§2.3虚功原理 分析静力学 1.虚功原理 静平衡状态F+R1=0=1,2,…,n ∑(F+R)·8r=0∑F·8x=0虚功原理 平衡位形处,对任意虚位移,主动力总虚功为零 =(n,n2…)F=(FF2…,F)R=(R,R2…R) F+R=0 F.6r=0
§2.3 虚功原理 分析静力学 1．虚功原理 静平衡状态 0 1,2, , i i F R i n 1 δ 0 n iii i FR r 1 δ 0 n i i i F r 虚功原理 平衡位形处，对任意虚位移，主动力总虚功为零． r rr r F FF F R RR R 12 1 2 1 2 ,, , , , , , , , nnn F R 0 F δr 0
2.广义虚位移和广义力 约束使δr各分量彼此不独立 ∑ ar qs;t)δr 广义虚位移 F.δr ∑ ar ar 与qa对应的 广义主动力 坐标线切向矢量 a=1,2,…,s(=3n-k) Qa是F在各坐标线切向的投影分量 ∑Q280=0虚功原理的广义分量表示 a=1 量纲[Qqa=[F]=[E]
2．广义虚位移和广义力 约束使 r 各分量彼此不独立． 1 2 ,,,;s r r qq qt 1 δ δ s q q r r δq 广义虚位移 1 δ δ s q q r Fr F Q q r F 与 q对应的 广义主动力 1,2, , 3 q s nk r 坐标线切向矢量 Q是 F 在各坐标线切向的投影分量． 1 δ 0 s Q q 虚功原理的广义分量表示 量纲 Qq E F r i i
3.完整系的平衡条件 k个完整约束使体系位形限于3n维空间的s(=3n-k)维 位形曲面上.s个广义坐标可独立取值与变动 8r为与曲面相切的任意无限小矢量,R沿位形曲面法向 ar 6r= ∑ . Or 0 完整系的所有广义虚位移独立 ∑Q8n=0Q=0a=12,…,S ar F 0 3n维矢量平衡方程在s条坐标线切 向的投影,未知约束力投影为零 完整系平衡位形处,各广义主动力分量为零
3．完整系的平衡条件 k 个完整约束使体系位形限于 3n 维空间的 s（ 3n k）维 位形曲面上．s 个广义坐标可独立取值与变动． r 为与曲面相切的任意无限小矢量，R 沿位形曲面法向． 完整系的所有广义虚位移独立． 1 δ 0 s Q q 0 Q 0 1,2, ,s q 完整系平衡位形处，各广义主动力分量为零． 3n 维矢量平衡方程在 s 条坐标线切 0 向的投影，未知约束力投影为零． 0 q q r F 0 q r R 1 δ δ s q q r r
保守体系所有主动力均有势能 V=(r(q1)Q=∑ 、OIor 0a=1,2 完整保守系在平衡位形处势能取驻定值 平衡性质: 势能取极小值,为稳定平衡; 势能取极大值,为非稳定平衡; 势能取常值,为随遇平衡
保守体系 所有主动力均有势能 1 2 , , , 1,2, , i n i V in F rr r r 1 n i i i V q V Q q r r VV t r q , 0 0 1,2, , V q s q 完整保守系在平衡位形处势能取驻定值． 平衡性质： 势能取极小值，为稳定平衡； 势能取极大值，为非稳定平衡； 势能取常值，为随遇平衡．
例1质量m、固有半径a、弹性系数k的弹性圈置 于半顶角a的光滑直立圆锥上.求弹性圈的平衡 半径与张力 光滑锥面完整约束 y=-rcota 主动力:弹性力,重力完整保守理想系 广义坐标x (x) kl 2T(x-a mgx cot a 4Tk(oo-a)-mg cot a=0 mg cot a xo =a+ 4兀2k T=2Tk(xo-a)=gota T
例1 质量m、固有半径a、弹性系数k的弹性圈置 于半顶角的光滑直立圆锥上．求弹性圈的平衡 半径与张力． x y 0 x 光滑锥面完整约束 y x cot 主动力：弹性力，重力 完整保守理想系 广义坐标 x 1 2 2π cot 2 Vx k x a m gx 0 2 0 4π cot 0 x V k x a mg x 0 2 cot 4π mg x a k 0 cot 2π 2π mg T kx a