山东大学：《弹性力学》课程讲义_第四章 广义胡克定律

弹性力学讲义(2014版),山东大学岩土中心王者超 第四章广义胡克定律 第四章广义胡克定律 §4.1节广义胡克定律 §42节拉梅常数与工程弹性常数.… §43节弹性应变能函数 §44节横观各向同性弹性

弹性力学讲义（2014 版），山东大学岩土中心 王者超 1 第四章 广义胡克定律 第四章 广义胡克定律.....................................................................................................................1 §4.1 节 广义胡克定律.............................................................................................................2 §4.2 节 拉梅常数与工程弹性常数.........................................................................................5 §4.3 节 弹性应变能函数.........................................................................................................8 §4.4 节 横观各向同性弹性.....................................................................................................9

弹性力学讲义(2014版),山东大学岩土中心王者超 §41节广义胡克定律 (一)单向应力状态下胡克定律 单向应力状态下,处于线弹性阶段材料,其应力与应变关系可由下式表示 F=E 其中E为材料的弹性模量。 )三维广义胡克定律 三维条件下,物体应力状态可由6个分量表示,而应变状态也由6个分量表示。 假设应力与应变的各个分量之间均相关,一般地 =C5x+c12y+35=+C145x+cis5 Ou=CIEx +C22Ew t C238+ C24E +C2sE-+C26& ==C315x+c32y+C35=+c345y+cy5y=+c365x +C425y+C43E=+c4 Cas8-+ca (1) o.=C8 +C52"y +Ca+Cs4"y Oxx=C61Exx +C62EytC63E- +C64ErytC6sEy +C66x 或写作 C61C62C63C64C65C66LE-r 其中,Cm(m,n=1,…,6)为弹性常数 上式建立了应力与应变之间的一般关系,称之为广义胡克定律。 式中共有36个常数 (三)弹性常数矩阵的对称性 上述36个常数并不都是独立的,从§4.3节能量角度考虑,弹性常数矩阵是对称的,即极端

弹性力学讲义（2014 版），山东大学岩土中心 王者超 2 §4.1 节 广义胡克定律 （一）单向应力状态下胡克定律 单向应力状态下，处于线弹性阶段材料，其应力与应变关系可由下式表示：   x x  E 其中 E 为材料的弹性模量。 （二）三维广义胡克定律 三维条件下，物体应力状态可由 6 个分量表示，而应变状态也由 6 个分量表示。 假设应力与应变的各个分量之间均相关，一般地， 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 5 xx xx yy zz xy yz zx yy xx yy zz xy yz zx zz xx yy zz xy yz zx xy xx yy zz xy yz zx yz xx yy c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c                                                           3 54 55 56 61 62 63 64 65 66 zz xy yz zx zx xx yy zz xy yz zx c c c c c c c c c                                （1） 或写作 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 xx xx yy yy zz zz xy xy yz yz zx zx c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c                                                      （2） 其中， Cmn （ m n, 1, ,6   ）为弹性常数。 上式建立了应力与应变之间的一般关系，称之为广义胡克定律。 式中共有 36 个常数。 （三）弹性常数矩阵的对称性 上述 36 个常数并不都是独立的，从§4.3 节能量角度考虑，弹性常数矩阵是对称的，即极端

弹性力学讲义(2014版),山东大学岩土中心王者超 各向异性的弹性体其独立弹性常数只有21个 根据材料本身性质的对称性,独立的弹性常数个数将发生变化。 若材料具有一个对称面,则弹性常数减少至13个; 若材料具有三个正交的对称面,即材料具有正交各向异性,则弹性常数减少至9个; 若材料是横观各向同性的,则弹性常数减少至5个; 最后,若材料是各向同性的,则弹性常数只有2个 (四)弹性常数矩阵对称性证明 假设材料具有一个对称面Oxy,证明弹性常数可由21个减少至13个。 材料在坐标系Oz下,其应力张量为 其应变张量为: 则根据广义胡克定律,其本构方程可表达为 O C C55 Ca C. C. C. c 现在如图所示旋转坐标系,旋转后应力张量为 应变张量为:

