体积形态连续介质有限变形理论一变形刻画 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 基于变形梯度的基本性质,可按郭仲衡(1980)0关于一般有限变形理论的处理,将变形的全 部刻画分为4类,归结为如下4个性质 11变形梯度基本性质 性质1.1(变形梯度基本性质) 1. det F () (E,t)=:|F 2.F=(v⑧口)·F 3.F=供F,此处θ会v口=口·V 12各类物质系统的向量值映照刻画 基于微分学研究变形刻画,首先引入 1.初始及当前物理构型中物质线的向量值映照刻画(如图1所示) X(X):[a,bA+X(A)全X(E(入) X():[a,b>A→X(A)全X(x((),, 2.初始及当前物理构型中物质面的向量值映照刻画(如图2所示) x(A,以):D3(入n}→x(x,)((入,) x(,):D3{,→X(入,)全X(x((A,p),t),t) 3.初始及当前物理构型中物质体的向量值映照刻画(如图3所示) x(,,2):Dx3{A,p,}→X(A,,)全X(E(X,,7) {A,p?} 1)全X(a(∈(A,p,),t),t) ①郭仲衡.非线性弹性理论.北京:科学出版社,1980
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论—变形刻画 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 基于变形梯度的基本性质, 可按郭仲衡 (1980)➀关于一般有限变形理论的处理, 将变形的全 部刻画分为 4 类, 归结为如下 4 个性质. 1.1 变形梯度基本性质 性质 1.1 (变形梯度基本性质). 1. detF = √g √ G det ( ∂xi ∂ξA ) (ξ, t) =: |F|; 2. F˙ = (V ⊗ ) · F; 3. ˙ |F| = θ|F|, 此处θ , V · = · V . 1.2 各类物质系统的向量值映照刻画 基于微分学研究变形刻画, 首先引入 1. 初始及当前物理构型中物质线的向量值映照刻画 (如图1所示): ◦ X(λ) : [a, b] ∋ λ 7→ ◦ X(λ) , ◦ X(ξ(λ)), t X(λ) : [a, b] ∋ λ 7→ t X(λ) , X(x(ξ(λ), t), t). 2. 初始及当前物理构型中物质面的向量值映照刻画 (如图2所示): ◦ X(λ, µ) : Dλµ ∋ {λ, µ} 7→ ◦ X(λ, µ) , ◦ X(ξ(λ, µ)), t X(λ, µ) : Dλµ ∋ {λ, µ} 7→ t X(λ, µ) , X(x(ξ(λ, µ), t), t). 3. 初始及当前物理构型中物质体的向量值映照刻画 (如图3所示): ◦ X(λ, µ, γ) : Dλµγ ∋ {λ, µ, γ} 7→ ◦ X(λ, µ, γ) , ◦ X(ξ(λ, µ, γ)), t X(λ, µ, γ) : Dλµγ ∋ {λ, µ γ} 7→ t X(λ, µ, γ) , X(x(ξ(λ, µ, γ), t), t). ➀ 郭仲衡. 非线性弹性理论. 北京: 科学出版社, 1980. 1
体积形态连续介质有限变形理论-变形刻画 谢锡麟 初始物理构型v 当前物理构型v X(5()=:X() X(as(A)), ty: =X() r(E(,) 初始参数构型Vs 当前参数构型 Figure1:物质线变形刻画示意 13变形刻 基于上述向量值映照以及微分学,可获得变形刻画,归类为下述4类性质 1.3.1第一类初始物理构型与当前物理构型中有向线元面元以及体元之间的关系式 性质1.2(初始物理构型一当前物理构型中有向线元、面元以及体元之间的关系式) xx (A)=F·(从); aX×1)()=(FF ( D)( OX aX aX 3. x)=叫aD1a(7) 证明本性质证明主要应用链式求导法则及 Nanson公式
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -变形刻画 谢锡麟 ◦X1 ◦X2 ◦X3 O 際丐へ⨶㎎鰭 ◦ V ◦X(ξ(λ)) =: ◦X(λ) ξ 1 ξ 2 ξ 3 O 際丐尻閻㎎鰭 ◦ V ξ ξ(λ) ◦X X1 X2 X3 O 澀晒へ⨶㎎鰭 t V X(x(ξ(λ)), t) := t X(λ) x 1 x 2 x 3 O 澀晒尻閻㎎鰭 t V x x(ξ(λ), t) X x λ a λ b ξ Figure 1: 物质线变形刻画示意 1.3 变形刻画 基于上述向量值映照以及微分学, 可获得变形刻画, 归类为下述 4 类性质. 1.3.1 第一类 初始物理构型与当前物理构型中有向线元面元以及体元之间的关系式 性质 1.2 (初始物理构型－当前物理构型中有向线元、面元以及体元之间的关系式). 1. d t X dλ (λ) = F · d ◦ X dλ (λ); 2. ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ (λ, µ) = (|F|F −∗) · ∂ ◦ X ∂λ × ∂ ◦ X ∂µ (λ, µ); 3. ∂ t X ∂λ , ∂ t X ∂µ , ∂ t X ∂γ R3 (λ, µ, γ) = |F| ∂ ◦ X ∂λ , ∂ ◦ X ∂µ , ∂ ◦ X ∂γ R3 (λ, µ, γ). 证明 本性质证明主要应用链式求导法则及 Nanson 公式. 2
