西安石油大学教案 第6次课2学时 章节 §8.2偏导数§8.3全微分(P12~22) 讲授主要 偏导数和全微分的概念,全微分存在的必要条件和充分条件,一阶 内容 全微分形式的不变性 重点 重点:偏导数和全微分的概念及其求法,全微分与偏导数间的关系 难点 难点:分段函数偏导数和全微分的求法 要求掌握 偏导数和全微分的概念,全微分存在的必要条件和充分条件,一阶 知识点和 分析方法全微分形式的不变性 思路:首先提问:问题(1)哪些内容与导数和全微分有关;问题(2)一元函数的导数和 教授思 路,采用微分如何定义?间题(3)能给二元函数可导与可微分的定义吗? 的教学方建构活动:y=f(x)→f()m!(x+A)-f(x) →d=AAx;A=f(x), 法和轴可导一定连线可微一定连续等:=/(xy)→以=x+Ax)-x”→ 助手段 板书设=AAx+By:A-d=op),P=V4x2+4y2:A=f1(x,y),B=f(xy) 计,重点解决问题:解决偏导数和全微分的系统问题 如何突 教学方法和辅助手段:建构教学法和类比教学法 出,难 如何解难点突破:本节的难点,是对多元函数可微性的讨论,判别可微性首先验证函数的 偏导数是否存在,如果偏导数存在,还需验证 A2-fAx-/、N当P→0时是否极 互动等 限为0。 作业布到高等数学标准化作业 (西安石油大学数学教研室编) 主要|1.《高等数学重点难点100讲),西安石油大学数学教研室编,陕西科 参考资料学技术出版社 2.《工科数学分析基础》上、下册,马知恩王绵森主编,高等教育出版社 备注
西安石油大学教案 第 6 次课 2 学时 章节 §8.2 偏导数 §8.3 全微分 (P12～22) 讲授主要 内容 偏 导 数 和全 微 分 的 概 念 ， 全 微分 存 在 的 必 要 条 件 和充 分 条 件 ， 一 阶 全微分形式的不变性。 重点 难点 重点: 偏导数和全微分的概念及其求法,全 微分 与 偏 导数 间 的关 系. 难点: 分段函数偏导数和全微分的求法 . 要求掌握 知识点和 分析方法 偏 导 数 和全 微 分 的 概 念 ， 全 微分 存 在 的 必 要 条 件 和充 分 条 件 ， 一 阶 全微分形式的不变性。 教授思 路，采用 的教学方 法和 辅 助手段， 板书设 计，重点 如何突 出，难点 如何解 决，师生 互动等 思路:首先提问:问题(1)哪些内容与导数和全微分有关; 问题(2)一元函数的导数和 微分如何定义?问题(3)能给二元函数可导与可微分的定义吗? 建构活动: y = f (x) → dy A x x f x x f x f x x → = + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 ' ; ( ) ' A = f x , 可导一定连续,可微一定连续等. z = f (x, y) → x f x x y f x y x f x + − = → ( , ) ( , ) lim 0 → dz = Ax + By ; z − dz = o() , 2 2 = x + y ; ( , ) ' A f x y = x , ( , ) ' B f x y = y . 解决问题:解决偏导数和全微分的系统问题. 教学方法和辅助手段:建构教学法和类比教学法. 难点突破: 本节的难点，是对多元函数可微性的讨论，判别可微性首先验证函数的 偏导数是否存在，如果偏导数存在，还需验证 z f x f y − x − y ' ' 当 → 0 时是否极 限为 0。 作业布置 高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编) 主要 参考资料 1. 《 高等 数 学重 点 难点 1 00 讲》， 西安 石 油大 学 数 学教 研 室编 ， 陕西 科 学技术出版社 2. 《工科数学分析基础》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社 备注
