6z03a.nb 级数∑-)在曲线L;(02631上 比值法:lim =≡在凵<1区域绝对收敛 在z=1点,hn=-,发散,或应用高斯法 A>1,Reμ=1发散 原级数在L上并非绝对收敛级数。 下证明它在L上一致收敛 VE>0,要找一个与二无关的Ne),使得 当n>N时,对任意自然数p,1=Ewe< 必须从I<E出发导出n>N(E)。在L上 = (n+1) 中括号内,当〓在L上时,第一项大于第二项,第三项大于第四项…,因此 若总项数p为偶数,必大于0,即任意偶数项之和大于0(对二在L上) 若总项数p为奇数,因偶数项之和>0,最后一项也>0,总和仍>0 中括号内各项之和大于 又:对〓在L上,每一项的绝对值都比后一项大, 故:前(2m-1)项之和<1,前2m项之和小于前(2m-1)项之和 因此,中括号内各项之和大于0小于1,故/+11 n+1n+1 <E← <E∈=n>ln--1,取N=ln-即可, N与:无关(只要=在曲线L:{05x51上) 实际上S(-1 n(1+),对≤1且二≠-1 该复数级数在≤1-6闭区域一致收敛(6>0,δ很小) 1 Log [1+z ·借助番 Mathematica,判断在闭区域≤1-6,这个级数一致收敛 对叫≤1-6(小量6>0), Cauchy一致收敛判据中的任意连续的p项和要满足 ISn+p(=)-Sm()=>wn+()<e 可用番 Mathematica计算Tp(,n)=(n+1)[Sn+p(=)-Sn()l, 并验证对任意自然数p,|c=,m)<M(有界)
级数 k=1 ∞ (-1)k zk k 在曲线 L： 0 ≤ x ≤ 1 y = 0 上 比值法：lim n∞ wn+1 wn = z ⟹ 在 z < 1 区域绝对收敛 。 在 z = 1 点，wn = 1 n , 发散， 或应用高斯法 wn wn+1 = 1 + 1 n = 1 + μ n + o 1 nλ , λ > 1, Re μ = 1 发散 原级数在 L 上并非绝对收敛级数 。 下证明它在 L 上一致收敛 ∀ ε > 0, 要找一个与 z 无关的 N(ε)，使得 当 n > N 时，对任意自然数 p，I = k=1 p wn+k(z) < ε。 现必须从 I < ε 出发导出 n > N(ε)。在 L 上 I = zn+1 n + 1 - zn+2 n + 2 + zn+3 n + 3 - zn+4 n + 4 + ... = zn+1 n + 1 1 - (n + 1) (n + 2) z + (n + 1) (n + 3) z2 - (n + 1) (n + 4) z3 + ... 中括号内，当 z 在 L 上时，第一项大于第二项 ，第三项大于第四项 ...，因此， 若总项数 p 为偶数，必大于 0，即任意偶数项之和大于 0 （对 z 在 L 上） 若总项数 p 为奇数，因偶数项之和 > 0，最后一项也 > 0，总和仍 > 0 故：中括号内各项之和大于 0。 又：对 z 在 L 上，每一项的绝对值都比后一项大 ， 故：前 (2 m - 1) 项之和 < 1，前 2 m 项之和小于前 (2 m - 1) 项之和， 因此，中括号内各项之和大于 0 小于 1，故 I < z n+1 n + 1 < 1 n + 1 I < ε ⟸ 1 n + 1 < ε ⟸ n > ln 1 ε - 1, 取 N = ln 1 ε 即可， N 与 z 无关 （只要 z 在曲线 L： 0 ≤ x ≤ 1 y = 0 上） 实际上 k=1 ∞ (-1) k zk k = - ln(1 + z), 对 z ≤ 1 且 z ≠ -1 该复数级数在 z ≤ 1 - δ 闭区域一致收敛 （δ > 0，δ 很小） Sum(-1)k zk k , {k, 1, ∞} -Log[1 + z] 借助 Mathematica ，判断在闭区域 z ≤ 1 - δ ，这个级数一致收敛 对 z ≤ 1 - δ （小量 δ > 0），Cauchy一致收敛判据中的任意连续的 p 项和要满足 Sn+p(z) - Sn(z) = k=1 p wn+k(z) < ε 可用 Mathematica 计算 Tp(z, n) = (n + 1) [Sn+p(z) - Sn(z)], 并验证 对任意自然数 p， Tp(z, n) < M （有界） 6 z03a.nb