体积形态连续介质有限变形理论变形刻画 谢锡麟 初始物理构型V 当前物理构型 X(e(E(A, p)), t): =X(a/p) 初始参数构型v 当前参数构型 O Figure2:物质面变形刻画示意 1.由X(从)=X(x(￡(A),t),t),有 dx aX d入aal a∈x(9③C (从)GB dx决B()=F.只 -F. duBoi d入
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -变形刻画 谢锡麟 ◦X1 ◦X2 ◦X3 O 際丐へ⨶㎎鰭 ◦ V ◦X(ξ(λ, µ)) =: ◦X(λ, µ) ξ 1 ξ 2 ξ 3 O 際丐尻閻㎎鰭 ◦ V ξ ξ(λ, µ) ◦X X1 X2 X3 O 澀晒へ⨶㎎鰭 t V X(x(ξ(λ, µ)), t) := t X(λ, µ) x 1 x 2 x 3 O 澀晒尻閻㎎鰭 t V x x(ξ(λ, µ), t) X x λ µ O Dλµ λ µ ! ξ Figure 2: 物质面变形刻画示意 1. 由 t X(λ) = X(x(ξ(λ), t), t), 有 d t X dλ = ∂X ∂xi (x, t) ∂xi ∂ξA (ξ) dξ A dλ (λ) = ( ∂xi ∂ξA (ξ)gi ⊗ GA ) · ( dξ B dλ (λ)GB ) = F · dξ B dλ ∂ ◦ X ∂ξB (ξ) = F · d ◦ X dλ (λ). 3
体积形态连续介质有限变形理论变形刻画 谢锡麟 初始物理构型 当前物理构型v C2(sb?).t) 初始参数构型V 当前参数构型 O Figure3:物质体变形刻画示意 2.由X(A,p)=X(x(E(A,p),t),t),有 OX aX OXXb(A.)=F·(x,p)×F OX aX F (A, u 式中最后一步利用了 Nanson公式
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -变形刻画 谢锡麟 ◦X1 ◦X2 ◦X3 O 際丐へ⨶㎎鰭 ◦ V ◦X(ξ(λ, µ, γ)) =: ◦X(λ, µ, γ) ξ 1 ξ 2 ξ 3 O 際丐尻閻㎎鰭 ◦ V ξ ξ(λ, µ) ◦X X1 X2 X3 O 澀晒へ⨶㎎鰭 t V X(x(ξ(λ, µ, γ)), t) := t X(λ, µ, γ) x 1 x 2 x 3 O 澀晒尻閻㎎鰭 t V x x(ξ(λ, µ, γ), t) X x O λ µ γ λ µ γ ξ Figure 3: 物质体变形刻画示意 2. 由 t X(λ, µ) = X(x(ξ(λ, µ), t), t), 有 ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ (λ, µ) = F · ∂ ◦ X ∂λ (λ, µ) × F · ∂ ◦ X ∂µ (λ, µ) = |F|F −∗ · ∂ ◦ X ∂λ × ∂ ◦ X ∂µ (λ, µ). 式中最后一步利用了 Nanson 公式. 4
体积形态连续介质有限变形理论-变形刻画 谢锡麟 3.由X(A,p,)=X(x((A,,),t),t),有 ox axaX ax A,,)=F -IFix ax oX 式中最后一步直接利用了 Nanson公式 1.3.2第二类初始物理构型与当前物理构型中有向线元面元模之间的关系式 性质1.3(初始物理构型一当前物理构型中有向线元、面元模之间的关系式) (F…F)·a(x 2DX(m)=四F./ae (A,p) 证明本性质证明主要应用链式求导法则及对称正定仿射量的幂运算. 利用性质12中的相应结论,有 X =F·x(从),P、dx(入 (x)、(F,F).aX =x(x)F·F2(r,F1.x(x) ((F*. F)I dx 即有 川=(F…·F)·()
有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -变形刻画 谢锡麟 3. 由 t X(λ, µ, γ) = X(x(ξ(λ, µ, γ), t), t), 有 ∂ t X ∂λ , ∂ t X ∂µ , ∂ t X ∂γ R3 (λ, µ, γ) = F · ∂ ◦ X ∂λ ,F · ∂ ◦ X ∂µ ,F · ∂ ◦ X ∂γ R3 (λ, µ, γ) = |F| ∂ ◦ X ∂λ , ∂ ◦ X ∂µ , ∂ ◦ X ∂γ R3 (λ, µ, γ). 式中最后一步直接利用了 Nanson 公式. 1.3.2 第二类 初始物理构型与当前物理构型中有向线元面元模之间的关系式 性质 1.3 (初始物理构型－当前物理构型中有向线元、面元模之间的关系式). 1. d t X dλ (λ) R3 = (F ∗ · F) 1 2 · d ◦ X dλ (λ) R3 ; 2. ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ R3 (λ, µ) = |F| (F ∗ · F) − 1 2 · ∂ ◦ X ∂λ × ∂ ◦ X ∂µ (λ, µ) R3 . 证明 本性质证明主要应用链式求导法则及对称正定仿射量的幂运算. 1. 利用性质1.2中的相应结论, 有 d t X dλ (λ) 2 R3 = d t X dλ (λ), d t X dλ (λ) R3 = F · d ◦ X dλ (λ),F · d ◦ X dλ (λ) R3 = d ◦ X dλ (λ) · (F ∗ · F) · d ◦ X dλ (λ) = d ◦ X dλ (λ) · (F ∗ · F) 1 2 · (F ∗ · F) 1 2 · d ◦ X dλ (λ) = (F ∗ · F) 1 2 · d ◦ X dλ (λ) 2 R3 , 即有 d t X dλ (λ) R3 = (F ∗ · F) 1 2 · d ◦ X dλ (λ) R3 . 5