例如A=(20-1),B=1,则AB=2,而B4=20 0 000 例7设矩阵4(24 B 求AB和BA 12 解AB 上述几个例子显示,当AB有意义时,BA不一定有意义(例4):即使AB和BA都 有意义(例6),且有相同的矩阵阶数(例7),AB和BA也不一定相等。因此矩阵乘法不 满足交换律(对一般情况而言)。 若两个矩阵A和B满足 Ab= BA 则称矩阵A和B是可交换的,如 1)单位矩阵与任何(同阶)矩阵可交换,即成立AⅠ=MA 2)任何两个对角矩阵也都是可交换的。(作为习题) 3)一个矩阵与任何(同阶)矩阵可交换的当且仅当该矩阵为数量矩阵。(作为习题) 例7还显示,当AB=O时,不能推出A≠O或B≠O。进一步,当AB=AC, 且A≠O时,推不出B=C。这表明矩阵乘法也不满足消去律。 但矩阵乘法仍满足分配律和结合律 (1)分配律 A(B+C)=AB+AC:(B+C)A= BA+CA (2)结合律 (AB)C=A(BC) (3)数乘结合律A(AB)=(4)B=A(AB),其中λ是一个数。 (4) Al=A=A
19 例如 A = ( 2 0 −1)， = 0 1 1 B ， 则 AB = 2 ， 而 − − = 0 0 0 2 0 1 2 0 1 BA 。 . 例 7 设矩阵 − − = = 1 1 2 2 , 1 2 2 4 A B , 求 AB 和 BA . 解 = 0 0 0 0 AB ; − − = 1 2 2 4 BA . 上述几个例子显示，当 AB 有意义时， BA 不一定有意义（例 4）；即使 AB 和 BA 都 有意义（例 6），且有相同的矩阵阶数（例 7）， AB 和 BA 也不一定相等。因此矩阵乘法不 满足交换律(对一般情况而言)。 若两个矩阵 A 和 B 满足 AB = BA 则称矩阵 A 和 B 是可交换的，如 1）单位矩阵与任何（同阶）矩阵可交换，即成立 AI = IA。 2）任何两个对角矩阵也都是可交换的。（作为习题） 3）一个矩阵与任何（同阶）矩阵可交换的当且仅当该矩阵为数量矩阵。（作为习题） 例 7 还显示，当 AB = O 时，不能推出 A O 或 B O 。进一步，当 AB = AC ， 且 A O 时，推不出 B = C 。这表明矩阵乘法也不满足消去律。 但矩阵乘法仍满足分配律和结合律： （1） 分配律 A(B + C) = AB + AC ； (B +C)A = BA +CA 。 （2） 结合律 (AB)C = A(BC) 。 （3） 数乘结合律 (AB) = (A)B = A(B) , 其中 是一个数。 （4） AI = IA = A
证明矩阵相等的方法:()左右矩阵为同型:(ID左右矩阵在对应位置(i,)上的元素相等 (2)的证明设A={an}是mxs矩阵,B={bn}是s×t矩阵,C={cn}是×n矩阵 则D={d}=AB是m×t矩阵,且dk=∑a1b:而E={en}=BC是sxm矩阵,且 en=∑bc,从而ABC)和A(BC)都是mxn矩阵。再记 P=(ABC=DC,Q=A(BC)=AE。只需证故P=q即可 例8设矩阵A、B是上(下)三角矩阵,则AB亦是上(下)三角矩阵;且AB的对 角元素等于A、B对角元素的乘积。特别,对角矩阵的积仍是对角矩阵。 证明:记C=AB,则c=∑ab,只要证明cn=0,1>j,并cn=anb 1-21 331 如=020,B=0-20 矩阵的幂设A是n阶矩阵,定义 A=AA=AA A+1=A(4) 其中,k是正整数:特别规定A°=I由于乘法成立分配律结合律,有 A=AA,(4)=A, 但由于不成立交换律,故一般(AB)4≠AB 0100 例9设矩阵 B 0001 00A 0000 000 求和B"(n≥4)。(把A推广到一般n阶矩阵)
