复旦大学：《现代连续介质力学理论及实践》教案_体积形态连续介质有限变形理论-02-变形梯度及其性质

体积形态连续介质有限变形理论一变形梯度及其基本性质 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 11变形梯度的可微性定义 初始物理构型 当前物理构型 x2-曲 G2(sa) A9(x(n,+,) x3-曲线 5-曲线 g1(xr(5/t),t) G3(Ea) 2-曲线 )\z X=X(, t) X=X x3坐标线 53-坐标线 2坐标线 x2-坐标线 5-坐标线 初始参数构型 当前参数构型 Figure1:当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论的构型构造示意 如图1所示,初始物理构型中连接质点a和b的有向线元rabl。同当前物理构型中连接相同

有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论—变形梯度及其基本性质 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 变形梯度的可微性定义 ◦ X1 ◦ X2 ◦ X3 O 際丐へ⨶㎎鰭 ξ 1 -齒楫 G1(ξa) ξ 2 -齒楫 G2(ξa) ξ 3 -齒楫 G3(ξa) a b ξ 1 ξ 2 ξ 3 O 際丐尻閻㎎鰭 ξ 1 -緋辿楫 ξ 2 -緋辿楫 ξ 3 -緋辿楫 a b ◦X = ◦X(ξ) X1 X2 X3 O 澀晒へ⨶㎎鰭 x 1 -齒楫 g1(x(ξa , t), t) x 2 -齒楫 g2(x(ξa , t), t) x 3 -齒楫 g3(x(ξa , t), t) a b x 1 x 2 x 3 O 澀晒尻閻㎎鰭 x 1 -緋辿楫 x 2 -緋辿楫 x 3 -緋辿楫 a b X = X(x, t) Figure 1: 当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论的构型构造示意 如图1所示, 初始物理构型中连接质点 a 和 b 的有向线元 rab| ◦ V 同当前物理构型中连接相同 1

体积形态连续介质有限变形理论变形梯度及其基本性质 谢锡麟 质点对的有向线元rab之间的关系,可基于微分学获得 aX rab=X(x(+△,t),t)-X(x(E,+,1)=(x,1)A()△FA ax (1(△A=(t0a,18G'()·(△G() F·Tab, 此处F称为当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论的变形梯度.现变形梯 度的形式同一般有限变形理论变形梯度的形式,只是现当前物理构型上局部基,如局部协变基 9(x,t,显含时间 12基础性引理 为研究变形梯度的基本性质,需要以下引理 引理11(变形关系行列式物质导数). 次(s,1)=mnH(ms,/a 次)(s0 证明基于置换算子,相关方阵行列式可表示如下 0-)(Es) art arm 由此,可有 (Ss, t) ax ax2 ax axm- axm (Es, t) ∑ ∑ 3 ais arm (EE, t) dis i=1a∈Pn Orgas, t)OE dso(es, t/ asa(my(Ez,t) 2(2) ono a(m) (Es, t) ①简称为曲线坐标系显含时间有限变形理论 ②此引理既适用于体积形态连续介质有限变形,也适用于曲面形态连续介质有限变形理

有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -变形梯度及其基本性质 谢锡麟 质点对的有向线元 rab| t V 之间的关系, 可基于微分学获得 rab| t V = X(x(ξ + ∆ξ, t), t) − X(x(ξ, t), t) = ∂X ∂xi (x, t) ∂xi ∂ξA (ξ)∆ξ A = ∂xi ∂ξA (ξ, t)gi (x, t)∆ξ A = [ ∂xi ∂ξA (ξ, t)gi (x, t) ⊗ GA(ξ) ] · (∆ξ BGB(ξ)) =: F · rab| ◦ V , 此处 F 称为当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论➀的变形梯度. 现变形梯 度的形式同一般有限变形理论变形梯度的形式, 只是现当前物理构型上局部基, 如局部协变基 gi (x, t), 显含时间. 1.2 基础性引理 为研究变形梯度的基本性质, 需要以下引理➁. 引理 1.1 (变形关系行列式物质导数). ˙ det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = ∂x˙ s Σ ∂xs Σ (xΣ, t) det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t). 证明 基于置换算子, 相关方阵行列式可表示如下: det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = ∑ σ∈Pm sgnσ [ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ ] (ξΣ, t). 由此, 可有 ˙ det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = ∑ σ∈Pm sgnσ   ˙ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ ∂x2 Σ ∂ξσ(2) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ + · · · + ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ∂xm−1 Σ ∂ξσ(m−1) Σ ˙ ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ   (ξΣ, t) = ∑m i=1 ∑ σ∈Pm sgnσ   ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ˙ ∂xi Σ ∂ξσ(i) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ   (ξΣ, t) = ∑m i=1 ∑ σ∈Pm sgnσ [ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ∂x˙ i Σ ∂ξσ(i) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ ] (ξΣ, t) = ∑m i=1 ∑ σ∈Pm sgnσ [ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ (ξΣ, t)· · · ( ∂x˙ i Σ ∂xs Σ (xΣ, t) ∂xs Σ ∂ξσ(i) Σ (ξΣ, t) ) · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ (ξΣ, t) ] = ∑m i=1 ∂x˙ i Σ ∂xs Σ (xΣ, t) ∑ σ∈Pm sgnσ [ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ∂xs Σ ∂ξσ(i) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ ] (ξΣ, t). ➀ 简称为曲线坐标系显含时间有限变形理论. ➁ 此引理既适用于体积形态连续介质有限变形, 也适用于曲面形态连续介质有限变形理论. 2

