考虑p阶自回归模型AR(p) X=1Xt-1+2Xt-2+.+PpXt-p +Et (米) ·引入滞后算子((lag operator)L: LXt=Xt-1,L2Xt=Xt-2,.LPX=Xt-p (*)式变换为 (1-p1L-p2L2-.-0,LP)XFe+ 记④(L)片(1-p1Lp2L2-.-p,L),则称多项式方程 (z）(1-01Z-02z2-.-0z)=0 为AR(p)的特征方程(characteristic equation)。 可以证明，如果该特征方程的所有根在单位圆外 (根的模大于1)，则AR(p)模型是平稳的。 16
16 考虑p阶自回归模型AR(p) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + . + pXt-p +t (*) • 引入滞后算子（lag operator ）L： LXt=Xt-1 , L2Xt=Xt-2 , ., LpXt=Xt-p (*)式变换为 (1-1L- 2L 2-.-pL p)Xt =t 记(L)= (1-1L- 2L 2-.-pL p),则称多项式方程 (z)= (1-1z- 2z 2-.-pz p)=0 为AR(p)的特征方程(characteristic equation)。 可以证明，如果该特征方程的所有根在单位圆外 （根的模大于1），则AR(p)模型是平稳的
例5.2.1AR(1)模型的平稳性条件。 对1阶自回归模型AR(1) X,=pX-1+8 方程两边平方再求数学期望，得到Xt的方差 E(X)=p2E(X2)+E(e)+2E(X,-16,) 由于X仅与c相关，因此，E(X1G)=0。如果该模型稳 定，则有E(X2)=E(X2),从而上式可变换为： 1-0 在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有仰K1。 17
17 例5.2.1 AR(1)模型的平稳性条件。 对1阶自回归模型AR(1) X t X t t = + −1 方程两边平方再求数学期望，得到Xt的方差 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 2 1 2 2 E Xt E Xt E t E Xt t = − + + − 由于Xt仅与t相关，因此，E(Xt-1t )=0。如果该模型稳 定，则有E(Xt 2 )=E(Xt-1 2 )，从而上式可变换为： 2 2 2 0 1 − = X = 在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有 ||<1
而AR(1)的特征方程 Φ(z)=1-0z=0 的根为 z=1/0 AR(1)稳定，即p<1,意味着特征根大于1。 例5.2.2AR(2)模型的平稳性。 对AR(2)模型 X,=p1X-1+02X-2+8, 方程两边同乘以X,再取期望得： Y0=p1Y1+p2Y2+E(X,E,) 18
18 而AR(1)的特征方程 (z) = 1−z = 0 的根为 z=1/ AR(1)稳定，即 || <1，意味着特征根大于1。 例5`.2.2 AR(2)模型的平稳性。 对AR(2)模型 Xt Xt Xt t = + + 1 −1 2 −2 方程两边同乘以Xt，再取期望得： ( ) 0 1 1 2 2 E Xt t = + +
又由于 E(X,8,)=p,E(X-18,)+p2E(X,-28,)+E(8)=o2 于是 Y0=0M1+p2Y2+o 同样地，由原式还可得到 Y1=PiYo +P2Y Y2=01Y1+02Y0 于是方差为 (1-02)2 1+p21-91-p21+01-02) 19
19 又由于 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) E X t t = E X t− t + E X t− t + E t = 于是 2 0 1 1 2 2 = + + 同样地，由原式还可得到 2 1 1 2 0 1 1 0 2 1 = + = + 于是方差为 (1 )(1 )(1 ) (1 ) 2 1 2 1 2 2 2 0 + − − + − − =
由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，于是门 p1+p2<1,02-011,p2<1 这就是AR(2)的平稳性条件，或称为平稳域。它是一顶点 分别为(-2，-1)，(2，-1)，(0,1)的三角形。 01 (-2,-1) (2,-1) 图9.2.1 AR(2)模型的平稳域 20
20 由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，于是有 1+2 <1, 2 -1 <1, |2 |<1 这就是AR(2)的平稳性条件，或称为平稳域。它是一顶点 分别为（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形。 2 (0,1) 1 (-2, -1) (2, -1) 图 9.2.1 AR(2)模型的平稳域