《高等代数》课程教学资源（教案讲义）第七章 线性变换

A6=a6+a162++ani6。 Ae2=a26+a262+.+an26n AEn=a6+an52+.+anm 多 A6,62,6)=(A,A6,A5)=(6,6)A (5) 其中A=(a,)m,则称矩阵A为A在基6，8n下的矩阵 例恒等变换E在V的任一组基下矩阵是单位阵E,零变换0在V的任一组基下的矩阵是零矩阵 数乘变换在任一组基下的矩阵是数量矩阵kE。 定理2.设8，5。是V的一组基在这组基下，每个线性变换按公式 (⑤)对应一个矩阵这个对应具有下列性质： 1)线性变换的和对应矩阵的和： 2)线性变换的乘积对应矩阵的乘积： 3)线性变换的数量乘积对应矩阵的数量乘积 4)可逆线性变换对应可逆矩阵且逆变换对应逆矩阵 证明A,B是P的两个线性变换它们在基6，6n下的矩阵分别为A,B 1）由(A+B(8,6)=A8,8n)+B(8,.6n） =(6,En)A+(6,n)B=(6,EnA+B) 知结论1)成立 2)类似地，由 (AB)=A(B()=A(()B) =(A(G,6》B=(G,6)AB 知结论2)成立 3)由 4)(k4(G,En)=k(A8,.En》=k(e,8n)A)=(G,Enk) 知结论3)成立 5)设对应矩阵c.则由 AA=AA=E 及(2)知，必有 AC=CA=E 于是A可逆，且C= 定理3.设线性变换A在基8，6n下的矩阵是A,5在基6，6，下的坐标为(：，x),则A5

1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n A a a a A a a a A a a a              = + +  +   = + +  +   = + +  + 即 1 2 1 2 1 ( , , , ) ( , , , ) ( , , ) A A A A A n n n          =  =  (5) 其中 ( ) A a = ij nn ，则称矩阵 A 为 A 在基 1 , , n    下的矩阵 例.恒等变换 E 在 V 的任一组基下矩阵是单位阵 E .零变换 0 在 V 的任一组基下的矩阵是零矩阵. 数乘变换在任一组基下的矩阵是数量矩阵 kE . 定理 2. 设 1 , , n    是 V 的一组基.在这组基下，每个线性变换按公式 (5)对应一个矩阵.这个对应具有下列性质： 1) 线性变换的和对应矩阵的和； 2) 线性变换的乘积对应矩阵的乘积； 3) 线性变换的数量乘积对应矩阵的数量乘积； 4) 可逆线性变换对应可逆矩阵且逆变换对应逆矩阵. 证明 A B, 是 V 的两个线性变换.它们在基 1 , , n    下的矩阵分别为 A B, . 1) 由 1 1 1 ( )( , , ) ( , , ) ( , , ) A B A B n n n +  =  +        1 1 1 ( , , ) ( , , ) ( , , )( ) =  +  =  +       n n n A B A B 知结论 1)成立. 2) 类似地，由 1 1 1 ( )( , , ) ( ( , , )) (( , , ) ) AB A B A B n n n        =  =  1 1 ( ( , , )) ( , , ) A B AB n n =  =      知结论 2)成立. 3) 由 4) 1 1 1 1 ( )( , , ) ( ( , , )) (( , , ) ) ( , , )( ) n n n n kA k A k A kA          =  =  =  知结论 3)成立. 5) 设 1 A − 对应矩阵 c .则由 1 1 AA A A E − − = = 及(2)知，必有 AC CA E = = 于是 A 可逆，且 1 C A . − = 定理 3.设线性变换 A 在基 1 , , n    下的矩阵是 A ， 在基 1 , , n    下的坐标为 1 ( , , ) n x x  ，则 A

在基6,6下的坐标为 =4 证明由假设 5=(6,6,x,xy于是 =(A6,==)A(). 另一方面， A5=(6,6y,y 因为6，5n线性无关，所以 0,.yy=4(x,x》 定理4设V中线性变换A在两组基6,6n与，nn下的矩阵分别为A与B,从前一组基 到后一组基的过渡矩阵为X则 B=X-AX 证明因为 (A6,AEn)=(6,.,6n)A(A,4n)=(6,6n)B,(,1)=(6,6)X, 于是 (m,4机)=4(6,6)X灯=[A6,6X =(4G,AE,)X=(G,E)AX =(,n)X-AX. 所以B=X-AX 定义3.设A,B∈P",若有n级可逆阵X∈Pm,使得B=X-AK则称A相似于B.记为A?B 矩阵的相似关系具有下列性质。 1.反身性：A~A 2.对称性：A~B→B~A 3.传递性：A~B,B~C一A~C 证明1.由A=EAE即得