03a. nb 从而Sn-S=pm<M <E=N= 下图为Tp(=,n)在二=c127°,n=100,p从1到50的值,箭号表示从Tp到Tp+1,红色点为T 当然,以上并非证明,但给我们一个图像: Cauchy判据乘以(n+1)在“兜圈 这种“兜圈”形式的级数之敛散性的证明将在下节讨论 内闭一致收敛:在开区域D内的任意闭区域(不包含D的边界)一致收敛,称在开区域D上内闭一致收敛 闭区域解析:从闭区域扩展到开区域。即:能找到一个包含闭区域的开区域,在这个开区域内,函数解析 内闭一致收敛:从开区域塌缩到闭区域。在开区域内的任何一个闭区域上一致收敛 ·在开区域D内一致收敛则一定在D内闭一致收敛(存在N的最大值),反之不然 例:级数∑在<1区域绝对收敛、内闭一致收敛,但在开区域<1不是一致收敛。 一致收敛实用判别法: 若常数项(每一项均为常数)级数m每一项均大于0且级数收敛 并且,若对任意k,在区域D或曲线L上,恒有hk(=)≤mk 则级数∑w(在D或L上一致且绝对收敛级数∑m常被称为∑vG)的优级数 在区域D或曲线L上:级数∑()一致收敛且函数m(川<M(常数), 则级数(2)wA()在D或L上一致收敛。 ▲要判断一致收敛:(1)找优级数:(2)把级数的每一项写成一个一致收敛的级数与一个有界函数之积 ▲级数」在<1区域内找不到优级数,但在任何r<1的闭区域|1≤F 可找到优级数: r<q<1,故它是内闭一致收敛 致收敛级数的性质 连续性(逐项求极限) 若级数∑()在区域D内满足:a每一项连续:b.一致收敛,则其和函数 S()=()在D内连续, (蓝色部分为逐项求极限) iS()=S(=0)=)wA(z0)= =→=0 证明:须证明对任意z∈D,当z→0时,S(z)→S(=0) 即:应证明VE>0,彐6,使得当上-d<6时,==)-S=0)<E 论证步骤:从|()-S(=0)川<E -=0|<6(E)
从而 Sn+p(z) - Sn(z) = Tp(z, n) (n + 1) < M n + 1 < ε ⟹ N = M ε 下图为 Tp(z, n) 在 z = 127 ° , n = 100, p 从 1 到 50 的值，箭号表示从 Tp 到 Tp+1，红色点为 T1 -1.0 -0.5 0.5 1.0 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 当然，以上并非证明 ，但给我们一个图像 ：Cauchy 判据乘以 (n + 1) 在 “兜圈”， 这种 “兜圈” 形式的级数之敛散性的证明将在下节讨论 。 ◼ 内闭一致收敛：在开区域 D 内的任意闭区域（不包含 D 的边界）一致收敛，称在开区域 D 上 内闭一致收敛。 闭区域解析：从闭区域扩展到开区域。即：能找到一个包含闭区域的开区域，在这个开区域内，函数解析。 内闭一致收敛 ：从开区域塌缩到闭区域 。在开区域内的任何一个闭区域上一致收敛 。 在开区域 D 内一致收敛则一定在 D 内闭一致收敛（存在 N 的最大值），反之不然。 例： 级数 k zk 在 z < 1 区域绝对收敛 、内闭一致收敛 ，但在开区域 z < 1 不是一致收敛 。 ◼ 一致收敛实用判别法： 若常数项 （每一项均为常数 ） 级数 k mk 每一项均大于 0 且级数收敛 ， 并且，若对任意 k，在区域 D 或曲线 L 上，恒有 wk(z) ≤ mk， 则级数 k wk(z) 在 D 或 L 上一致且绝对收敛 。