第一童#特征与 Gau 和设x（n）为模的特征，m为一整数，我们称2. x(h)(1)Gx(m) =为 Gauss 和。这一章主要是研究 Gauss 和 Gx(m）的性质。由于这里以及本书的大多数章节都要用到有关特征的知识，所以，我们将首先比较详细地来叙述特征的基本概念和性质。对于所列出的性质我们都不加证明。因为这些内容很容易在许多数论书中找到（例如可参看[24][29]，[51]，[60]，【80]，[92]，[123]】等】51.特征由L.Dirichlet所引[进的模q的特征（或称特征函数）是数论中的一个十分重要的基本概念，特征的主要作用是在于：利用它我们可以从一个给定的整数序列中把属于某一个公差为9的算术数列的子序列分离出来.因此它在许多数论问题中，特别是Goldbach猜想的研究中起着很关键的作用特征可以月不同的方法来定义，我们定义特征如下[80]定义设q2pt.为不同的奇素数（1≤≤）gr为模均的最小正原根（1≤i≤），以及11,{1, 1-1,(1,Co12t-2,12,1≥2,1≥2.),(is)其中Φ(a）为Euler函数，则对于任意给定的一组整数m，mo，m我们称定义在整数集合上的函数msI19
(ng) 1xn(ns9) ≥ 1(2)为模4的特征（或特征函数),其中1为n对模的一个指标组，为了着重指出特征x（n）是属于模4的，我们经常采用记号xg(n)或x(n) mod q.下面我们来列出有关特征的一些基本知识。1.模4的特征x(n）称为模4的主特征，如果当（n，9）一i时恒有xn）一1，主特征记为x"（n）．其它所有的特征都称为非主特征。只取实值的特征称为实特征，其它的称为复特征.2.模9的特征X（n）是以9为周期的周期函数，且x（11[x(n)/=1,(n,g)=13.特征（n）是完全可乘函数，即对任意的整数n有x(n1m) = x(n)x(n2).4.对于一个固定的模9来说，有且仅有Φ（9）个不同的模9的特征。5.我们有X - x(g),(3)x(n) :x*x,0:以及当（a,q）一1时有n=a(g),[$(g),(4) x(a)x(n)Lo:n率u(q),其中求和号表示对模4的所有的特征求和。6.设%a，~4,分别为模q1,42的特征，则X(n) Xa(n)xa,(n)为模4一【91:92]的特征，由于模的特征一定亦是模g的特征，只要g和有相同的素因子，且91g，所以我们以后总规定乘积120
(n)x2(n）为模［g192J的特征，对二个以上的特征相乘时亦一样，即设xa为模的特征（1≤≤），则乘积ax总规定为是模【91，*·，q元的特征。7.设x(）为模4的特征，9一4192，（91,92）1，则定存在唯一的一对模t，g2的特征%（n），x（n），使x(n) xa(n)xa(n);且x(n）为主（或实）特征的充要条件是xg（n），X（n）均为主（或实)特征，8.设x(n）为模α的非主特征，如果存在一个g<g，使对所有满足条件(n1.q)(n,q)-1,=m(q)的mn有X(n,) a X(n2)成立，则称x（n）为模4的非原特征，反之，则称为模9的原特征，显然，在性质7中，x(n）为原特征的充要条件是xa（n）及4（n）均为模及92的原特征。9.若x(n）为模9的原特征，则对任一4,d<9,dlg，一定可找到一一个整数使(5)(ns)-1, n三1(d), x(n)±1原特征的概念是十分重要的，下面的性质刻划了原特征在特征中的地位。10.对模4的任一非主特征x（n），一定存在唯一的一个模g*，g14s及唯一的一个模g*的原特征x*（n），使当（n，9）一1时有x(n) x*(n)成立，我们称x*（n）为对应于X（n）的原特征：反之，设x*（n）为模q*的原特征，9为任-一给定的正整数，g*1g：则一定存在唯一的一个模9的非主特征x(n)，使当（n,9)=1时有x*(n) - x(n)成立我们称x(n）为由原特征x*(n）所导出的特征
对于以上这种非主特征与原特征之间的对应关系，我们记作(6)Xx#*,或 X modq<→x*modg*,或简写为(6')XX*11.设××*，再设是和g有相同素因子（不计重数）的的最大除数，即满足条件?(7)plg1→plg*, gilgs7（显然9*1g），我们有(8)Xg(n) = xa(n)xe,(n),其中92-9/91,（显然（91,92）1），及(9)Xg,(n) 一 x*(n)x%(n) = xg*(n),因而有(10)Xg(n) = x+(n)xg(n) x*(n)xg(n)显然，若*，则一定有→*12.设x（n）为模4的实的原特征，则一定有(11)g2'pr.prs其中！0，2，3，（1≤≤）为不同的奇素数附注当4=1时，仅有一个主特征("）三1，有时为方便起见，我们把它看作为模1的原特征。这样一来，所有的模的主特征所对应的原特征就是模「的主特征，而模1的原特征所导出的模4的特征就是模的主特征，即X以后，我们在引用以上这些概念和性质时，一般就不再特别地加以指出了。$2. Gauss和由（1）所定义的Gauss和显然具有下述简单性质：(12)Gx(m1) = Gx(m2), m, = m2(g),(13)Gx(-m) X(--1)Gx(m),.22
(14)Gs(m) - x(-1)Gx(m).当m 0时,(15)Gx(0)x(h)这已在1性质5中讨论过了，由（13）知我们以后只要讨论m≥1 的情形当m=1时，我们记(16)Gx(1) m t(x),即在T(x) - x(1)e(16)显然有(17)Gx(m) x(m)t(x), (m,q) = i,当x时，我们记(18)Gxo(m) r Ca(m),即.a.M(18")C,(m) 4这就是Ramanujan和，其中求和号表示对模9的简化剩余系办=1求和。我们显然有(19)Cg(m) - Cg(1) r(x), (m,9) - 1AN引理1讠设×为模4的特征，%为模4的特征，且满足q q192(g1392) 1, X- Xx2,我们有(20)Gx(m) X(qz2)X2(gi)Gx(m)Gx(m)证设h二十，我们有mhGx(m) = Zx(h)ee123