z03a.nb11 需要证明D内的边界为C的任一闭区域D上级数一致收敛。 对D内任一闭区域D,可在D内取D”(边界为C")包含 因为>wk()内闭一致收敛,故它在闭区域D"上一致收敛 也即:YE>0,存在N,使得n>N时,对任意自然数p 对任意∈D”,均有>wn()k<g I=swime=B> 1n+k( 致收敛,求积求和次序可调 为D”的边界 129 |ds|」 P为L”的长度 d为L”到z的最近距离 32幂级数 以b为中心的幂级数,形式 (-b)3 Q收敛圆 Abd0一定理:若∑-b在:=20收,则在以b点为心 0-b为半径的圆内绝对收敛,且在上-bsq0-b上一致收敛,其中0<q<1。 证明:因为级数收敛,一般项必趋于0 VE>0,彐N,使得当k>N时 对k≤N的有限项,一定有界 所以|a(=0-b)|<M,对任意k 对|-b≤q0-b,0<q =-b 正项M收敛,是原幂级数的优级数,故 a(-b)在-b≤q=0-b绝对且一致收敛 推论:若∑a-b)在z==1发散,则在上-b>=1-b处处发散
需要证明 D 内的边界为 C′ 的任一闭区域 D′ 上级数一致收敛 。 对 D 内任一闭区域 D′ ，可在 D 内取 D″ （边界为 C″） 包含 D′ 因为 k=0 ∞ wk (z) 内闭一致收敛 ，故它在闭区域 D″ 上一致收敛 也即： ∀ ε > 0, 存在 N，使得 n > N 时，对任意自然数 p 对任意 z ∈ D″ ，均有 k=1 p wn+k(z) < ε C′ C″ C z I = k=1 p wn+k (m) (z) = k=1 p m! 2 π C″ wn+k(ξ) (ξ - z)m+1 ξ 一致收敛，求积求和次序可调 I = m! 2 π C″ k=1 p wn+k(ξ) (ξ - z)m+1 ξ ， C″ 为 D″ 的边界 I ≤ m! 2 π L″ k=1 p wn+k(ξ) ξ ξ - z m+1 I ≤ m! 2 π ε L″ ξ ξ - z m+1 ≤ m! 2 π ε l ″ dm+1 , l ″ 为 L″ 的长度 d 为 L″ 到 z 的最近距离 。 3.2 幂级数 以 b 为中心的幂级数，形式 k=0 ∞ ak(z - b)k = a0 + a1(z - b) + a2(z - b)2 + a3(z - b)3 + ... + ak(z - b)k + ... 收敛圆 Abel第一定理 ：若 k=0 ∞ ak(z - b) k 在 z = z0 收敛，则在以 b 点为圆心 ， z0 - b 为半径的圆内绝对收敛 ，且在 z - b ≤ q z0 - b 上一致收敛 ，其中 0 < q < 1。 证明：因为级数收敛，一般项必趋于 0 lim k∞ak(z0 - b)k = 0 故：∀ ε > 0, ∃ N, 使得当 k > N 时 ak(z0 - b)k < ε 对 k ≤ N 的有限项 ，一定有界 ； 所以 ak(z0 - b)k < M, 对任意 k 对 z - b ≤ q z0 - b, 0 < q < 1 ak(z - b)k = ak(z0 - b)k z - b z0 - b k < M ρk 正项 M ρk 收敛，是原幂级数的优级数 ，故 k=0 ∞ ak(z - b) k 在 z - b ≤ q z0 - b 绝对且一致收敛 。 ◼ 推论：若 k=0 ∞ ak(z - b) k 在 z = z1 发散，则在 z - b > z1 - b 处处发散。 z03a.nb 11
