Liouville定理 。物理量随时间的变化 do drdp apo(r.p) 相空间代表点密度改变导致系综平均改变 o.Liouville定理 系综里的系统不会凭空消失或者凭空增加台相空间中代表 点守恒一代表点密度改变仅由从体积元表面进出决定 器+∑a,o+p,on】 0 =器+∑Ia,p+apna,+nd+n,Al -0+∑pon,0-anpo,0 +p∑ar,p,H-p.r,0
Liouville 定理 物理量随时间的变化 𝑑𝑂 𝑑𝑡 = ˆ 𝑑𝒓𝑑 𝒑 𝜕 𝜌 𝜕𝑡 𝑂(𝒓, 𝒑) ☞ 相空间代表点密度改变导致系综平均改变 Liouville 定理 系综里的系统不会凭空消失或者凭空增加 ⇔ 相空间中代表 点守恒 ⇔ 代表点密度改变仅由从体积元表面进出决定 0 = 𝜕 𝜌 𝜕𝑡 + ∑ 𝑖 [𝜕𝒓𝑖 (𝜌𝒓¤𝑖) + 𝜕𝒑𝑖 (𝜌 𝒑¤ 𝑖 )] = 𝜕 𝜌 𝜕𝑡 + ∑ 𝑖 [(𝜕𝒓𝑖 𝜌)𝒓¤𝑖 + (𝜕𝒑𝑖 𝜌) 𝒑¤ 𝑖 + 𝜌(𝜕𝒓𝑖 𝒓¤𝑖 + 𝜕𝒑𝑖 𝒑¤ 𝑖 )] = 𝜕 𝜌 𝜕𝑡 + ∑ 𝑖 [(𝜕𝒓𝑖 𝜌) (𝜕𝒑𝑖H ) − (𝜕𝒑𝑖 𝜌) (𝜕𝒓𝑖H )] + 𝜌 ∑ 𝑖 [𝜕𝒓𝑖 𝜕𝒑𝑖H − 𝜕𝒑𝑖 𝜕𝒓𝑖H ]
Liouville定理 0= +ar,pap,0-∑ap,par,0 op ap =a+{n,H0 贵-器+∑a,pt+ppnl 器+∑apon0-∑np,W=0 跟随某个代表点运动时，其周围代表点密度不变 →系综是不可压缩“流体” 露跟随系综里某个系统，与其状态相似的系统数不随时间变化 面代表点占据的总体积不变
Liouville 定理 0 = 𝜕 𝜌 𝜕𝑡 + ∑ 𝑖 (𝜕𝒓𝑖 𝜌) (𝜕𝒑𝑖H ) − ∑ 𝑖 (𝜕𝒑𝑖 𝜌) (𝜕𝒓𝑖H ) = 𝜕 𝜌 𝜕𝑡 + {𝜌, H } 𝑑𝜌 𝑑𝑡 = 𝜕 𝜌 𝜕𝑡 + ∑ 𝑖 [(𝜕𝒓𝑖 𝜌)𝒓¤𝑖 + (𝜕𝒑𝑖 𝜌) 𝒑¤ 𝑖 ] = 𝜕 𝜌 𝜕𝑡 + ∑ 𝑖 (𝜕𝒓𝑖 𝜌) (𝜕𝒑𝑖H ) − ∑ 𝑖 (𝜕𝒑𝑖 𝜌) (𝜕𝒓𝑖H ) = 0 ☞ 跟随某个代表点运动时，其周围代表点密度不变 ⇒ 系综是不可压缩“流体” ☞ 跟随系综里某个系统，与其状态相似的系统数不随时间变化 ☞ 代表点占据的总体积不变
定态系综 0= op =(H.p) Ot Q平衡态一物理量不随时间变化←几率密度不随时间变化 (定态) Q定态系综的几率密度是守恒量的函数 P=p(A,B,…) 。系综主要反映系统的宏观性质，因此只应该这些守恒量也应 该是体现宏观性质的物理量 Q常见的宏观守恒量：保守系里的Hamiltonian H,粒子数N, ·→ p=p(H,N,…) Q微正则系综：p(r,p)=6(E-H(r,p川 Q正则系综：p(m,p)=之eHr,p) Q巨正则系综：p(TN,PN)=是-BlH(TN,PNw-uN]
定态系综 0 = 𝜕 𝜌 𝜕𝑡 = {H, 𝜌} 平衡态 ⇐ 物理量不随时间变化 ⇐ 几率密度不随时间变化 （定态） 定态系综的几率密度是守恒量的函数 𝜌 = 𝜌(𝐴, 𝐵, · · · ) 系综主要反映系统的宏观性质，因此只应该这些守恒量也应 该是体现宏观性质的物理量 常见的宏观守恒量：保守系里的 Hamiltonian H，粒子数 𝑁， · · · ⇒ 𝜌 = 𝜌(H, 𝑁, · · · ) 微正则系综：𝜌(𝒓, 𝒑) = 1 Ω 𝛿(𝐸 − H (𝒓, 𝒑)] 正则系综：𝜌(𝒓, 𝒑) = 1 𝑍 𝑒 −𝛽H (𝒓, 𝒑) 巨正则系综：𝜌(𝒓𝑁 , 𝒑𝑁 ) = 1 Ξ 𝑒 −𝛽[H (𝒓 𝑁 , 𝒑𝑁 )𝑁 −𝜇𝑁 ]
