值，所以在很长的时期里都没有进一步的发展。用现在的语言简单地来说，我们可以这样描述筛法[38]：以表示一个满足一定条件的由有限多个整数组成的集合（元素可重复），以表示一个满足一定条件的无限多个不同的素数组成的集合，≥2为任一正数。令P(z) -- II p.(28)BEE我们以s；，）表示集合中所有和P（）互素的元素的个数，即MS(8; C,)=(29)1(a,rE)-1这里P（）好象是一个“筛子”，凡是和它不互素的数都被“筛掉”，而和它互素的数将被留下，这正是“筛法”这一名称的含意，这里的“筛子”是和集合及“有关，“愈大“筛子”就愈大，被“筛掉”的数也就越多，而S（；，）就是集合经过“筛子”P（）“筛选”后所“筛剩”的元素个数。我们把S（&；$，）称为筛函数，粗略地说，筛法就是研究筛函数的性质与作用，它的一个基本问题就是要估计筛函数S（：，）的上界和正的下界（因为S（.效；，）总是非负的）.10*1
现在，我们先来看一下命题4，是怎样和筛函数联系起来的，设N为一大偶数，取集合(30)=&(N)-(n(N-n),1nN),为所有素数组成的集合。再设≥2,取z一NI如果能证明(31)(: G, NI) >D,则显然就证明了命题{4，4)，这里[2一1，a是正整数，(32)[a],入不是正整数，若当=2时，（31）成立，则就证明了命题（1，1.另一方面，若求得S（划；@，NI）的一个上界，那么我们就相应地得到了个大偶数表为二个素因子个数不超过。个的数之和的表法个数的上界.如果我们取集合(33) = (N) = (N-- P. P≤N),那末，如果能证明(34).S(%: , N)>0,则显然就证明了命题（1，gl.同样，若求得S（宠：，NV）的一个上界，那么我们亦就相应地得到了偶数表为一个素数与一个素因子不超过个的数之和的表法个数的上界，由以上的讨论可清楚地看出，命题（4，和求筛函数的正的下界及上界这一问题是紧密相关的。而且必须着重指出的是，这里要求所取的值相对于N齐说不能太小，一定要取N那么大的阶，显然1能取得越小越好。如果一种筛法理论仅能对较小的z（相对于N），比如说取log'N大小时才能证明筛函数有正的下界估计，那么这种筛法理论对于我们的问题来说是无用的。而古老的Eratosthenes筛法却正是这样一种筛法（见[38]，［50］，【81]】。直到1920年前后，才由Brun[9]首先对Eratosthenes筛法作了具有理论价值的改进，并利用他的方法证明了命题9，9这一惊人的结果，从此开辟了利用筛法研究猜想（A）及其他许多数论问11
题的极为广阔且富有成果的新途径，：Brun对数论作出了重大的贡献．人们称他的方法为Brun筛法。Brun筛法有很强的组合数学的特征，比较复杂，而且应用起来并不方便，不过Brun的思想是很有启发性的，可能仍有进一步探讨的必要（见【38]，【50]，[81]],1950年前后，A.Selbergluul,u1al,La1利用求二次型极值的方法对Eratosthenes筛法作了另一重大改进，由他的方法可得到筛函数的上界估计。这种筛法称为Selberg筛法。把这种方法和ByxIIrra6恒等式（第七章1引理1)结合起来就可得到筛函数的下界估计：Selberg筛法不仅便于应用，而且迄今为止它总是比Brun筛法得到更好的结果目前，对某种筛函数（也是我们的问题所需要的）所得到的最好的上界及下界估计是由Jurkat-Ri-cherts】利用Selberg筛法所得到的。本书将仅讨论Selberg筛法，主要目的是证明Jurkat-Richert的结果（见第七章），为证明命题:.【1，2]作准备。1这里还要指出一点，在前面的讨论中，我们是把命题【4，6)和.，对个筛函数的估计直接相联系的，而这样做使我们所得到的结E果是比较弱的．1941年，Kuhn[65}首先提出了所谓“加权筛法”，利用这种方法使我们可以在同样的筛函数上、下界估计的基础上得到更强的结果。后来许多数学工作者对各种形式的“加权筛法”进行了深入的研究，从而不断提高了筛法的作用。陈景润，1正是由于提出了他的新的加权筛法才证明了命题（1，2.现在所有的最好结果都是利用加权形式的Selberg筛法得到的。我们将在第九章结合命题1，来对加权筛法作一简单的说明下面我们简述命题（4，的发展历史，11920年，Brun[9】证明了命题【9，9]；1924年，Rademacher[94]证明了命题{7，7]1932年，Estermann[26)证明了命题（6，6]1937年，Ricci102】证明了命题{5，7]，{4，9]，[3，15}以及-.{2,366];
1938年，ByxITa6证明了命题（5，5)1939年，TaprakoBcKH16]及1940年，ByxTa6l12都证明了命题[4，4];Kuhn[6516e167]在1941年提出了“加权筛法”，后来证明了命题(, b), a + b 6.以上的结果都是利用Brun筛法得到的1950年，Selbergl13]宣布用他的方法可以证明命题（2，3]，但在长时期内没有发表他的证明，以下的结果都是利用Seiberg筛法得到的。1956年，王元40]证明了命题【3，4]；1957年，A.И.BHHorpaOB30I证明了命题3，311957年，王元4143]证明了命题（2，3)以及命题4，6)，α+b5.但是，以上这些结果中，都有一个共同的弱点，就是我们还不能肯定二个数中至少有一个为素数。为了得到这种结果即要证明命题（1，6)，如前所述，我们就需要估计筛函数S（；，）。在第七章中我们将会看到，在估计筛函数的上界和下界时，同圆法一样，也要计算主要项和估计余项，并证明相对于主项来说余项是可以忽略的。在证明以上的命题（a，时，余项的估计是初等的比较简单的。但为了证明命题（1，，在余项估计上碰到了很大的困难。这个困难（见第七章1）实质上就是要估计下面的和式d(y;d,i)(35)g(x,n)= μr(a) max max中(a）Xddx?为了估计这一和式，就需要利用复杂的解析数论方法。这种类型的估计通常称为算术级数中素数分布的均值定理（见第八章）1948年",匈牙利数学家A。Renyi[991首先在这方面作出了开创性的极为重要的推进。他利用JIMHHHK[72所创造的大筛法（见1）在此之前，Estermannt在GRH下证明了命题（I，)，ByxurTas亦证明了一个有趣的结果，后来王元4,14在GRH下证明了命题（1，4)及1，3)