西安石油大学教案 第7次课2学时 章节 §8.4多元复合函数的求导法则(P25~30) 讲授主要 内容 复合函数一阶偏导数的求法,复合函数的二阶偏导数的求法。 重点 重点:复合函数一阶和二阶偏导数的求法 难点 难点:抽象复合函数一阶和二阶偏导数的求法。 要求掌握 知识点和 复合函数一阶偏导数的求法,复合函数的二阶偏导数的求法。 分析方法 教授思 路,采用思路:首先提出间题()一元复合函数(其中间变量是一元函数)的求导法则(2)可否 的教学刀推广到多元复合函数的情形?(3)多元函数有哪些复合类型,紧接着类推出中间变量为 法和辅一元函数、多元函数、既有一元又有多元函数情形下的公式 助手段,教学方法和辅助手段:类比的教学方法并结合形象的语言和树型图 板书设难点突破:本节的求导法则是本节的一个重点,求导的关键是先分析函数、中间变 计,重点 量、自变量之间的关系,把握清楚每一层次的函数关系,并使用准确的求导记号。抽 如何突 象函数的求导是本节的一个难点,应注意求导以后仍然保留着中间变量和自变量,求 如何解导时应注明中间变量的记号,而且可以用中间变量的次序来记函数关于这个中间变量 决,师生的下标,这样简洁又不易出错。在处理问题的过程中,应划出树形图帮助理解,把抽 互动等象的问题形象化,具体化,从而培养学生数形结合的思想 作业布置高等数学标准化作业 (西安石油大学数学教研室编) 主要1.《高等数学重点难点100讲》,西安石油大学数学教研室编,陕西科 参考资料学技术出版社 2.《工科数学分析基础》上、下册,马知恩王绵森主编,高等教育出版社 备注
西安石油大学教案 第 7 次课 2 学时 章节 §8.4 多元复合函数的求导法则 (P25～30) 讲授主要 内容 复合函数一阶偏导数的求法，复合函数的二阶偏导数的求法。 重点 难点 重点: 复合函数一阶和二阶偏导数的求法. 难点: 抽象复合函数一阶和二阶偏导数的求法。 要求掌握 知识点和 分析方法 复合函数一阶偏导数的求法，复合函数的二阶偏导数的求法。 教授思 路，采用 的教学方 法和 辅 助手段， 板书设 计，重点 如何突 出，难点 如何解 决，师生 互动等 思路:首先提出问题(1)一元复合函数(其中间变量是一元函数)的求导法则.(2)可否 推广到多元复合函数的情形?(3)多元函数有哪些复合类型,紧接着类推出中间变量为 一元函数、多元函数、既有一元又有多元函数情形下的公式. 教学方法和辅助手段:类比的教学方法并结合形象的语言和树型图. 难点突破:，本节的求导法则是本节的一个重点，求导的关键是先分析函数、中间变 量、自变量之间的关系，把握清楚每一层次的函数关系，并使用准确的求导记号。抽 象函数的求导是本节的一个难点，应注意求导以后仍然保留着中间变量和自变量，求 导时应注明中间变量的记号，而且可以用中间变量的次序来记函数关于这个中间变量 的下标，这样简洁又不易出错。在处理问题的过程中，应划出树形图帮助理解，把抽 象的问题形象化，具体化，从而培养学生数形结合的思想。 作业布置 高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编) 主要 参考资料 1. 《 高等 数 学重 点 难点 1 00 讲》， 西安 石 油大 学 数 学教 研 室编 ， 陕西 科 学技术出版社 2. 《工科数学分析基础》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社 备注
西安石油大学教案 第8次课2学时 章节 习题课 讲授主要 偏导数和全微分的求法,复合函数一阶与二阶偏导数的求法。偏导 内容 数与连续之间的关系 重点 重点:偏导数和全微分的求法,偏导数、连续、可微三者间的关系 难点 难点:抽象复合函数一阶与二阶偏导数的求法 要求掌握 知识点和 偏导数和全微分的求法,复合函数一阶与二阶偏导数的求法。偏导 分析方法数与连续之间的关系 教授思 思路:首先处理学生作业种出现的问题,紧接着把本节分为以下几个专题进行讲 路,采用 的教学方解(1)基本概念:可微、偏导数存在、连续、偏导数连续、极限这5着间的关系及其与 法和辅一元函数这5着间的联系与区别(结合典型例子,注重反例教学)()抽象复合函数的二 助手段,阶偏导数的求法 板书设教学方法和辅助手段:本节采用专题讲授的方法结合与一元函数类比的教学方法 计,重点 难点突破:例题选择应由具体到抽象,由易渐难.包括中间变量为一元函数、中间变量 如何突 为多元函数、中间变量既有一元函数又有多元函数的情形,以及利用微分形式不变性 先求微分再求偏导的例子.求抽象复合函数的高阶偏导数时,强调在求了一阶偏导数后 如何解 决,师生的表达式仍是一个抽象的复合函数其具有与原来函数相同的中间变量同时注意符号 互动等的规范 作业布置高等数学标准化作业 (西安石油大学数学教研室编) 主要1.《高等数学重点难点100讲》,西安石油大学数学教研室编,陕西科 参考资料学技术出版社 2.《工科数学分析基础》上、下册,马知恩王绵森主编,高等教育出版社 备注