8.3量子系综理论 微观描述 @微观描述：系统的波函数也(1)》 iha,lw(t)》=Hl地(t)》 Q基展开：正交完备基{lo)}:(σσ)=6。g ∑。lo)(ol=1 w》=∑l)(l》=∑ca0la） ca(t)=(olw(t)》:向量 1=w(lwe》=∑(loow》=∑lco(P lc。(t)2=系统处于lσ〉的几率 0=∑=loo10loo1=∑0 rolXo1 矩阵 ō0)=(w()01w()》=∑()lo)o101a')o'w(》 =∑o1ola'a'1w(oolo）=∑0opra0=TriOp())
8.3 量子系综理论 微观描述 微观描述：系统的波函数 |𝜓(𝑡)i 𝑖ℏ𝜕𝑡 |𝜓(𝑡)i = H | ˆ 𝜓(𝑡)i 基展开：正交完备基 {|𝜎i}：h𝜎|𝜎 0 i = 𝛿𝜎 𝜎0 ∑ 𝜎 |𝜎ih𝜎| = 1 |𝜓(𝑡)i = ∑ 𝜎 |𝜎ih𝜎|𝜓(𝑡)i = ∑ 𝜎 𝑐𝜎 (𝑡)|𝜎i ✞ ✝ ☎ ✆ 𝑐𝜎 (𝑡) = h𝜎|𝜓(𝑡)i：向量 1 = h𝜓(𝑡)|𝜓(𝑡)i = ∑ 𝜎 h𝜓(𝑡)|𝜎ih𝜎|𝜓(𝑡)i = ∑ 𝜎 |𝑐𝜎 (𝑡)|2 ✞ ✝ ☎ ✆ |𝑐𝜎 (𝑡)|2 = 系统处于 |𝜎i 的几率 𝑂ˆ = ∑ 𝜎 𝜎0 = |𝜎ih𝜎|𝑂ˆ|𝜎 0 ih𝜎 0 | = ∑ 𝜎 𝜎0 𝑂 𝜎 𝜎0 |𝜎ih𝜎 0 | ✞ ✝ ☎ 矩阵 ✆ 𝑂(𝑡) = h𝜓(𝑡)|𝑂ˆ|𝜓(𝑡)i = ∑ 𝜎 𝜎0 h𝜓(𝑡)|𝜎ih𝜎|𝑂ˆ|𝜎 0 ih𝜎 0 |𝜓(𝑡)i = ∑ 𝜎 𝜎0 h𝜎|𝑂ˆ|𝜎 0 ih𝜎 0 |𝜓(𝑡)ih𝜓(𝑡)|𝜎i = ∑ 𝜎 𝜎0 𝑂 𝜎 𝜎0 𝜌𝜎0 𝜎 (𝑡) = 𝑇𝑟{𝑂ˆ 𝜌ˆ(𝑡)}
密度矩阵：p(t)=l山(t)》地(t)川 p(t)=lw(t)》((t川=p(t) Po()=(olw()》Iw()lo）=co(t)c(t) Poo(t)=Ica(t)12 对角元：处于σ〉态的几率 Trp}=∑poa0=∑lcaP=l p2(t)=l地(t)》((t)w(t)》(w(t)川=lw(t)》×1×(w(t川=p(t) ia,p=[i访alw(t)月w()训+lw(t)[iha,(w(t)川=[-i访a,w()]f =Hw()》w(t)川-lw(t)》w()A=A()-(t)A ihap(t)[H,p(t)] 霉可以用密度矩阵今来代替波函数
密度矩阵：𝜌ˆ(𝑡) = |𝜓(𝑡)ih𝜓(𝑡)| 𝜌 † (𝑡) = |𝜓(𝑡)ih𝜓(𝑡)| = 𝜌(𝑡) 𝜌𝜎 𝜎0 (𝑡) = h𝜎|𝜓(𝑡)ih|𝜓(𝑡)|𝜎 0 i = 𝑐𝜎 (𝑡)𝑐 ∗ 𝜎0 (𝑡) 𝜌𝜎 𝜎 (𝑡) = |𝑐𝜎 (𝑡)|2 ✞ ✝ ☎ ✆ 对角元：处于 |𝜎i 态的几率 𝑇𝑟{𝜌(𝑡)} = ∑ 𝜎 𝜌𝜎 𝜎 (𝑡) = ∑ 𝜎 |𝑐𝜎 (𝑡)|2 = 1 𝜌 2 (𝑡) = |𝜓(𝑡)ih𝜓(𝑡)|𝜓(𝑡)ih𝜓(𝑡)| = |𝜓(𝑡)i × 1 × h𝜓(𝑡)| = 𝜌(𝑡) 𝑖ℏ𝜕𝑡 𝜌ˆ = [𝑖ℏ𝜕𝑡 |𝜓(𝑡)i] h𝜓(𝑡)| + |𝜓(𝑡)i [𝑖ℏ𝜕𝑡h𝜓(𝑡)|] ✞ ✝ ☎ ✆ = [−𝑖ℏ𝜕𝑡 |𝜓(𝑡)i]† = H | ˆ 𝜓(𝑡)ih𝜓(𝑡)| − |𝜓(𝑡)ih𝜓(𝑡)|Hˆ = Hˆ 𝜌ˆ(𝑡) − 𝜌ˆ(𝑡)Hˆ 𝑖ℏ𝜕𝑡 𝜌ˆ(𝑡) = [Hˆ , 𝜌ˆ(𝑡)] ☞可以用密度矩阵 𝜌ˆ 来代替波函数