在基 1 , , n    下的坐标为 1 1 2 2 n n y x y x A y x             =             证明 由假设 1 1 ( , , )( , , ) n n    =   x x  于是 1 1 1 1 ( , , )( , , ) ( , , ) ( , , ) . A A A x x A x x n n n n       =   = =     另一方面， 1 1 ( , , )( , , ) , A y y n n    =    因为 1 , , n    线性无关，所以 1 1 ( , , ) ( , , ) n n y y A x x  =    定理 4 设 V 中线性变换 A 在两组基 1 , , n    与 1 , ,  n  下的矩阵分别为 A 与 B ，从前一组基 到后一组基的过渡矩阵为 X .则 1 B X AX. − = 证明 因为 1 1 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) ,( , , ) ( , , ) ,( , , ) ( , , ) , A A A A A B X n n n n n n              =   =   =  于是 1 1 1 ( , , ) [( , , ) ] [ ( , , )] A A A X A X       n n n  =  =  1 1 ( , , ) ( , , ) A A X AX n n =  =      1 1 ( , , ) .  n X AX − =  所以 1 B X AX. − = 定义 3.设 , , n n A B P   若有 n 级可逆阵 , n n X P   使得 1 B X AX. − = 则称 A 相似于 B .记为 A B? 矩阵的相似关系具有下列性质. 1.反身性： A A ~ 2.对称性： A B B A ~ ~  3. 传递性： A B B C A C ~ , ~ ~ .  证明 1. 由 1 A E AE − = 即得

2.设B=X1AX则A=XBX-=(XBX→B?A 3.设B=X-AX,C=Y-BY.则 C=YBY=Y-X-AXY=(XY)A(XY) 于是A~C 由矩阵相似的概念，定理4可补充成 定理5线性变换在不同基下矩阵是相似的：反之，若二矩阵相似，则它们可看成同一线性变换 在两组基下的矩阵， 证明前一部分即定理4现证明后一部分.设B=XAX.令(，)=(6,6，6，)X 则(，)也是一组基，A在此基下的矩阵就是B 利用矩阵相似的概念可以简化矩阵的计算. 匀设4雀r中6与下的矩库为[日司两设低，%=化与化-习由定理4A在 ,乃2下的矩阵为 白0-0 0旷0)w 仁-%-6 -46-4 作业：P324,习题7之3)，P326,习题15。 预习：前三节的基本概念. $1一3习题课 教学目标复习所学的基本概念、定理，总结学生解题时易犯的错误，通过例题与练习培养学 生运用所学概念、定理进行推理论证的能力

2.设 1 B X AX − = 则 1 1 1 1 A XBX X BX B A ( ) ? − − − − = =  3.设 1 1 B X AX C Y BY , − − = = .则 1 1 1 1 C Y BY Y X AXY XY A XY ( ) ( ) − − − − = = = 于是 A C~ 由矩阵相似的概念，定理 4 可补充成 定理 5 线性变换在不同基下矩阵是相似的；反之，若二矩阵相似，则它们可看成同一线性变换 在两组基下的矩阵. 证明 前一部分即定理 4 .现证明后一部分.设 1 B X AX − = .令 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) .        =  n n X 则 1 ( , , )  n  也是一组基， A 在此基下的矩阵就是 B . 利用矩阵相似的概念可以简化矩阵的计算. 例 设 A 在 V 中基 1 2  , 下的矩阵为 2 1 1 0       − .再设 1 2 1 2 1 1 ( , ) ( , ) 1 2       − =     − 由定理 4. A 在 1 2  , 下的矩阵为 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 0 1 2 0 1 −        −        =        − − − 显然有 1 1 1 . 0 1 0 1 k     k     =     由此可得 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 0 1 1 2 1 2 0 1 1 2 k k k − −                   − − − −               = =                 − − − − −     1 1 1 2 1 1 1 2 0 1 1 1 1 k k k k k       − + = =             − − − + 作业: P324,习题 7 之 3），P326，习题 15。. 预习: 前三节的基本概念. §1—3 习题课 教学目标: 复习所学的基本概念、定理，总结学生解题时易犯的错误，通过例题与练习培养学 生运用所学概念、定理进行推理论证的能力

教学重点：总结学生解题时易犯的错误，例题讲解 教学方法：讲授、讨论 教学过程 一、复习提问 二、作业讲评 三、 例题讲解 例1P323,习题1之2)入、4)、6) 说明：此例复习线性变换的概念 例2P324,习题4 说明 此例复习线性变换的运算的概念 例3 P324,习题6 明：此题复习线性变换可逆的概念 例4P325,习题8 说明：出题复习线性变换的矩阵的概 P326.习题16 此题复习线性变换在不同基下的矩阵的关系 四、课堂练习 练习1P324,习题3 练习2P325,习题9 作业p327,习题18。 预习：下一节的基本概念 §4特征值与特征向量 教学目标掌握线性变换特征值与特征向量的概念及求法，相似矩阵的特征多项式的关系，哈密 尔顿一凯莱(Hamilton-Cala）定理。 教学重点：线性变换特征值与特征向量的概念及求法

教学重点: 总结学生解题时易犯的错误，例题讲解. 教学方法: 讲授、讨论 教学过程: 一、 复习提问 二、 作业讲评 三、 例题讲解 例 1 P323，习题 1 之 2）、4）、6）. 说明: 此例复习线性变换的概念. 例 2. P324，习题 4. 说明: 此例复习线性变换的运算的概念. 例 3 P324，习题 6. 说明: 此题复习线性变换可逆的概念. 例 4 P325，习题 8. 说明: 此题复习线性变换的矩阵的概念 . 例5 P326,习题 16. 说明: 此题复习线性变换在不同基下的矩阵的关系. 四、课堂练习 练习 1 P324，习题 3. 练习 2 P325，习题 9. 作业: P327，习题 18。 预习:下一节的基本概念。 §4 特征值与特征向量 教学目标: 掌握线性变换特征值与特征向量的概念及求法，相似矩阵的特征多项式的关系，哈密 尔顿一凯莱 ( ) Hamilton Caylay − 定理。 教学重点: 线性变换特征值与特征向量的概念及求法