西安石油大学教案 第 8 次课 2 学时 章节 习题课 讲授主要 内容 偏 导 数和 全 微 分 的 求法 , 复 合 函 数 一 阶与 二 阶 偏 导 数 的求 法 。 偏 导 数与连续之间的关系. 重点 难点 重点: 偏导数和全微分的求法 ,偏 导 数、 连 续、 可 微 三者 间 的关 系. 难点: 抽象复合函数一阶与二阶偏导数的求法 . 要求掌握 知识点和 分析方法 偏 导 数和 全 微 分 的 求法 , 复 合 函 数 一 阶与 二 阶 偏 导 数 的求 法 。 偏 导 数与连续之间的关系. 教授思 路，采用 的教学方 法和 辅 助手段， 板书设 计，重点 如何突 出，难点 如何解 决，师生 互动等 思路: 首先处理学生作业种出现的问题,紧接着把本节分为以下几个专题进行讲 解.(1)基本概念:可微、偏导数存在、连续、偏导数连续、极限这 5 着间的关系及其与 一元函数这5着间的联系与区别.(结合典型例子,注重反例教学)(2)抽象复合函数的二 阶偏导数的求法. 教学方法和辅助手段:本节采用专题讲授的方法结合与一元函数类比的教学方法. 难点突破:例题选择应由具体到抽象,由易渐难.包括中间变量为一元函数、中间变量 为多元函数、中间变量既有一元函数又有多元函数的情形,以及利用微分形式不变性, 先求微分再求偏导的例子.求抽象复合函数的高阶偏导数时,强调在求了一阶偏导数后 的表达式仍是一个抽象的复合函数,其具有与原来函数相同的中间变量.同时注意符号 的规范. 作业布置 高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编) 主要 参考资料 1. 《 高等 数 学重 点 难点 1 00 讲》， 西安 石 油大 学 数 学教 研 室编 ， 陕西 科 学技术出版社 2. 《工科数学分析基础》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社 备注
西安石油大学教案 第9次课2学时 章节 §8.5隐函数的求导公式(P32~37) 讲授主要 隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数 内容 重点 重点:求隐含数的偏导数 难点 难点:隐函数的高阶偏导数和由方程所确定的隐含数的偏导数 要求掌握 知识点和 隐函数(一个方程确定的隐函数)的偏导数 分析方法 教授思 思路:首先复习隐函数、显函数的概念,注意区分F(x,y),F(x,y)=0,F[x,f(x) 路,采用 的教学力这三着间的不同含义紧接着讲授隐函数存在定理注意其条件,F,(x2y)≠O就是 法和辅为了保证y的单值性而在具体求隐函数的导数时,一般不必验证上述条件是否满足 助手段 最后介绍由方程组所确定的隐函数组的导数,为下一节做准备 板书 教学方法和辅助手段:讲授的教学方法 计,重点 如何突难点突破:隐函数的求导方法有三种(公式法、对等式两边分别求导法、全微分法) A,瘫点本节的难点是隐函数的高阶导数的求法求导时只需把=仍看做xy的多元函数对于 如何解方程组决定的隐函数求导问题重点讲解直接对方程两边求导,再解关于偏导数的方程 决,师生组的方法在求导时一定搞清何者为函数,何者为变量注意三个变量联立的情形,为下 互动等次课程做准备 作业布置高等数学标准化作业 (西安石油大学数学教研室编) 主要1.《高等数学重点难点100讲》,西安石油大学数学教研室编,陕西科 参考资料学技术出版社 2.《工科数学分析基础》上、下册,马知恩王绵森主编,高等教育出版社 备注
西安石油大学教案 第 9 次课 2 学时 章节 §8.5 隐函数的求导公式 (P32～37) 讲授主要 内容 隐函数(包括由两 个方 程 组成 的 方程 组 确定 的 隐 函数 )的 偏 导数 。 重点 难点 重点: 求隐含数的偏导数. 难点: 隐函数的高阶偏导数和由方程所确定的隐含数的偏导数 . 要求掌握 知识点和 分析方法 隐函数(一个方程 确定 的 隐函 数)的 偏导 数. 教授思 路，采用 的教学方 法和 辅 助手段， 板书设 计，重点 如何突 出，难点 如何解 决，师生 互动等 思路:首先复习隐函数、显函数的概念,注意区分 F(x, y) , F(x, y) = 0 , F[x, f (x)] 这三着间的不同含义.紧接着讲授隐函数存在定理,注意其条件, ( 0 , 0 ) 0 ' Fy x y 就是 为了保证 y 的单值性.而在具体求隐函数的导数时,一般不必验证上述条件是否满足. 最后介绍由方程组所确定的隐函数组的导数,为下一节做准备. 教学方法和辅助手段:讲授的教学方法. 难点突破: 隐函数的求导方法有三种(公式法、对等式两边分别求导法、全微分法). 