第三节MM排队模型 标准的MM1模型(MM1/o/∞ 1.问题的一般提法 设:泊松输入/负指服务/单服务台/系统无限制/顾客源无限制 求:(1)系统状态概率Pn; 2)系统运行指标L,L,W,W
第三节 M/M/1排队模型 一.标准的M/M/1模型（M/M/1/ / ） 1.问题的一般提法 设：泊松输入/负指服务/单服务台/系统无限制/顾客源无限制 求：（1）系统状态概率Pn； （2）系统运行指标Ls，Lq，Ws，Wq
2.系统状态概率 (1)利用状态转移图列出平衡方程 状态转移图是处理稳态MMC系统的一种工具,设到达 与服务率分别为和u,则 A 由此列出平衡方程 APo=uPI APn1+Pn=(2+)Pn,n≥1
2. 系统状态概率 （1）利用状态转移图列出平衡方程 状态转移图是处理稳态M/M/C系统的一种工具，设到达 与服务率分别为 ，则 由此列出平衡方程： + = + = − + ( ) , 1 1 1 0 1 P P P n P P n n n 和 ... ... n-1 n n+1 0 1 2
(2)由平衡方程解得状态概率 AP P 由平衡方程 Pn1+HPn1=(+)Pn,n≥ 可解得状态概率 n≥ 记=P,称为服务强度,规定p<1(为什么?),则 P。=1 pP "F0
由平衡方程 + = + = −1 +1 ( ) , 1 0 1 P P P n P P n n n 可解得状态概率： = − = − ( ) (1 ), 1 1 0 P n P n n 记 ，称为服务强度，规定 （为什么？），则 = 1 = = − 0 0 1 P P P n n （2）由平衡方程解得状态概率
3.系统运行指标 (1)L。与L L表示系统中的平均顾客数,由期望定义, L=∑mn=∑m(1-p)=p(1-∑m d O p(1-p∑=(1-p) d n d dp ∑pn n=0 p(1-p) p(1-p) do 1 p)
3. 系统运行指标 （1）Ls与Lq − = − = − = − − = − = − = − = = − = − = = = − = = 1 1 ) 1 (1 ) ) 2 0 1 1 0 0 (1 1 (1 ) d d (1 ) d d (1 ) d d (1 ) (1 n 1 n n n n n n n n s n s L np n n L 表示系统中的平均顾客数，由期望定义
L=2(n-1)P=∑nPn-∑Pn=L2-(1-P) 其中D=2 L <1问题:为什么L,-Ln=P<1而不是=1)昵 一因为是均值。 (2)W与 首先可证,逗留时间W服从参数为4-的负指数分布 而负指数分布的均值等于其参数的倒数,故平均逗留时间 1-2 平均等待时间等于平均逗留时间减去平均服务时间,即 W=w
= − = − = − = − − = = = s s n n n q n n n L L n P nP P L P ( 1) (1 ) 0 1 0 1 其中 = 1 。 问题：为什么Ls − L q = 1(而不是 = 1）呢？ ——因为是均值。 （ 2 ） Ws 与 Wq 1 1 = − − = − q s s W W W W 平均等待时间等于平均逗留时间减去平均服务时间，即 而负指数分布的均值等于其参数的倒数，故平均逗留时间 首先可证，逗留时间 服从参数为 的负指数分布