第二章拉格朗日动力学 1788年, Lagrange发表名著《分析力学》.全书无图, 藉助数学分析建立运动方程 约束与广义坐标 虚位移与约束力 虚功原理约束体系的静平衡 达朗贝尔原理拉格朗日方程 广义势耗散函数 守恒定律 时空对称性与守恒量 位形时空的拉格朗日方程
第二章 拉格朗日动力学 约束与广义坐标 虚位移与约束力 虚功原理 约束体系的静平衡 达朗贝尔原理 拉格朗日方程 广义势 耗散函数 守恒定律 时空对称性与守恒量 位形时空的拉格朗日方程 1788年，Lagrange发表名著《分析力学》．全书无图， 藉助数学分析建立运动方程．
§21约束与广义坐标 1.约束及其分类 约束运动过程中,质点位置和速度受到的限制 质点系 i=1.2.…·n ∫(n,n2…;,2…;)=0约束方程 几何约束与速度无关,仅对几何位形加以限制 单摆-72=x2+y2-P=0 1个几何约束减少1个独立坐标
§2.1 约束与广义坐标 1．约束及其分类 约束 运动过程中，质点位置和速度受到的限制 质点系 1,2, , ir i n 12 12 ,, ,;,, ,; 0 n n f t rr rrr r 约束方程 几何约束 与速度无关，仅对几何位形加以限制 1 2 ,, ,; 0 n f t rr r r O x y l 单摆 2 2 2 22 r l xyl 0 1个几何约束减少1个独立坐标
运动约束涉及体系运动情况(质点速度) 作曲线运动的纯滚动直立圆盘 x,y 盘心v=R x-Rcos=01个运动约束减少 j-R6sing=01个独立速度分量 圆盘可由任一指定初位形出发,到达任一指定末位形 运动约束条件对坐标取值无限制,只对坐标变动限制 不减少独立坐标(取值)个数 圆盘作直线运动=运动约束可积(求解运动前) x-Re cos Po+C=O y-ROsin o +C=0 可积运动约束实质等价于几何约束
运动约束 涉及体系运动情况（质点速度） 作曲线运动的纯滚动直立圆盘 盘心 v R cos 0 sin 0 x R y R 圆盘作直线运动 1个运动约束减少 1个独立速度分量 圆盘可由任一指定初位形出发，到达任一指定末位形． 运动约束条件对坐标取值无限制，只对坐标变动限制， 不减少独立坐标（取值）个数． 0 运动约束可积（求解运动前） 0 1 0 2 cos 0 sin 0 x R C yR C 可积运动约束实质等价于几何约束 x y z x y
完整约東几何约束与可积运动约束,1个约束方程同时减 少1个独立坐标与1个独立速度分量 非完整约束不可积运动约束,1个约束方程只减少1个独 立速度分量 完整体系所有约束皆完整 非完整体系至少含1个非完整约束 2.自由度 自由度体系可独立变动(并非取值)坐标的个数, 即独立速度分量的个数 l-2 1.2.….k 5n1125 in;t)=0y=1,2…k
完整约束 几何约束与可积运动约束，1个约束方程同时减 少1个独立坐标与1个独立速度分量． 非完整约束 不可积运动约束，1个约束方程只减少1个独 立速度分量． 完整体系 所有约束皆完整 非完整体系 至少含1个非完整约束 2．自由度 自由度 体系可独立变动（并非取值）坐标的个数， 即独立速度分量的个数 1,2, , ir i n 1 2 , , , ; 0 1,2, , j n f rr r t j k 12 12 , , , ; , , , ; 0 1,2, , j nn f tj k rr rrr r
独立坐标数s=3n-k自由度f=3n-k-k 完整系k′=0f=s非完整系k>0f<s 3.广义坐标 双摆 x +yi 0 x1,y1 (x2-x)+(y2-y)-2=0 y2 4个坐标中,可任选独立的2个确定位形 可另选两个独立 x =l sin e 参量确定位形 y COS (B2) x2=lsin 8+lysin y2=l cos,+l, cos 8
独立坐标数 s nk 3 自由度 f 3nkk 完整系 k 0 f s 非完整系 k 0 f s 3．广义坐标 2 22 1 11 2 2 2 21 21 2 0 0 xyl xx yy l 4个坐标中，可任选独立的 2个确定位形 y x 1 l 2l 1 2 1 1 x y, 2 2 x y, 1 2 , 双摆 11 1 11 1 2 1 12 2 2 1 12 2 sin cos sin sin cos cos x l y l xl l yl l 可另选两个独立 参量确定位形