本节的难点是隐函数的高阶导数的求法求导时只需把 z 仍看做 x, y 的多元函数,对于 方程组决定的隐函数求导问题.重点讲解直接对方程两边求导,再解关于偏导数的方程 组的方法,在求导时一定搞清何者为函数,何者为变量.注意三个变量联立的情形,为下 次课程做准备. 作业布置 高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编) 主要 参考资料 1. 《 高等 数 学重 点 难点 1 00 讲》， 西安 石 油大 学 数 学教 研 室编 ， 陕西 科 学技术出版社 2. 《工科数学分析基础》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社 备注
西安石油大学教案 第10次课2学时 章节 §8.6微分法在几何上的应用(P38~45) 讲授主要 曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的方程 内容 重点 重点:曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的方程 难点 难点:如何灵活寻找满足特别空间位置条件的平面与直线 要求掌握 知识点和 曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的方程。 分析方法 教授思 路,采用思路:首先提问平面上曲线的切线是割线的极限位置同理,对于空间曲线可否采用 的教学同样的方法,对于空间曲面在某点处是否存在切平面和法线?从而引出本节的内容紧 法和辅 接着在数形结合的基础上完成公式的推导 助手段 板书设教学方法和辅助手段:;讲授与启发式教学相结合的授课方法 计,重点 难点突破:曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线问题。关键是要抓 如何突住确定平面与直线的两个要素:点与方向在讲解时,需要结合解析几何 出,难点中平面与直线的各种位置关系来确定满足所求条件的点,并在该点求出 如何解相应的平面或直线关于由一般式方程表示的空间曲线r的切向量,应结 决,师生 合空间直线L的一般式方程的切向量确定的方法.无须死记公式 互动等 作业布置高等数学标准化作业 (西安石油大学数学教研室编) 主要1.《高等数学重点难点100讲》,西安石油大学数学教研室编,陕西科 参考资料学技术出版社 2.《工科数学分析基础》上、下册,马知恩王绵森主编,高等教育出版社 备注
西安石油大学教案 第 10 次课 2 学时 章节 §8.6 微分法在几何上的应用 (P38～45) 讲授主要 内容 曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的方程。 重点 难点 重点：曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的方程。 难点:如何灵活寻找满足特别空间位置条件的平面与直线. 要求掌握 知识点和 分析方法 曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的方程。 教授思 路，采用 的教学方 法和 辅 助手段， 板书设 计，重点 如何突 出，难点 如何解 决，师生 互动等 思路:首先提问平面上曲线的切线是割线的极限位置,同理,对于空间曲线可否采用 同样的方法,对于空间曲面在某点处是否存在切平面和法线?从而引出本节的内容.紧 接着在数形结合的基础上完成公式的推导. 教学方法和辅助手段:讲授与启发式教学相结合的授课方法. 难点突破:曲线的 切 线和 法 平面 及 曲面 的 切平 面 与法 线 问题 。关 键 是要 抓 住确定平面 与 直 线 的 两 个 要 素 :点与方向 .在讲解时 ,需 要 结 合 解 析 几 何 中平面与直线的各种位置关系来确定满足所求条件的点 ,并在该点求出 相 应 的 平 面 或 直线 .关于由一般式方程表示的空间曲线 的切向量,应 结 合空间直线 L 的一般 式 方程 的 切向 量 确定 的 方法 .无须 死 记公 式. 作业布置 高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编) 主要 参考资料 1. 《 高等 数 学重 点 难点 1 00 讲》， 西安 石 油大 学 数 学教 研 室编 ， 陕西 科 学技术出版社 2. 《工科数学分析基础》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社 备注