:D(N) -- ( s(a, N)e(-Na)da;(3)方程(4)N=i+ + =3的解数(5)T(N) -s(a, N)e(-Na)da,其中(6)s(α N) - e(αp).这样，猜想（A）就是要证明：对于偶数N≥6有(7)D(N) ≥> 0;猜想（B）就是要证明：对于奇数N≥9有(8)T(N)≥ 0因此，Goldbach猜想就被归结为讨论关系式（3）及（5）中的积分诊了，显然，为此就需要研究由（6）所确定的以素数为变数的三角和。他们猜测三角和（6）有如下的性质：当‘和分母“较小”的既约分数"较近”时，S(α，N）就取“较大”的值；而当α和分母“较大”的既约分数“接近”时，S（α，N）就取“较小"的值（这里的“较小”“较大”、“较近”的确切含义将在下面作进一步的说明）。进而他们认为，关系式（3）及（5）中积分的主要部分是在以分母“较小的既约分数为中心的一些“小区间”（即那些和它距离“较近”的点组成的区间）上，而在其余部分上的积分可作为次要部分而忽略。这就是圆法的主要思想，为了实现这一方法，首先就要把积分区间分为上述的二部分，其次把主要部分上的积分计算出来，最后要证Y明在次要部分上的积分相对于前者来说可以忽略不计，下面我们+ +更具体地来加以说明。设9，为二个正数，(9)IAOATAN.1考虑 Farcy数列a(10)(a,g)-1,0≤g≤0a网
并设1[-+](11)E(g, a) =以及)(12)U E(q,a),E- U14450f6551[-1,1-1](13)EE,=容易证明，满足条件(14)203<t时，所有的小区间E（9，a）是二二不相交的（第六章51).我们称E，为基本区间（Major ares），E，为余区间（Minorares）．如果一个既约分数的分母不超过，我们就说它的分母是“较小”的，反之就说是“较大”的。如果两个点之间的距离不超过一，我们就说是“较近”的，显然，当αEE1时，它就和一分母“较小”的既约分数“接近”.可以证明（见第六章51引理2），当αEE时，它一定和一分母“较大”的既约分数“接近”，这样，利用Farey数列就把积分区间一，1一分成了圆法所要求的二部分E,和E2"因而，我们有S(α, N)e(-Nαa)dα - D(N) + D,(N), (15)D(N其中D(N)- (, S(α, N)e(-Na)da, i=1, 2;以及1) 有讨亦取(4,0=[%-六号+六]OF2）U与】是集合的和与差的符号。由于被积函数的周期为1，为方便起见，我们把积分区间 [0,11 改为[-, 1-]3）这种方法通常称为Farey分制
S(α, N)e(--Nα)dα -- T(N) + T2(N), (16)T(N)1其中S(α, N)e(-Na)da.i=- 1,2.T(N)=T圆法就是要计算出D（N）及T(N)，并证明它们分别为D(N）及3T(N)的主要项，而D(N）及T(N)分别可作为次要项而忽略不1计,Hardy-Litlewood[42.uI首先证明了一个重要的假设性结果：如果存在一个正数 <三，使得所有的 Dirichlect L 函数的全体零4点都在半平面。≤上，则充分大的奇数一定可以表为三个奇素数之和，且有渐近公式N216(N)T(N) ~ .(17)N-→8,log'N2其中1S(N)= 1(18)(p -- 1)（力同时他们猜测[42,],对于偶数N应该有ND(N) ~ 6(N)(19)N→8,log"N其中15S(N)- 2 1I(20)12PN力Hardy-Litlewoodlz,v还证明了一个假设性结果：如果广义Riemaan猜测成立，那末几乎所有的偶数都能表为二个奇素数之1.和，更精确的说，若以E()表示不超过×且不能表为二个奇素数之和的偶数个数，他们在GRH下证明了nmnE(x) < xt+(21)其中6为一任意小的正数。可以看出，圆法如果成功的话，是十分强有力的，因为它不但
