3极值的条件 对于无约束极值问题,可以利用微积分的知识给出局部 极值点的条件。将n(n>1)元函数f(X)与一元函数f(x)的 极值条件加以对比并归纳如下 X(或x)是极小点必要条件 充分条件 元函数f(x) f(x)=0f(x)=0,且fx)>0 n元函数(X)Vf(X)=0V/(X)=0且F(X)>0 注:H(Y)>0表示海赛阵正定。如果一个方阵的 各阶主子式均大于零,则可以判定该方阵是正定的
3.极值的条件 对于无约束极值问题，可以利用微积分的知识给出局部 极值点的条件。将n(n>1)元函数 与一元函数 的 极值条件加以对比并归纳如下： f X( ) f x( ) 0 0 X ( ) 或 是极小点 x 一元函数f x( ) n元函数f X( ) 0 f x'( ) 0 = 0 = f X( ) 0 0 0 f x f x '( ) 0, ''( ) 0 = 且 0 0 = f X H X ( ) 0 ( ) 0 且 必要条件 充分条件 0 注：H X( ) 0 表示海赛阵正定。如果一个方阵的 各阶主子式均大于零，则可以判定该方阵是正定的
例3:求f(X)=2x1-8x1+2x2-4x2+20的极小值点 解V(x)10=14x-84x2-4 Vf(X)=0,解得驻点X=[21 又H(y(40 04/H()>0 故X是极小值点
例 3：求 的极小值点 2 2 1 1 2 2 f X x x ( ) 2 2 = − + − + 8 4 20 x x 解 1 2 1 2 0 ( ) [ ( ) 0 ] [4 8 4 4] [2 1] T T T f f f X x x f X X x x = − − = ＝ 令 ＝ ，解得驻点 0 0 4 0 ( ) , ( ) 0 0 4 H X H X X = 又故 是 极 小 值 点
4凸规划 ★凸函数:f(X)是定义在凸集D上且满足对任意X12X2∈D a∈[O.1]有下式成立的函数 f(aX1+(1-a)X2)≤af(Xx1)+(1-a)f(2) 若不等式中严格不等号成立,则称(X为严格凸函数 注:判断一个可导函数(X)是否是凸函数的方法 元函数x):二阶导大于等于零; 多元函数f(X):海塞阵半正定
4.凸规划 ★凸函数：f(X)是定义在凸集D上且满足对任意 有下式成立的函数： 1 2 1 2 f X f X ( ) ( + − + − (1 ) ) (1 ) ( ) X f X 1 2 X X D , , [0,1] 若不等式中严格不等号成立，则称f(X)为严格凸函数 注：判断一个可导函数f(X)是否是凸函数的方法 一元函数f(x) ：二阶导大于等于零; 多元函数f(X) ：海塞阵半正定
★凸规划 在非线性规划模型(NLP)中,若目标函数f(X)是凸函 数,不等式约束函数g(X) ,l为凹函数,等式约束 函数h(X)i=1…,m为仿射函数,则称(NLP)是一个 凸规划。 性质:★约束集是凸集; ★最优解集是凸集; ★任何局部最优解也是全局最优解; ★若目标函数是严格凸函数,且最优解存在,则 其最优解是唯一的
★凸规划 性质：★约束集是凸集； ★最优解集是凸集； ★任何局部最优解也是全局最优解； ★若目标函数是严格凸函数，且最优解存在，则 其最优解是唯一的。 在非线性规划模型（NLP）中，若目标函数f（X）是凸函 数，不等式约束函数 为凹函数，等式约束 函数 为仿射函数，则称（NLP）是一个 凸规划。 ( ) 1, , j g X j l = ( ) 1, , i h X i m =
例4:判断下面的非线性规划是否为凸规划 min(-f(X)=-x,-x2 maxf(X)=x,+x2 g;(X)=1-x2-x20 s t x+541【12( ≥0 ≥0 g3(X)=x2≥0 00 H(X 00/0,H。(X) 02 计算 H2(X)=H.(X) 说明一f(X)是凸函数,g1(X)g2(X)、g3(X)是凹函数 因此,本模型是凸规划
例4：判断下面的非线性规划是否为凸规划 1 2 2 2 1 2 1 2 max ( ) 1 . . , 0 f X x x x x s t x x = + + 1 2 2 2 1 1 2 2 1 3 2 min( ( )) ( ) 1 0 . . ( ) 0 ( ) 0 f X x x g X x x s t g X x g X x − = − − = − − = = 标准化 1 2 3 ( ) 0 0 2 0 0, ( ) 0 0 0 0 2 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 f g g g H X H X H X H X − − − − = = = = 计算 1 2 3 说明− f X( )是凸函数，g X g X g X ( ) ( ) ( ) 、 、 是凹函数 因此，本模型是凸规划