19 证明矩阵相等的方法：(I) 左右矩阵为同型；(II) 左右矩阵在对应位置 (i, j) 上的元素相等。 （2）的证明 设 { } A = aij 是 ms 矩阵， { } B = bij 是 s t 矩阵， { }ij C = c 是 t n 矩阵， 则 D ={dij} = AB 是 m t 矩阵，且 = = s l dik ailblk 1 ；而 E ={eij} = BC 是 s n 矩阵，且 = = t k lj lk kj e b c 1 ，从而 A(BC) 和 A(BC) 都是 m n 矩阵。再记 P = (AB)C = DC ，Q = A(BC) = AE 。只需证故 pij = qij 即可。 ■ 例 8 设矩阵 A 、 B 是上（下）三角矩阵，则 AB 亦是上（下）三角矩阵；且 AB 的对 角元素等于 A 、 B 对角元素的乘积。特别，对角矩阵的积仍是对角矩阵。 证明：记 C = AB ，则 = = s k ij aikbkj c 1 ，只要证明 c i j ij = 0, ，并 ii aiibii c = 。 如 − = 0 0 3 0 2 0 1 2 1 A ， = − 0 0 2 0 2 0 3 3 1 B ， 矩阵的幂 设 A 是 n 阶矩阵，定义： , , , ( ) 1 2 k 1 k A = A A = AA A = A A + , 其中， k 是正整数；特别规定 A = I 0 . 由于乘法成立分配律结合律，有 k l k l A = A A + ， k l kl (A ) = A ， 但由于不成立交换律，故一般 k k k (AB) A B 。 例 9 设矩阵 , 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A = , , 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 = B 求 4 A 和 B (n 4) n 。（把 A 推广到一般 n 阶矩阵）
四、转置运算 定义5(转置矩阵)设 A'=12.ama2 将A的行和列对应互换得到的nxm矩阵,定义为A的转置矩阵,记作Ar, 由定义可知,(4)=(A),即A在位置(,上的元素是矩阵A在位置(1)上的元素。 例10设矩阵 A=02,B 求(AB),BIA和AB 上述例子成立(AB)2=BA2,而并不成立(AB)y=AB。这是转置运算的性质 矩阵的转置满足下列运算法则: A (2)(A+B)=A+B; (3)(A)=A(A),λ是数 (4)(AB)=BA 定义6(对称矩阵)设A={an}是n阶矩阵。若其元素满足: 若其元素满足: 则称A是反对称矩阵。此时成立an=0Vi
19 四、 转置运算 定义 5 (转置矩阵) 设 = m m mn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 ， = n n mn m m T a a a a a a a a a A 1 2 12 22 2 11 21 1 将 A 的行和列对应互换得到的 nm 矩阵，定义为 A 的转置矩阵，记作 T A ，。 由定义可知， ij ji T (A ) = (A) ，即 T A 在位置 (i, j) 上的元素是矩阵 A 在位置 ( j,i) 上的元素。 例 10 设矩阵 = − − = 3 4 2 1 , 3 2 0 2 4 1 A B , 求 T (AB) ， T T B A 和 T T A B 。 上述例子成立 T T T (AB) = B A ，而并不成立 T T T (AB) = A B 。 这是转置运算的性质。 矩阵的转置满足下列运算法则： （1） A A T T ( ) = ； （2） T T T (A + B) = A + B ； （3） ( ) ( ), T T A = A 是数； （4） ( ) . T T T AB = B A 定义 6 (对称矩阵) 设 { } A = aij 是 n 阶矩阵。若其元素满足： a a i j A A T ij = ji , = ， 若其元素满足： a a i j A A T ij = − ji , = − ， 则称 A 是反对称矩阵。此时成立 a i ii = 0