弹性力学讲义（2014 版），山东大学岩土中心 王者超 3 各向异性的弹性体其独立弹性常数只有 21 个。 根据材料本身性质的对称性，独立的弹性常数个数将发生变化。 若材料具有一个对称面，则弹性常数减少至 13 个； 若材料具有三个正交的对称面，即材料具有正交各向异性，则弹性常数减少至 9 个； 若材料是横观各向同性的，则弹性常数减少至 5 个； 最后，若材料是各向同性的，则弹性常数只有 2 个。 （四）弹性常数矩阵对称性证明 假设材料具有一个对称面 Oxy ，证明弹性常数可由 21 个减少至 13 个。 材料在坐标系 Oxyz 下，其应力张量为：   xx xy xz yx yy yz zx zy zz                      其应变张量为：   xx xy xz yx yy yz zx zy zz                      则根据广义胡克定律，其本构方程可表达为： 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 xx xx yy yy zz zz xy xy yz yz zx zx c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c                                                      现在如图所示旋转坐标系，旋转后应力张量为：   xx xy xz yx yy yz zx zy zz                                  应变张量为：

弹性力学讲义(2014版),山东大学岩土中心王者超 新坐标系下应力与应变分量关系仍可用广义胡克定律表示 坐标系旋转前后应力与应变分量关系可用转换公式获得。 新旧坐标系之间的转换矩阵为 且有: o=[az []=[Ll4 根据上述两式得

弹性力学讲义（2014 版），山东大学岩土中心 王者超 4   xx xy xz yx yy yz zx zy zz                                  新坐标系下应力与应变分量关系仍可用广义胡克定律表示： 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 xx xx yy yy zz zz xy xy yz yz zx zx c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c                                                                                       坐标系旋转前后应力与应变分量关系可用转换公式获得。 新旧坐标系之间的转换矩阵为：   1 0 0 0 1 0 0 0 1 L              且有：  '     T    L L  '     T    L L 根据上述两式得： '   xx xx  ， '   yy yy  ， '   zz zz  ， '   xy xy   ， '   yz yz   ， '   zx zx  ' xx xx    ， ' yy yy    ， ' zz zz    ， ' xy xy     ， ' yz yz     ， ' zx zx    x y z z  x  y 

弹性力学讲义(2014版),山东大学岩土中心王者超 将上述关系带入转轴后广义胡克定律得 因此 同理:cs1=c2=c3=C6=0 如此,弹性常数矩阵变为 II 00 00 00 0 0 而弹性常数减少至13个。 特别地,在正交各向异性条件下,弹性常数矩阵为 C,c23000 55 §42节拉梅常数与工程弹性常数 (一)拉梅常数 在主坐标系内考虑各向同性材料 G1=c11+c2E2+C3E3 由于,E对σ1影响与E2对a2和E3对a3影响相同,因此有

弹性力学讲义（2014 版），山东大学岩土中心 王者超 5 将上述关系带入转轴后广义胡克定律得： 41 42 43 44 45 46 41 42 43 44 45 46 ' ' ' ' ' ' ' xy xx yy zz xy yz zx xx yy zz xy yz zx                          c c c c c c c c c c c c xy xy yy zz xy yz zx 41 42 43 44 45 46                 c c c c c c 因此： 41 42 43 46 c c c c     0 同理： 51 52 53 56 c c c c     0 如此，弹性常数矩阵变为： 11 12 13 16 22 23 26 33 36 44 45 55 66 0 0 0 0 0 0 0 0 c c c c c c c c c c c c c       而弹性常数减少至 13 个。 特别地，在正交各向异性条件下，弹性常数矩阵为： 11 12 13 22 23 33 44 55 66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c c c c c c c c c       §4.2 节 拉梅常数与工程弹性常数 （一）拉梅常数 在主坐标系内考虑各向同性材料， 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 3 31 1 32 2 33 3 c c c c c c c c c                           （3） 由于， 1  对 1 影响与 2  对  2 和 3  对 3 影响相同，因此有