《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 例： ( 1) 2 2 = x y + dx dy x dx y dy 2 2 1 = + x dx C y dy = + + 2 2 1 y = x +C 3 3 1 arctan 分离变量: 两边积分:
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (2.2) , . , ( ) 0, (2.1) , 0 0 0 它不包含在方程 的通解中 必须予以补上 注: 若存在y 使 y = 则y = y 也是 的解 可能 例1 求微分方程 ) 10 (1 y y dx dy = − 的所有解. 解: 方程两边同除以 ),再积分 10 (1 y y − 1 ) 10 (1 dx c y y dy = + − 积分得: 1 10 ln x c y y = + −
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 从上式中解出y,再将常数记为c,得 , 1 10 x ce y − + = c 0. ) 0, 0 10, 10 (1− = y = y = y 由y 求出方程的所有解为 和 故方程的所有解为: , , 1 10 c为任常数 ce y −x + = 和y = 0. 1 10 ln x c y y = + −
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 解: 分离变量后得 dx x y dy 1 2 3 = − 两边积分得: 1 2 1 − 2y = ln x + c − 整理后得通解为: 2 1 (ln ) 4 x c y + = , (ln ) 4 2 cx = 此外还有解y = 0,这个解未包含在通解中,应补上. 例2 2 3 y dx dy 求微分方程 x = 的通解
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 例3 求微分方程 p x y dx dy = ( ) 的通解,其中p(x)是x的连续函数. 解: 将变量分离后得 p x dx y dy = ( ) 两边积分得: 1 ln y = p(x)dx + c 由对数的定义有 1 p( x)d x c y e + =