体积形态连续介质有限变形理论变形梯度及其基本性质 谢锡麟 在上式中,对a求和的结果为行列式,故只有当s=i时此行列式才非零,否则此行列式将有两 行相同而自然为零,所以有 )(sxt)=∑ a i axl (as, t) (x, des(as, t)det/Oy ais ,t) Aris(1962)在其著作 Vectors, Tensors and the Basic equations of Fluid mechanics中,研 究了任意固定曲面上二维流动的守恒律控制方程.值得指出,在Aris的书著中,利用了如下关系 式 det (5x,1)=(x,t)+ (Ee, t) (Es, t) 现指出,此式有误。由于上述不正确的关系式,Aris所获得的固定曲面上二维流动的输运方程见 其书著(10.129)式,为 d 实际上,作者认为正确的关系式为 d D+/ ae(,)+8 φ+φⅤsv°d 上述最后等式的获得利用了如下关系式 9 2g a ? 13变形梯度的基本性质 曲线坐标系显含时间有限变形理论的变形梯度,具有如下基本性质. 性质12(变形梯度基本性质) 1. det F s,t)=:|F 2.F=(V F|=F,此处θ全v 证明根据变形梯度的定义证明此性质

有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -变形梯度及其基本性质 谢锡麟 在上式中, 对 σ 求和的结果为行列式, 故只有当 s = i 时此行列式才非零, 否则此行列式将有两 行相同而自然为零, 所以有 ˙ det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = ∑m i=1 ∂x˙ i Σ ∂xi Σ (xΣ, t) ∑ σ∈Pm sgnσ [ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ∂xi Σ ∂ξσ(i) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ ] (ξΣ, t) = ∂x˙ s Σ ∂xs Σ (xΣ, t) det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t). Aris(1962) 在其著作 Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics 中, 研 究了任意固定曲面上二维流动的守恒律控制方程. 值得指出, 在 Aris 的书著中, 利用了如下关系 式 ˙ det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = [ ∂x˙ s Σ ∂xs Σ (xΣ, t) + Γ s sjx˙ j Σ ] det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = (∇sx˙ s Σ) det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t). 现指出, 此式有误. 由于上述不正确的关系式, Aris 所获得的固定曲面上二维流动的输运方程见 其书著 (10.12.9) 式, 为 d dt ∫ t Σ Φdσ = ∫ t Σ [ Φ˙ + Φ ( ∇sV s + g˙ 2g )] dσ, V s := ˙x s Σ. 实际上, 作者认为正确的关系式为 d dt ∫ t Σ Φdσ = ∫ t Σ [ Φ˙ + Φ ( ∂V s ∂xs Σ (xΣ, t) + g˙ 2g )] dσ = ∫ t Σ [ Φ˙ + Φ∇sV s ] dσ. 上述最后等式的获得利用了如下关系式: g˙ 2g = 1 2g ∂g ∂xi Σ (xΣ) ˙x i = 1 2g ∂g ∂xi Σ (xΣ)V i = Γ s siV i . 1.3 变形梯度的基本性质 曲线坐标系显含时间有限变形理论的变形梯度, 具有如下基本性质. 性质 1.2 (变形梯度基本性质). 1. detF = √g √ G det ( ∂xi ∂ξA ) (ξ, t) =: |F|; 2. F˙ = (V ⊗ ) · F; 3. ˙ |F| = θ|F|, 此处θ , V · = · V . 证明 根据变形梯度的定义证明此性质. 3

体积形态连续介质有限变形理论变形梯度及其基本性质 谢锡麟 1.按变形梯度的定义以及初始与当前物理构型中局部基向量之间的转换关系,可有 art F cA(S, t)9i (a, t)G(5)ari f(;91(x,1)s[G4,g)g] x(E,1)(G1,9)918g3=F9189 由此,可得变形梯度行列式的计算式 =n(g)=(6)(c) det( aca(s,t) 2.对曲线坐标系显含时间有限变形理论,速度梯度具有如下表示形式 L=V8口(x,1)8g= aX (x,t)⑧ i(x,t)全(x,t)g(x,t)=(∈,)g1(x,t) 于是 0 5,t)98Q4,O2 x(1)|b0(02+89(x8c axs aiz 0/0X 0 dxs(c, t)gi+io(a, t)xars\ at (=, t) GA axs 0 ( arslan ory a)(x,)8C=E(0m(,18c4 ax(6,1,8G4|=L.F 3.有如下恒等式 de /(,0= t)de (E,t) 以及 √9=x91,92,93l !01+0,993,+(92(x∥9(x1g =ra+a1,93=√(r2+(a, 另一方面,速度的散度具有如下表示 △ O(a,0)·g=0 aX