级数 k mk 常被称为 k wk(z) 的 优级数 在区域 D 或曲线 L 上：级数 k wk(z) 一致收敛且函数 v(z) < M （常数）， 则级数 k v(z) wk(z) 在 D 或 L 上一致收敛 。 ▲ 要判断一致收敛：(1) 找优级数；(2) 把级数的每一项写成一个一致收敛的级数与一个有界函数之积。 ▲ 级数 k zk 在 z < 1 区域内找不到优级数 ，但在任何 r < 1 的闭区域 z ≤ r， 可找到优级数 ： k qk, r < q < 1，故它是内闭一致收敛 。 ◼ 一致收敛级数的性质 连续性（逐项求极限） 若级数 k wk(z) 在区域 D 内满足：a. 每一项连续 ；b. 一致收敛 ，则其和函数 S(z) = k=0 ∞ wk(z) 在 D 内连续，即：（蓝色部分为逐项求极限 ） lim zz0 S(z) = S(z0) = k=0 ∞ wk(z0) = k=0 ∞ lim zz0 wk(z) 证明： 须证明对任意 z ∈ D，当 z z0 时， S(z) S(z0) 即：应证明 ∀ ε > 0, ∃ δ, 使得当 z - z0 < δ 时，I = S(z) - S(z0) < ε。 论证步骤：从 S(z) - S(z0) < ε ⟸ z - z0 < δ (ε) z03a.nb 7
8z03a.nb =|S()-S(二0)=|S(二)-S(-)+Sn(二)-Sn(20)+Sn(=0)-S(=0 因为一致收敛,故V->0,彐与无关的N(E),使得当n>N(ε)时 s)-S)<5(因为级数一致收敛,故对:与20,N相同) S(二a)-S(=0)<-(因为一致收敛) 每一项连续,有限项之和必连续,对ε/3,彐δ,使得 -=0|<6时,|Sn()-Sn(=o)< 综上,Vε>0,彐δ,使得-=|<6时 =|S(=)-S(=0)<E S()连续 收敛是和函数连续的充分条件 ▲若非一致收敛,则不一定能保证和函数连续 反例:级数∑4- 在<1收敛,在x=1也收敛 在0≤x≤1收敛,但并非一致收敛 S(x)= 1,0≤x<1(绝对收敛,故可以这样写成两个级数) S()=0,mS)=1+1)级数Sx)不连续 k+12二2k+3 反例:级数 在直线段L:{yFx1收敛(试证之) 际上它至少在圆心于原点的右半单位圆D收敛。 可以证明,它在L上不是一致收敛 S(-)=2二-ln=+1 ln2而S(1)=2-ln4 limS(二)≠S(1)尽管在D上收敛
I = S(z) - S(z0) = S(z) - Sn(z) +Sn(z) -Sn(z0) +Sn (z0) - S(z0) I < S(z) - Sn(z) + Sn(z) - Sn(z0) + Sn(z0) - S(z0) 因为一致收敛 ，故 ∀ ε 3 > 0, ∃ 与 z 无关的 N(ε), 使得当 n > N(ε) 时 S(z) - Sn(z) < ε 3 （因为级数一致收敛 ，故对 z 与 z0，N 相同） S(z0) - Sn(z0) < ε 3 （因为一致收敛 ） 每一项连续 ，有限项之和必连续 ，对 ε/3, ∃ δ, 使得 z - z0 < δ 时，Sn(z) - Sn(z0) < ε 3 综上， ∀ ε > 0，∃ δ，使得 z - z0 < δ 时 I = S(z) - S(z0) < ε ⟹ S(z) 连续 ▲ 一致收敛是和函数连续的充分条件。 ▲ 若非一致收敛，则不一定能保证和函数连续。 反例 ：级数 k=1 ∞ xk-1 - xk 在 x < 1 收敛，在 x = 1 也收敛 在 0 ≤ x ≤ 1 收敛，但并非一致收敛 S(x) = 1 1 - x - x 1 - x = 1, 0 ≤ x < 1 （绝对收敛，故可以这样写成两个级数 ） S(1) = 0, lim x1 S(x) = 1 ≠ S(1) 级数 S(x) 不连续 反例 ：级数 k=0 ∞ zk+1 k + 1 - 2 z2 k+3 2 k + 3 在直线段 L： y = 0 -1 < x ≤ 1 收敛 （试证之） 实际上它至少在圆心于原点的右半单位圆 D 收敛。 