注意(1)直线的曲率处处为零; (2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大 2曲率的计算公式 午设y=(x)=阶可导;如na=y, 工工工 有a= arctan y,da= dx 1+y d=1+yd,…4=y 3 2 (1+y 上页
2.曲率的计算公式 注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大. 设y = f (x)二阶可导, tan = y , , 1 2 dx y y d + = . (1 ) 2 3 2 y y k + = 有 = arctan y , 1 . 2 ds = + y dx
设 x=o(t), y=m(,二阶可导, d y o(ty(t)-o"(ty(t) de '(t) dx 2 3 h≤9(t)y"(1)-yy(a p2(t)+v"2(t)2 上页
, ( ), ( ), 设 二阶可导 = = y t x t . [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 t t t t t t k + − = , ( ) ( ) t t dx dy = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t t t t t dx d y − =
例1抛物线y=ax2+bx+c上哪一点的曲率最大? 解y=2ax+b,y"=2a, ,k= 1+(2ax+b)22 显然,当x=一时,k最大 2a bb=-4ac 又∷( )为抛物线的顶点, 2a 4a 抛物线在顶点处的曲率最大 上页
例1 ? 抛物线 y = ax2 + bx + c 上哪一点的曲率最大 解 y = 2ax + b, y = 2a, . [1 (2 ) ] 2 2 3 2 ax b a k + + = 显然, , 2 当 时 a b x = − k最大. ) , 4 4 , 2 ( 2 又 为抛物线的顶点 a b ac a b − − − 抛物线在顶点处的曲率最大