系综 Q有M个假想系统，1时刻，I-h个系统处于态l(t)》 iia,l山1(t)》=Alw1(t)》 @物理量=系综平均 o0=2au0lort0n=2ni0ao TrTrOp)
系综 有 M 个假想系统，𝑡 时刻，𝑙-th 个系统处于态 |𝜓𝑙(𝑡)i 𝑖ℏ𝜕𝑡 |𝜓𝑙(𝑡)i = H | ˆ 𝜓𝑙(𝑡)i 物理量 = 系综平均 𝑂(𝑡) = 1 𝑀 ∑ 𝑀 𝑙=1 h𝜓𝑙(𝑡)|𝑂ˆ|𝜓𝑙(𝑡)i = 1 𝑀 ∑ 𝑀 𝑙=1 𝑇𝑟{𝑂ˆ 𝜌ˆ𝑙(𝑡)} = 𝑇𝑟{𝑂ˆ 1 𝑀 ∑ 𝑀 𝑙=1 𝜌ˆ𝑙(𝑡)} = 𝑇𝑟{𝑂ˆ 𝜌ˆ(𝑡)}
系综 Q系综密度矩阵p=(t) Pow0=)=M∑owo》Xl =a∑an0eia0 M 处于σ〉上的几率 Q量子Liouville方程 ,0=后∑aA)=M∑A】=A,7∑Ao ia,(1)=[A,p(t)] 利用密度矩阵，系综理论的结果和纯粹量子力学的结果形式 上完全相同
系综 系综密度矩阵 𝜌ˆ = 1 𝑀 ∑ 𝑙 𝜌ˆ𝑙(𝑡) 𝜌𝜎 𝜎0 (𝑡) = h𝜎|𝜌ˆ(𝑡)|𝜎 0 i = 1 𝑀 ∑ 𝑙 h𝜎|𝜓𝑙(𝑡)ih𝜓𝑙(𝑡)|𝜎 0 i = 1 𝑀 ∑ 𝑙 𝑐𝑙 𝜎 (𝑡)𝑐 ∗ 𝑙 𝜎0 (𝑡) 𝜌𝜎 𝜎 (𝑡) = 1 𝑀 ∑ 𝑀 𝑙=1 |𝑐𝑙 𝜎 (𝑡)|2 ✞ ✝ ☎ ✆ 处于 |𝜎i 上的几率 量子 Liouville 方程 𝑖ℏ𝜕𝑡 𝜌ˆ(𝑡) = 1 𝑀 ∑ 𝑙 𝑖ℏ𝜕𝑡 𝜌ˆ𝑙(𝑡) = 1 𝑀 ∑ 𝑙 [Hˆ , 𝜌ˆ𝑙(𝑡)] = [Hˆ , 1 𝑀 ∑ 𝑙 𝜌ˆ𝑙(𝑡)] 𝑖ℏ𝜕𝑡 𝜌ˆ(𝑡) = [Hˆ , 𝜌ˆ(𝑡)] ☞ 利用密度矩阵，系综理论的结果和纯粹量子力学的结果形式 上完全相同
纯态密度矩阵和混合态密度矩阵 Pp=lu)ul 纯态密度矩阵 pp=lv)(ul)MI=l)uI=Pp Pm=∑ )( 混合态密度矩阵 2=∑irer1+p 例子 w=o+)→，-》 lw1〉= V50)+11) m-+日训-69)
纯态密度矩阵和混合态密度矩阵 𝜌𝑝 = |𝜓ih𝜓| ✞ ✝ ☎ 纯态密度矩阵 ✆ 𝜌 2 𝑝 = |𝜓ih𝜓|𝜓ih𝜓| = |𝜓ih𝜓| = 𝜌𝑝 𝜌𝑚 = 1 𝑀 ∑ 𝑙 |𝜓𝑙ih𝜓𝑙 | ✞ ✝ ☎ 混合态密度矩阵 ✆ 𝜌 2 𝑚 = 1 𝑀2 ∑ 𝑙𝑙0 (h𝜓𝑙 |𝜓𝑙 0i)|𝜓𝑙ih𝜓𝑙 0 | ≠ 𝜌𝑚 例子 |𝜓i = 1 √ 2 (|0i + |1i) ⇒ 𝜌ˆ 𝑝 = 1 2 ( 1 1 1 1) |𝜓1i = 1 √ 2 (|0i + |1i) |𝜓2i = 1 √ 2 (|0i − |1i) ⇒ 𝜌ˆ𝑚 = 1 4 [ (1 1 1 1) + ( 1 −1 −1 1 ) ] = 1 2 ( 1 0 0 1)
