(数值分析 §4 Gauss-Jordan消去法 、 Gauss-Jordan消去法 Gauss消去法是消去对角线元素下方的元素,若同时 也消去对角线元素上方的元素,而且将对角线元素化为 1.就是Gaus- Jordan消去法 Gauss-Jordan消去法的消元过程比 Gauss消去法 复杂,但省去了回代过程,它的计算量约为m3/2,大于 Gauss消去法.也称为无回代的 Gauss消元法.应用中 Gauss- Jordan消去法常用来求逆矩阵. 二、求方阵的逆 Gauss-Jordan消去法解方程组并不比Gaus消去法 优越,但用于矩阵求逆是适宜的,实际上它是初等变换 方法求逆的一种规范化算法. PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
数值分析 1616 §4 Gauss-Jordan消去法 一 、Gauss-Jordan消去法 Gauss消去法是消去对角线元素下方的元素, 若同时 也消去对角线元素上方的元素, 而且将对角线元素化为 1. 就是Gauss-Jordan消去法. Gauss-Jordan消去法的消元过程比Gauss消去法 复杂, 但省去了回代过程,它的计算量约为n 3 /2, 大于 Gauss消去法. 也称为无回代的Gauss消元法. 应用中 Gauss-Jordan消去法常用来求逆矩阵. Gauss-Jordan消去法解方程组并不比Gauss消去法 优越,但用于矩阵求逆是适宜的,实际上它是初等变换 方法求逆的一种规范化算法. 二、 求方阵的逆 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(数值分析 §5矩阵的LU分解 定理设n阶方阵A的各阶顺序主子式不等于零,则 A可以进行唯一的 Doolittle分解和 Crout分解 Doolittles分解 Doolittles分解可以用Gaus消去法完成,也可以用矩阵 乘法原理推出计算公式来完成,其结果是一致的.设 l:= 1.2 (2)ln1=an1u1,i=2,3,…,n k,k+1, r=l k-1 ak-∑llnk =k+1,k+2,…,n PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
数值分析 1717 §5 矩阵的LU分解 定理 设 n 阶方阵 A的各阶顺序主子式不等于零, 则 A可以进行唯一的Doolittle分解和Crout分解. 一、Doolittle分解 Doolittle分解可以用Gauss消去法完成, 也可以用矩阵 乘法原理推出计算公式来完成, 其结果是一致的. 设 (1) u1j =a1j , j=1, 2, ··· , n. (2) l i1 =ai1 /u11, i=2, 3, ··· , n. (3) 1 1 , , 1, , . k kj kj kr rj r u a l u j k k n - = = -å = + L 1 1 , 1, 2, , k ik ir rk r ik kk a l u l i k k n u - = - = = + + å (4) L PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(数值分析 b (5) b2-∑ly,k=2,3, kr“r k+1 X k=n-1..2.1 kk 、 Crout分解 (2)uy=a/l1n,j=2,3,…,n 18 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
数值分析 1818 (5) 1 1 1 1 , 2,3, , . k k k kr r r y b y b l y k n - = ì = ï í = - = ï î å L (6) 1 , 1, , 2 , 1. n n nn n k kr r r k k kk y x u y u x x k n u = + - ì = ï ïï í - ï ï = = ïî å L 二、Crout分解 (1) l i1 =ai1 , i=1, 2, ··· , n. (2) u1j =a1j /l11, j=2, 3, ··· , n. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(数值分析 (3)从k=a-∑ll,i=k,k+ ∑ (4)vg ,j=k+1,k+2,…,n y (5) ∑y VK k=2,3,…,n (6) ∑unx,k k+1 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
数值分析 1919 (3) 1 1 , , 1, , . k ik ik ir rk r l a l u i k k n - = = -å = + L 1 1 , 1, 2, , k kj kr rj r kj kk a l u u j k k n l - = - = = + + å (4) L 1 1 11 1 1 , 2,3, , . k k kr r r k kk b y l b l y y k n l - = ì = ï ïï í - ï ï = = ïî å L (5) 1 , 1, , 2,1. n n n k k kr r r k x y x y u x k n = + - ì = ï í = - = ï î å L (6) PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(数值分析 §6平方根法 矩阵的LDU分解 定理若矩阵A的各阶顺序主子式不等于零,则矩阵A 可以唯一分解为A=LDU,其中L是单位下三角阵,U是 单位上三角阵,D是对角阵 lz=b Ax=b◇Dy=z Ux=y 二、 Cholesky分解 定理设A对称正定矩阵,则存在三角分解A=LL,其中 L是非奇异下三角矩阵,且当限定L的对角元素为正时, 分解是唯一的 20 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
数值分析 2020 §6 平方根法 一 、 矩阵的LDU分解 定理 若矩阵A的各阶顺序主子式不等于零, 则矩阵A 可以唯一分解为 A=LDU, 其中L是单位下三角阵, U是 单位上三角阵, D是对角阵. Lz b Ax b Dy z Ux y ì = ï = Û = í ï î = 二、Cholesky分解 定理 设A对称正定矩阵,则存在三角分解A=LLT , 其中 L是非奇异下三角矩阵, 且当限定 L 的对角元素为正时, 分解是唯一的. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com