例1:考虑非线性问题 minf(X)=(x1-2)2+(x2-2) S:t.x1+x2=6 如果约束改为 x+x2≤6 呢 6
例 1：考虑非线性问题 2 2 1 2 1 2 min ( ) ( 2) ( 2) . . 6 f X x x s t x x = − + − + = 2 x 1 x 6 6 3 3 如果约束改为呢？ 1 2 x x + 6
2梯度、海塞阵与泰勒公式 ★梯度 若f(X)在X的邻域内有连续一阶偏导数,则称f(X)在X点对n 个变元的偏导数组成的向量为f(X)在的梯度,记为Vf(X0) 即Vf(x af (Xo af(x 几何意义: 梯度是过x点且与f(X)在x0的切平面垂直的向量 梯度向量的方向是函数值在该点增加最快的方向
2.梯度、海塞阵与泰勒公式 ★梯度 0 0 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]T n f X X f X X f X X f X f X f X f X x x 若 在 的邻域内有连续一阶偏导数，则称 在 点对n 个变元的偏导数组成的向量为 在 的梯度，记为 ， 即 ＝ ， ， 0 0 X f X X ( ) 几何意义： 梯度是过 点且与 在 的切平面垂直的向量， 梯度向量的方向是函数值在该点增加最快的方向
★海塞阵 若f(X)在X的邻域内有连续一阶偏导数,则称f(X)在X点对n 个变元两两组合的二阶偏导数组成的矩阵为(X)在X的海赛阵, 记为B(X),即H(x0代(mn Ox a af(Xo) f(X0) Ox a 6f(X0 02f(X) Ox ax
★海塞阵 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) i j n n n n n f X X f X X n f X X f X H X H X x x f X f X x x x f X f X x x x = 若 在 的邻域内有连续二阶偏导数，则称 在 点对 个变元两两组合的二阶偏导数组成的矩阵为 在 的海赛阵， 记为 ，即 =
★泰勒公式 若f(X)在X的邻域内有连续一阶偏导数,则可写出f(x)在X点 的(二阶)泰勒展开式: f(X=f(X0)+Vf(X0)(X-X)+(X-X0)H(X0(X-X0) +o(x-X6) 其中:oY-X0‖是当X→X时x-X0的高阶无穷小
★泰勒公式 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) T T f X X f X X f X f X f X X X X X H X X X o X X o X X X X X X + + − − + − → − 若 在 的邻域内有连续二阶偏导数，则可写出 在 点 的（二阶）泰勒展开式： ＝ （ － ） － 其中： 是当 时 的高阶无穷小
例2:写出f(X)=3x+Sinx2在X=[0.0点的二阶泰勒展开式 Hif: Vf(X)=[6x, cosx,, Vf(Xo=[0 1] 60 60 H(X)= H(X0) 0 -sin x 00 60 f(X)=0+[01 X|2) 如果忽略了o(X,则/(X)在X点的近似表达式为 f(X=3x1+x
例2：写出 在 点的二阶泰勒展开式 2 1 2 f X x ( ) 3 = + sin x 0 [0,0]T X = 1 2 0 0 2 ( ) [6 ( ) [0 1 cos ] , ] 6 0 6 0 ( ) , ( ) 0 sin 0 0 T T f X x f X x H X H X x = = = = − 解: 1 1 2 1 2 2 2 ( ) 0 [0 1 1 6 0 ] [ ] ( ) 2 0 0 x x f X x x o X x x = + + + 2 0 2 1 2 ( ) ( ) 3 ( ) f X f X x o X X = x 如果忽略了 在 ，则 点的近似表达式为 +