可以证明，它在 L 上不是一致收敛 ， S(z) = 2 z - ln[z + 1] lim z1 S(z) = 2 - ln2 而 S(1) = 2 - ln4 lim z1 S(z) ≠ S(1) 尽管在 D 上收敛 8 z03a.nb
03a. nb zk+1 tl Limit[ t2= Sum in,0, oo)// FullSimplify [1+z] ▲是否绝对收敛影响加法交换律在级数中的应用,是否一致收敛影响连续函数之和依然连续在级数中的应用 若级数>vk()在曲线L上满足:a每一项连续;b.一致收敛,则: W()d=,求积与求和可以交换次序 k=0 证明:在L上一致收敛,故在L上和函数S()连续,可积 对有限项:(Ssd=「|Sv-ld=S「e)d 思考:下面的证明错在哪里? 1.3)两边同取极限:in 正确的证明:因为一致收敛,VE>0,彐与无关的N(E), 当n>N时,对任意 均有Sn(=)-S(=川< (1.3)左=S(-)d=+|[S(=)-S()]d==|S()d=+1 Sn(=)-S()d,因为一致收敛,彐与无关的Ne 故无论在L上如何变,均有n>N时,|Sn()-S<E=团<El或liml=0 lim左=lim右≡ k(=)|d k(=)d 若加上w日在D内解析,则级数C止也一数收,《(之) 逐项求导( Weierstrass定理)
z0 = 1 - δ 0; Sum zk+1 k + 1 - 2 z2 k+3 2 k + 3 , {k, 0, ∞} // FullSimplify t1 = Limit[%, z z0] t2 = Sum z0n+1 n + 1 - 2 z02 n+3 2 n + 3 , {n, 0, ∞} // FullSimplify 2 z - Log[1 + z] 2 - Log[2] 2 - Log[4] ▲ 是否绝对收敛影响加法交换律在级数中的应用，是否一致收敛影响连续函数之和依然连续在级数中的应用。 逐项求积 若级数 k wk(z) 在曲线 L 上满足：a. 每一项连续 ；b. 一致收敛 ，则： L k=0 ∞ wk(z) z = k=0 ∞ L wk(z) z, 求积与求和可以交换次序 证明： 在 L 上一致收敛，故在 L 上和函数 S(z) 连续，可积。 对有限项：L Sn(z) z = L k=0 n wk(z) z = k=0 n L wk(z) z (1.3) 思考：下面的证明错在哪里 ？ (1. 3) 两边同取极限 ：lim n∞L k=0 n wk(z) z = lim n∞ k=0 n L wk(z) z 左 = lim n∞L k=0 n wk(z) z = L lim n∞ k=0 n wk(z) z = L k=0 ∞ wk(z) z 右 = k=0 ∞ L wk(z) z ⟹ 左 = 右，得：L k=0 ∞ wk(z) z = k=0 ∞ L wk(z) z 正确的证明 ：因为一致收敛 ，∀ ε > 0, ∃ 与 z 无关的 N(ε), 当 n > N 时，对任意 z ∈ L, 均有 Sn (z) - S(z) < ε (1. 3) 左 = L S(z) z + L [Sn(z) - S(z)] z = L S(z) z + I I = L [Sn(z) - S(z)] z, 因为一致收敛 ，∃ 与 z 无关的 N(ε)， 故无论 z 在 L 上如何变，均有 n > N 时， Sn (z) - S(z) < ε ⟹ I < ε l 或 lim n∞I = 0 lim n∞左 = lim n∞右 ⟹ L k=0 ∞ wk(z) z = k=0 ∞ L wk(z) z ▲ 若加上 wk(z) 在 D 内解析，则级数 k=0 ∞ z0 z wk(z) z 也一致收敛 。（试证之） 逐项求导（Weierstrass 定理） z03a.nb 9