有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -变形梯度及其基本性质 谢锡麟 1. 按变形梯度的定义以及初始与当前物理构型中局部基向量之间的转换关系, 可有 F , ∂xi ∂ξA (ξ, t)gi (x, t) ⊗ GA(ξ) = ∂xi ∂ξA (ξ, t)gi (x, t) ⊗ [ (GA, gj )R3 g j ] = ∂xi ∂ξA (ξ, t)(GA, gj )R3 gi ⊗ g j = F i · jgi ⊗ g j . 由此, 可得变形梯度行列式的计算式 |F| = det ( F i ·j ) = det [( ∂xi ∂ξA (ξ, t) ) ( (GA, gj )R3 ) ] = √g √ G det ( ∂xi ∂ξA (ξ, t) ) . 2. 对曲线坐标系显含时间有限变形理论, 速度梯度具有如下表示形式: L := V ⊗ , ∂V ∂xl (x, t) ⊗ g l = ∂ ∂xl ( x˙ + ∂X ∂t ) (x, t) ⊗ g l , 此处 x˙(x, t) , x˙ i (x, t)gi (x, t) = ∂xi ∂t (ξ, t) gi (x, t). 于是 F˙ = ∂x˙ i ∂ξA (ξ, t) gi ⊗ GA + ∂xi ∂ξA (ξ, t) [ ∂gi ∂xj (x, t) ˙x j + ∂gi ∂t (x, t) ] ⊗ GA = ∂xs ∂ξA (ξ, t) [ ∂x˙ i ∂xs (x, t)gi + ˙x j ∂gj ∂xs (x, t) + ∂ ∂xs ( ∂X ∂t ) (x, t) ] ⊗ GA = ∂xs ∂ξA (ξ, t) ∂ ∂xs ( x˙ + ∂X ∂t ) (x, t) ⊗ GA = ∂xs ∂ξA (ξ, t) ∂V ∂xs (x, t) ⊗ GA = [ ∂V ∂xt (x, t) ⊗ g t ] · [ ∂xs ∂ξA (ξ, t)gs ⊗ GA ] = L · F. 3. 有如下恒等式 d dt det ( ∂xi ∂ξA ) (ξ, t) = ∂x˙ s ∂xs (x, t) det ( ∂xi ∂ξA ) (ξ, t), 以及 d dt √ g = d dt [g1 , g2 , g3 ]R3 = [ dg1 dt , g2 , g3 ] R3 + [ g1 , dg2 dt , g3 ] R3 + [ g1 , g2 , dg3 dt ] R3 = [ ∂g1 ∂xs (x, t) ˙x s + ∂g1 ∂t (x, t), g2 , g3 ] R3 + [ g1 , ∂g2 ∂xs (x, t) ˙x s + ∂g2 ∂t (x, t), g3 ] R3 + [ g1 , g2 , ∂g3 ∂xs (x, t) ˙x s + ∂g3 ∂t (x, t) ] R3 = Γ s slx˙ l√ g + ∂ ∂t [g1 , g2 , g3 ]R3 = √ g ( Γ s slx˙ l + 1 √g ∂ √g ∂t (x, t) ) . 另一方面, 速度的散度具有如下表示: V · , ∂V ∂xl (x, t) · g l = ∂ ∂xl ( x˙ + ∂X ∂t ) (x, t) · g l = ∇lx˙ l + ∂gl ∂t (x, t) · g l , 4

体积形态连续介质有限变形理论变形梯度及其基本性质 谢锡麟 此处 via=o(a, t)+rsis 另成立以下关系式 1k9(x,t) √9ot 综上所述,可见就曲线坐标系显含时间有限变形理论,只是速度以及张量场的物质导数不同 于一般有限变形理论;变形梯度的定义及其基本性质在内蕴形式上同一般有限变形理论保持 2应用事例 3建立路径 变形梯度可以本质性地理解为当前物理构型与初始物理构型间的有向线元之间的可微性意 义下的关系,或者理解为物理空间中变形刻画向量值映照的“导数 变形梯度的基本性质决定了变形刻画关系式的建立

有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -变形梯度及其基本性质 谢锡麟 此处 ∇lx˙ l = ∂x˙ l ∂xl (x, t) + Γ l lsx˙ s . 另成立以下关系式 ∂gl ∂t (x, t) · g l = g lkgk · ∂gl ∂t (x, t) = 1 2 g lk ∂glk ∂t (x, t) = 1 √g ∂ √g ∂t (x, t). 综上所述, 可见就曲线坐标系显含时间有限变形理论, 只是速度以及张量场的物质导数不同 于一般有限变形理论; 变形梯度的定义及其基本性质在内蕴形式上同一般有限变形理论保持一 致. 2 应用事例 3 建立路径 • 变形梯度可以本质性地理解为当前物理构型与初始物理构型间的有向线元之间的可微性意 义下的关系, 或者理解为物理空间中变形刻画向量值映照的 “导数”. • 变形梯度的基本性质决定了变形刻画关系式的建立. 5