2)互相关函数和互协方差函数的性质： (1)R(x)既不是T的偶函数，也不是T的奇函数。换言之，互相关函 数不具有对称性质。 (2)Rg()AEv(t)x(t+)=R() 但 R(-t)=E(y(t)x(t-7))=R(t). (3)若x(x),y(x)中至少有一个均值为零，则C()=R(x)。 11 202414/20
2024/4/20 11 2）互相关函数和互协方差函数的性质： （1） 既不是 的偶函数，也不是 的奇函数。换言之，互相关函 数不具有对称性质。 （2） 但 。 （3）若 ， 中至少有一个均值为零，则 。 ( ) ( ) ( ) ( ) yx Rxy R E y t x t + = = x( ) y( ) ( ) Rxy ( ) ( ) ( ) ( ) yx Rxy R − = E y t x t − = ( ) ( ) Cxy = Rxy
米 2.1完9 12 2024/4/20
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2.2谱密度与相关函数 2.2.1巴塞伐尔(Parseval)定理与功率密度谱表达式 巴塞伐尔定理，常将巴塞伐尔定理视为确定性过程的总能量谱 表示式。若将确定性过程x(t)视为12电阻的电流，则x2()d代 表总能量。如果x(t)的傅立叶变换X(w)存在，则可以证明总能量为 [x(Odr-(dw (2.10) 上式称为Parseval定理。它把总能量以频谱的形式表达出来。 4 202414120
2024/4/20 13 2.2 谱密度与相关函数 ◼ 2.2.1 巴塞伐尔（Parseval）定理与功率密度谱表达式 巴塞伐尔定理，常将巴塞伐尔定理视为确定性过程的总能量谱 表示式。若将确定性过程 视为1Ω电阻的电流，则 代 表总能量。如果 的傅立叶变换 存在，则可以证明总能量为 上式称为Parseval定理。它把总能量以频谱的形式表达出来。 4 x(t) x (t)dt 2 − x(t) X ( jw) x t dt X jw dw − − = 2 2 ( ) 2 1 ( ) (2.10)
证明：由于x(t)和X(w)构成一组傅里叶变换对， X(w)=[x(t)e-mdt (2.11) o02名上KJwdr 因此 reh-xo2a上K(ned =2上xUmf0eath =2元XUmX(-mh (2.12) 14 2元IX(Fohr 2024/14/20
2024/4/20 14 证明：由于 和 构成一组傅里叶变换对， 因此 x(t) X ( jw) = = − − − x t X jw e dw X jw x t e dt jwt jwt ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) (2.11) X j w dw X j w X j w dw X j w x t e dt dw x t dt x t X j w e dw dt jwt jwt − − − − − − − = = − = = 2 2 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) (2.12)
2.2.2维纳-辛钦(Wiener-Khintchine)关系式 可以证明，随机过程x(t)谱密度S,(w)与自相关函数R(x)之间存在 极其简单的关系一一它们构成一组傅里叶变换对，即： S,(w)=[R,(t)e-mdr (2.13) .(S. 上式称为维纳一辛钦关系式。 考虑到S,(w)和R(t)均为实偶函数，故式(2.13)式可化简为： S,(w)-2R.(r)coswrdr (2.14) 它是维纳辛钦公式的余弦变化形式。 15 R.()S.(r)coswrhp 2024/4/20
2024/4/20 15 2.2.2维纳-辛钦（Wiener-Khintchine）关系式 可以证明，随机过程 谱密度 与自相关函数 之间存在 极其简单的关系——它们构成一组傅里叶变换对，即： 上式称为维纳—辛钦关系式。 考虑到 和 均为 实偶函数，故式 式可化简为 ： 它是维纳辛钦公式的余弦变化形式。 (2.13) (2.14) x(t) S (w) x ( ) Rx = = − − − R S e dw S w R e d j w x x j w x x ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) S (w) x ( ) Rx (2.13) = = − − R S w dw S w R w d x x x x ( ) cos 2 1 ( ) ( ) 2 ( ) cos