10 z03anb 若级数∑y()在区域D(边界为C,如图)内满足:a每一项解析:b.内闭一致收敛,则 S()=)wk()在D内解析 b.s()=>w(c)(逐项求 (=)内闭一致收敛(求导后的级数仍内闭一致收敛 a.先证明S(=)解析 k(=)解析=wk()= =d()d, 2i JL E L为D内包围点的一条闭合回路, 注意因为z∈开区域D,故一定可在D内在找到一条L使之包围〓点 心内闭致收敛,故它在L上一致收敛,而1-1有界, 因为一致收敛级数每一项乘以一有界函数得到的新级数仍一致收敛(判别法二) 故级数∑日在积分路径L上也一致收敛。求积与求和可交换次序 S-)=)wk)= wk(edE= 2ri5-=2 2ri求E- 因为w()解析且∑mk()一致收敛,故Se连续 S()表为 Cauchy型积分,必然解析 b.再证明逐项求 由上一步,S)在D内表为 Cauchy型积分,故 Sm(=)= d Sm)-致收敛, 一有界,故 2ri(E-=)+ k(2 =Sy()也一致收敛,求和与求积分可交换次序 台62ri(∈-y 再利用高阶导数 Cauchy公式 $ k(2) dE=wpo c最后证明∑v(c)内闭一致收敛
若级数 k wk(z) 在区域 D （边界为 C，如图） 内满足：a. 每一项解析 ；b. 内闭一致收敛 ，则： a. S(z) = k=0 ∞ wk(z) 在 D 内解析 b. S(n) (z) = k=0 ∞ wk (n) (z) （逐项求导） c. k=0 ∞ wk (n) (z) 内闭一致收敛 （求导后的级数仍内闭一致收敛 ） C L z a. 先证明 S (z) 解析 wk(z) 解析 ⟹ wk(z) = 1 2 π L wk (ξ) ξ ξ - z = L ϕk(ξ) ξ， L 为 D 内包围 z 点的一条闭合回路 ， 注意因为 z ∈ 开区域 D，故一定可在 D 内在找到一条 L 使之包围 z 点 k=0 ∞ wk(ξ) 内闭一致收敛 ，故它在 L 上一致收敛 ，而 1 2 π 1 ξ - z 有界， 因为一致收敛级数每一项乘以一有界函数得到的新级数仍一致收敛 （判别法二 ） 故级数 k=0 ∞ ϕk(ξ) 在积分路径 L 上也一致收敛 。求积与求和可交换次序 。 S(z) = k=0 ∞ wk(z) = k=0 ∞ L ϕk(ξ) ξ = 1 2 π L k=0 ∞ wk(ξ) ξ - z ξ S(z) = 1 2 π L 1 ξ - z k=0 ∞ wk(ξ) ξ = 1 2 π L S(ξ) ξ - z ξ 因为 wk(z) 解析且 k=0 ∞ wk (z) 一致收敛 ，故 S(ξ) 连续， S(z) 表为 Cauchy型积分 ，必然解析 。 b. 再证明逐项求导 由上一步，S(z) 在 D 内表为 Cauchy型积分 ，故 S(n) (z) = n ! 2 π L S(ξ) (ξ - z)n+1 ξ = n! 2 π L k=0 ∞ wk(ξ) (ξ - z)n+1 ξ k=0 ∞ wk(ξ) 一致收敛 ， n! 2 π 1 (ξ - z)n+1 有界，故 k=0 ∞ n! 2 π wk(ξ) (ξ - z)n+1 = k=0 ∞ φk(z) 也一致收敛，求和与求积分可交换次序 ， 再利用高阶导数Cauchy公式 S(n) (z) = k=0 ∞ n! 2 π L wk(ξ) (ξ - z)n+1 ξ = k=0 ∞ wk (n) (z) c. 最后证明 k=0 ∞ wk (n) (z) 内闭一致收敛 10 z03a.nb