12 Z03anb 证明:反证法,若在上-b>1-b的某一点=2收敛, 由Abel第 则在仁-b<|2-b均收敛 而1-b<|2-b,故在二=1点应收敛, 与条件二=1发散矛盾。故在仁-b>1-b处处发散。 推论:幂级数∑(2-b必存在收敛圆,圆内收敛,圆外发散,圆周尚未知。 Q收敢圆内的性质 ■收敛圆内和函数解析,且可逐项求导 因为满足:级数的每一项解析且圆内内闭一致收敛 ■圆内任意曲线的积分可逐项求积 因为满足:级数的每一项解析且圆内内闭一致收敛 ■幂级数逐项求导或求积,收敛圆半径不变(但圆周上的性质可能会改变 收敛圆内内闭一致收敛,可逐项求积,逐项求积后的新级数也一致收 致收敛性质),故逐项求积后的级数 收敛半径R不小于原收敛半径R 收敛圆内内闭一致收敛,可逐项求导,逐项求导后的新级数也一致收敛(一致收敛性质),故逐项求导后的级数 收敛半径R4不小于原收敛半径R 逐项求积、再逐项求导,得到原级数,故 R=(R)但(R)≥R1≥R=R≥R≥R=R=R1 因为R=R,R=(R)=Ra 级数,逐项求导变为∑逐项求积变为∑ 在z=±1的敛散性不同 k 台k(k+1) a Abel第二定理:幂级数a(-b在收敛圆内收敛于S, 在收敛圆周上的某点0点也收敛于S(=0),则当〓从收敛圆内在张角d<π/2的范围内趋于0时,S(=)仍趋于S(0) 收敛圆内,级数一致收敛,故S()连续 收敛圆周上,尽管在某段曲线上级数收敛,但并一定一致收敛,故S(-)不一定连续, 也即不能保证无论〓以何种方式趋于z0,S(=)都趋于S(=0), Abel第二定理说明〓以何种方式趋于〓0时,能保证S(-)趋于S(=0)
证明：反证法，若在 z - b > z1 - b 的某一点 z2 收敛， 由 Abel 第一定理，则在 z - b < z2 - b 均收敛 而 z1 - b < z2 - b ，故在 z = z1 点应收敛 ， 与条件 z = z1 发散矛盾 。故在 z - b > z1 - b 处处发散 。 b z2 z1 ◼ 推论：幂级数 k=0 ∞ ak(z - b)k 必存在收敛圆 ，圆内收敛，圆外发散 ，圆周尚未知 。 收敛圆内的性质 ◼ 收敛圆内和函数解析，且可逐项求导。 因为满足：级数的每一项解析且圆内内闭一致收敛 ◼ 圆内任意曲线的积分可逐项求积。 因为满足：级数的每一项解析且圆内内闭一致收敛 ◼ 幂级数逐项求导或求积，收敛圆半径不变（但圆周上的性质可能会改变） 收敛圆内内闭一致收敛，可逐项求积，逐项求积后的新级数也一致收敛（一致收敛性质），故逐项求积后的级数 收敛半径 Ri 不小于原收敛半径 R Ri ≥ R 收敛圆内内闭一致收敛，可逐项求导，逐项求导后的新级数也一致收敛（一致收敛性质），故逐项求导后的级数 收敛半径 Rd 不小于原收敛半径 R Rd ≥ R 逐项求积、再逐项求导，得到原级数，故 R = (Ri)d, 但 (Ri)d ≥ Ri ≥ R ⟹ R ≥ Ri ≥ R ⟹ R = Ri 因为 Ri = R， R = (Ri)d = Rd 级数 k=1 ∞ zk k ，逐项求导变为 k=1 ∞ zk，逐项求积变为 k=1 ∞ zk+1 k(k + 1) ，在 z = ±1 的敛散性不同 。 ◼ Abel第二定理 ：幂级数 k=0 ∞ ak(z - b) k 在收敛圆内收敛于 S(z)， 在收敛圆周 上的某点 z0 点也收敛于 S(z0)， 则当 z 从收敛圆内在张角 ϕ < π/ 2 的范围内趋于 z0 时， S(z) 仍趋于 S(z0) z " 0 b 收敛圆内，级数一致收敛 ，故 S (z) 连续， 收敛圆周上 ，尽管在某段曲线上级数收敛 ，但并一定一致收敛 ，故 S (z) 不一定连续， 也即不能保证无论 z 以何种方式趋于 z0，S (z) 都趋于 S (z0 ) ， Abel第二定理说明 z 以何种方式趋于 z0 时，能保证 S (z) 趋于 S (z0 ) 。 12 z03a.nb