证明了猜想的正确性，而且进一步得到了表为奇素数之和的表法个数的渐近公式，这是至今别的方法都不可能做到的虽然Hardy-Littiewood没有证明任何无条件的结果，但是他们所创造的圆法及其初步探索是对研究Goldbach猜想及解析数论的至为重要的贡献，为人们指出了一个分有成功希望的研究方向1937年，T.Esterman(27)证明：每一个充分大的奇数一定可以表为两个奇素数及一个不超过两个素数的乘积之和1937年，利用Hardy-Littlewood圆法，M.M.BHHOrpanoE终于以其独创的三角和估计方法无条件地证明了：每一个充分大的奇数都是三个奇素数之和，且有渐近公式（17）成立，这就基本上解决了猴想（B），是一个重大的贡献，递常把这一结果称为Gold-bach-BHHorpanoB定理，简称三素数定理，Page在1935年（见第十章引理5）及Siegel在1936年（见第十章引理9）证明了关于L函数例外零点的两个十分重要的结果，由此可推出相应的算术级数中素数分布的重要定理（见第六章多2引理2及3引理7）BHHOrpanOB首先利用这两个结果之-一（用任意一个结果都可以）：证明了：对适当选取的Q及，有T(N) ~ 16(N) ,N2(22)N- 8.log'N2（见第六章52定理1）。而他的主要贡献是在于利用他自已创造的紫变数三角和估计方法，证明了Hardy-Littlewood关于三角和S(α，N）性质的猜测，简单地说，他证明了：对适当选取的9和T，当EE时有N(23)S(aN) ≤log'N（见第五章1）由此容易推出NZN(24)T(N)≤ S(a,N)da《.log'Nlog'NJ这表明相对于T(N）来说，T(N）是可以忽略的次要项：这样，由（16），（22），（24）就证明了三数定理（见第六章52，当用Page的结果时情况要复杂一些，见第六章53）
BrHorpal1oeL134,L138],L139]创造和发展了一整套估计三角和的方法，利用他的强有力的方法使解析数论的许多著名问题得到了重要的成果，他对数论的发展作出了重要贡献，1938年，华罗庚[47]证明了更一般的结果：对任意给定的整数，每一个充分大的奇数都可表为十+修，其中，为奇素数（见第六章55定理4）在BMHorpanoB的证明中，有一点稍为不调和的地方。他创连的线性素变数三角和估计方法，从本质上来说是一种筛法。这样一来，处理基本区间E，上的积分T(N）用的是分析方法，而处理余区间Ez上的积分T(N）用的却是初等的非分析方法为了消除这种不一致性，就需要用分析方法来得到线性素变数三角和S(α，N)的估计式(23)1945年，IO.B.JHHHk(74,75],[76)提出了所谓L函数零点密度估计方法，他利用这一方法同样证明了估计式（23），从而对三素数定理给出了一个有价值的新的完全分析的证明，JIXHHIK的方法在解析数论的许多问题中都有重要应用。他原来的证明是十分复杂的，后来一些数学家122),[8215]进一步简化了JIHHHAK的证明（见第四章1，第五章$2），但也仍然是利用零点密度估计方法并要用到比较复杂的分析结果。1975年，Vaughana不用L函数零点密度估计方法，给出了估计式（23）一个分析证明，但他仍需用到复杂的L函数的四次中值公式。M1977年，潘承彪93仅利用L函数的初等性质及简单的复变积分法对估计式（23）给出了一个新的简单的分析证明（见第五章53）。一些作者还讨论了有限制条件的三素数定理。例如，证明了充分大的奇数可以表为三个几乎相等的素数之和41,184],]吴方46及一些数学工作者还讨论了其它形式的推广，由上所述，圆法对于猜想（B）的研究是极为成功的。而用它来研究猜想（A2却收效甚微，得不到任何重要的结果，在BXHO-rpauoB证明了三素数定理后不久，利用他的思想，一些数学1) 最近 R. C.Vaughan(C. R. Acad. Sc. Paris, Ser. A, 285 (1977),981--983)文给出了一个漂亮的初等证明