8.4微正则系综 Q微正则系综：由孤立系统组成的系综 系综里所有的系统具有相同的能量、粒子数和体积（外界参 数) Q等几率假设：系综里系统等几率处于各种可能的微观态上 Q经典系综 p(r.P)=Q(E.N.V) [E-H(r,p)]系统能量严格为E P(r.P)=(E+A-H)0(H-E) 系统能量在E-E+△E之间 C≈2△E Q量子系综 =Q(E.N.V)E. 6=CO(E+△-00(H-E C￥2△E
8.4 微正则系综 微正则系综：由孤立系统组成的系综 系综里所有的系统具有相同的能量、粒子数和体积（外界参 数） 等几率假设：系综里系统等几率处于各种可能的微观态上 经典系综 𝜌(𝒓, 𝒑) = 1 Ω(𝐸, 𝑁, 𝑉) 𝛿[𝐸 − H (𝒓, 𝒑)] ✞ ✝ ☎ ✆ 系统能量严格为 𝐸 𝜌(𝒓, 𝒑) = 1 𝐶 Θ(𝐸 + Δ − H )Θ(H − 𝐸) ✞ ✝ ☎ ✆ 系统能量在 𝐸 − 𝐸 + Δ𝐸 之间 𝐶 ' ΩΔ𝐸 量子系综 𝜌ˆ = 1 Ω(𝐸, 𝑁, 𝑉) 𝛿𝐸,Hˆ 𝜌ˆ = 1 𝐶 Θ(𝐸 + Δ − H )Θ(H − 𝐸) 𝐶 ' ΩΔ𝐸
量子微正则系综 p。o'=(olplσ') Poo 对角元：系统处于σ〉态上的几率 p。w非对角元：关联 能量本征态：AIs〉=E,s)
量子微正则系综 𝜌ˆ𝜎 𝜎0 = h𝜎|𝜌ˆ|𝜎 0 i 𝜌𝜎 𝜎 ✞ ✝ ☎ ✆ 对角元：系统处于 |𝜎i 态上的几率 𝜌𝜎 𝜎0 ✞ ✝ ☎ 非对角元：关联 ✆ 能量本征态：H | ˆ 𝑠i = 𝐸𝑠 |𝑠i
量子微正则系综 定态系综：量子Liouville方程a,p=[H,创=O 0=(sl[A.plls')=(slAp-pnls')=(Es -Es)Pss pr=asa,0 =品∑e医--号oIo s=a∑f 系统处于1s〉态上的几率 无规相近似，Random phase approximation:假设不同系统相位无关 Pw=M∑e网-g0e(o10
量子微正则系综 定态系综：量子 Liouville 方程 𝑖ℏ𝜕𝑡 𝜌 = [Hˆ , 𝜌ˆ] = 0 0 = h𝑠| [Hˆ , 𝜌ˆ]|𝑠 0 i = h𝑠|Hˆ 𝜌ˆ − 𝜌ˆH | ˆ 𝑠 0 i = (𝐸𝑠 − 𝐸𝑠 0)𝜌𝑠𝑠0 ⇒ 𝜌𝑠𝑠0 = { 0 𝐸𝑠 ≠ 𝐸𝑠 0 ? 𝐸𝑠 = 𝐸𝑠 0 𝜌𝑠𝑠0 = 1 𝑀 ∑ 𝑙 h𝑠|Ψ𝑙(𝑡)ihΨ𝑙(𝑡)|𝑠 0 i = 1 𝑀 ∑ 𝑙 𝑒 −𝑖(𝐸𝑠−𝐸 0 𝑠 )𝑡/ℏ+𝑖( 𝜃 𝑙 𝑠−𝜃 𝑙 𝑠 0 ) |𝑐 𝑙 𝑠 (0)||𝑐 𝑙 𝑠 0 (0)| 𝜌𝑠𝑠 = 1 𝑀 ∑ 𝑙 |𝑐 𝑙 𝑠 | 2 ✞ ✝ ☎ ✆ 系统处于 |𝑠i 态上的几率 ✞ ✝ ☎ ✆ 无规相近似，Random phase approximation：假设不同系统相位无关 𝜌𝑠𝑠0 = 1 𝑀 ∑ 𝑙 𝑒 𝑖( 𝜃 𝑙 𝑠−𝜃 𝑙 𝑠 0 ) |𝑐 𝑙 𝑠 (0)𝑐 𝑙 𝑠 0 (0)| ' 0 𝑠 ≠ 𝑠 0
量子微正则系综 等几率假设+无规相近似一 pss=pls)=。6E,E,dsx 1=Tr=∑pw=∑E6- 2 2=2(E,N,V)=系统能量为E时的简并度； =系统能量为E的微观状态数 (E,N,V)E
量子微正则系综 等几率假设 + 无规相近似 ⇒ 𝜌𝑠𝑠0 = h𝑠|𝜌|𝑠 0 i = 1 𝐶 𝛿𝐸,𝐸𝑠 𝛿𝑠𝑠0 1 = 𝑇𝑟{𝜌ˆ} = ∑ 𝑠 𝜌𝑠𝑠 = 1 𝐶 ∑ 𝑠 𝛿𝐸,𝐸𝑠 = Ω 𝐶 ✎ ✍ ☞ ✌ Ω = Ω(𝐸, 𝑁, 𝑉) = 系统能量为 𝐸 时的简并度； = 系统能量为 𝐸 的微观状态数 𝜌ˆ = 1 Ω(𝐸, 𝑁, 𝑉) 𝛿𝐸,Hˆ
经典极限 在d维空间运动的N个粒子 Q体积为h的相空间体积元一一个量子态 Es =H(r,p) Q几率密度 Q定域性，非全同粒子 1 p(r.p)drdp= dr dp (E.N.V)LE-H(P) Q非定域性，全同粒子 phdrdp -N.v( Q归一化 ∫6(E-0g9 定域 2(E,N,V)= ∫6(E-Ar 非定域
经典极限 在 𝑑 维空间运动的 𝑁 个粒子 体积为 ℎ 𝑁 𝑑 的相空间体积元 ⇔ 一个量子态 𝐸𝑠 = H (𝒓, 𝒑) 几率密度 定域性，非全同粒子 𝜌(𝒓, 𝒑)𝑑𝒓𝑑 𝒑 = 1 Ω(𝐸, 𝑁, 𝑉) 𝛿[𝐸 − H (𝒓, 𝒑)] 𝑑𝒓 𝑑 𝒑 ℎ 𝑁 𝑑 非定域性，全同粒子 𝜌(𝒓, 𝒑)𝑑𝒓𝑑 𝒑 = 1 𝑁!Ω(𝐸, 𝑁, 𝑉) 𝛿[𝐸 − H (𝒓, 𝒑)] 𝑑𝒓 𝑑 𝒑 ℎ 𝑁 𝑑 归一化 Ω(𝐸, 𝑁, 𝑉) = ´ 𝛿(𝐸 − H ) 𝑑𝒓𝑑 𝒑 ℎ𝑁𝑑 ✞ ✝ ☎ 定域 ✆ 1 𝑁! ´ 𝛿(𝐸 − H ) 𝑑𝒓𝑑 𝒑 ℎ𝑁𝑑 ✞ ✝ ☎ 非定域 ✆