纯态密度矩阵和混合态密度矩阵 O=Pp-p2=Pp(1-Pp)=Ap =0/I 年 纯态密度矩阵：Pp的特征值为零或者一 Tr{Pp}=1→特征值中有一个为一，其余为零 s混合态密度矩阵的特征值介乎零和一之间 密度矩阵的含义 Q对角元P。a(t)表示（系综里的)系统处于lo〉态的几率 Q归一性：1=Tr{P}=∑。Pa(t) Q.非对角元P。'。(t)描述lo〉和|o〉态之间的关联
纯态密度矩阵和混合态密度矩阵 0 = 𝜌𝑝 − 𝜌 2 𝑝 = 𝜌𝑝 (1 − 𝜌𝑝) ⇒ 𝜆 𝑝 = 0/1 ☞ 纯态密度矩阵：𝜌𝑝 的特征值为零或者一 ☞ 𝑇𝑟{𝜌𝑝} = 1 ⇒ 特征值中有一个为一，其余为零 ☞ 混合态密度矩阵的特征值介乎零和一之间 密度矩阵的含义 对角元 𝜌𝜎 𝜎 (𝑡) 表示（系综里的）系统处于 |𝜎i 态的几率 归一性：1 = 𝑇𝑟{𝜌} = ∑ 𝜎 𝜌𝜎 𝜎 (𝑡) 非对角元 𝜌𝜎0 𝜎 (𝑡) 描述 |𝜎i 和 |𝜎 0 i 态之间的关联
定态系综 o()=Trip(t)o) 平衡态：达到平衡，系统状态不随时间变化； 仁定态：O不随时间变化仁密度矩阵不随时间改变 0=ia,p=【A,]→[A,]=0 露定态系综中P是宏观守恒量的函数 p=(A,B,…) 常见宏观守恒量有能量A,粒子数N,· p=(H,N,…)》 Q.微正则系综：户=6(E-代) Q正则系综：p=之e明 Q巨正则系综：p=eB(H-u)
定态系综 𝑂ˆ(𝑡) = 𝑇𝑟{𝜌ˆ(𝑡)𝑂ˆ } 平衡态：达到平衡，系统状态不随时间变化； ⇐ 定态：𝑂ˆ 不随时间变化 ⇐ 密度矩阵不随时间改变 0 = 𝑖ℏ𝜕𝑡 𝜌ˆ = [Hˆ , 𝜌ˆ] ⇒ [Hˆ , 𝜌ˆ] = 0 ☞ 定态系综中 𝜌 是宏观守恒量的函数 𝜌ˆ = 𝜌ˆ(𝐴,ˆ 𝐵,ˆ · · · ) ☞ 常见宏观守恒量有能量 Hˆ ，粒子数 𝑁ˆ，· · · 𝜌ˆ = 𝜌ˆ(Hˆ , 𝑁, ˆ · · · ) 微正则系综：𝜌ˆ = 1 Ω 𝛿(𝐸 − H ) ˆ 正则系综：𝜌ˆ = 1 𝑍 𝑒 −𝛽Hˆ 巨正则系综：𝜌ˆ = 1 Ξ 𝑒 −𝛽(H−𝜇𝑁ˆ )