系为 t=1+221 ho (2.4.17) 当h=0时，梁完全断裂，相应的断裂时间记为t,则有 t'= 2n+1 2n.t (2.4.18) 如果取n=3,则t'=1.4t。可见在梁的最外层达到损伤临界值 以后，还有相当长的一段时间，梁还可以继续承受外载。 上述的分析方法同样适用于任意载荷下梁的弯曲问题。设梁 中的最大弯矩为M，则可以得到断裂孕育时间t和横截面完全 断裂的时间t为 (2.4.19) t'= 2n+1. 2n Iti (2.4.20) 与纯弯梁蠕变断裂的另一区别表现在断裂前缘不再与梁的中轴线 平行。图2.8所示为三点弯曲梁的蠕变示意图，损伤仅局限在一个 窄的楔形区域内。 图2.8三点弯曲梁的蠕变断裂2.2) ·25·
系为 t tI = 1 + 2 2n - 1 1 - h h0 2n- 1 ( 2.4.17) 当 h = 0 时, 梁完全断裂, 相应的断裂时间记为 t′, 则有 t′= 2n + 1 2n - 1 tI ( 2.4.18) 如果取 n = 3 , 则 t′= 1.4tI。可见在梁的最外层达到损伤临界值 以后, 还有相当长的一段时间, 梁还可以继续承受外载。 上述的分析方法同样适用于任意载荷下梁的弯曲问题。设梁 中的最大弯矩为 M * , 则可以得到断裂孕育时间 t * I 和横截面完全 断裂的时间 t * ′为 t * I = ( ν+ 1) C M * I m 0 ν h μν 0 - 1 ( 2.4.19) t * ′ = 2n + 1 2n - 1 t * I ( 2.4.20) 与纯弯梁蠕变断裂的另一区别表现在断裂前缘不再与梁的中轴线 平行。图 2.8 所示为三点弯曲梁的蠕变示意图, 损伤仅局限在一个 窄的楔形区域内。 图 2.8 三点弯曲梁的蠕变断裂[ 2.2] ·25·
2.5一维脆塑性损伤模型 脆塑性损伤模型适用于诸如岩石、混凝土、陶瓷、石膏、某些脆 性或准脆性金属材料。这类材料的损伤和变形响应相当复杂，与延 性金属和合金、聚合物等有明显的差别，表现在脆性材料的明显的 尺寸效应、拉压性质的不同、应力突然跌落和应变软化、非弹性体 积变形和剪胀效应、变形的非正交性等多方面。针对这一类材料， Dragon和Mroz早在1979年就提出了一种考虑损伤的三维本构 模型2.1。此后，脆性材料的损伤问题得到了相当广泛的研究。关 于岩石和混凝土的损伤力学，可以参见文献[2.15]，本书后面还将 介绍脆性材料损伤方面的一些研究成果。本节侧重于介绍一维脆 塑性损伤模型。 2.5.1 Mazars损伤模型21 脆性和准脆性材料的应力应变关系一般可以分为线弹性、非 线性强化、应力跌落和应变软化等阶段。但不同脆性材料的行为也 差别很大，实验中得到的应力应变曲线还与实验机的刚度、加载方 式相关。Mazars2.1将脆性材料的拉伸应力应变关系分两段描述， 设是损伤开始时的应变，也是峰值应力Q对应的应变。当e≤ 时，认为材料无损伤即D=0;当>e时，材料有损伤即D>0。 Mazars用如下公式拟合材料的单向拉伸应力应变曲线 Eo e (0≤e≤e) 0= AT E0(1-Ar)+ exp[Br(e-E)] (e≥e) (2.5.1) 式中E。是线弹性阶段的弹性模量，Ar和Br是材料常数，下标T 表示拉伸。 ·26·
2.5 一维脆塑性损伤模型 脆塑性损伤模型适用于诸如岩石、混凝土、陶瓷、石膏、某些脆 性或准脆性金属材料。这类材料的损伤和变形响应相当复杂, 与延 性金属和合金、聚合物等有明显的差别, 表现在脆性材料的明显的 尺寸效应、拉压性质的不同、应力突然跌落和应变软化、非弹性体 积变形和剪胀效应、变形的非正交性等多方面。针对这一类材料, Dragon 和 Mróz 早在 1979 年就提出了一种考虑损伤的三维本构 模型 [ 2. 14] 。此后, 脆性材料的损伤问题得到了相当广泛的研究。关 于岩石和混凝土的损伤力学, 可以参见文献[ 2.15] , 本书后面还将 介绍脆性材料损伤方面的一些研究成果。本节侧重于介绍一维脆 塑性损伤模型。 2.5.1 Mazars 损伤模型 [ 2. 16] 脆性和准脆性材料的应力应变关系一般可以分为线弹性、非 线性强化、应力跌落和应变软化等阶段。但不同脆性材料的行为也 差别很大, 实验中得到的应力应变曲线还与实验机的刚度、加载方 式相关。Mazars [ 2. 16] 将脆性材料的拉伸应力应变关系分两段描述, 设 εc 是损伤开始时的应变, 也是峰值应力 σc 对应的应变。当 ε≤ εc 时, 认为材料无损伤即 D = 0; 当 ε> εc 时, 材料有损伤即 D > 0。 Mazars 用如下公式拟合材料的单向拉伸应力应变曲线 σ= E0ε ( 0 ≤ ε≤ εc ) E0 εc ( 1 - AT ) + ATε exp[ BT ( ε- εc ) ] ( ε≥ εc ) ( 2.5.1) 式中 E 0 是线弹性阶段的弹性模量, AT 和 BT 是材料常数, 下标 T 表示拉伸。 ·26·
这里以割线模量E的变化定义损伤D,表示为 D=1-E/Eo (2.5.2) 于是损伤材料的应力应变关系为 0=Eo(1-D)e (2.5.3) 比较式(2.5.1)和(2.5.3)，得到Mazars模型中单拉情况下 的损伤演化方程 0 (0≤e≤) D= 1.1.A. AT exp[Br(e-)] (e≥) (2.5.4) 由Mazars模型得到的名义应力c有效应力o=g(1-D)、 损伤D随应变的变化曲线如图2.9所示。经实验验证，对于一般 的混凝土，材料常数取值范围为0.7≤Ar≤1,104≤Br≤10， 0.5X104≤e≤1.5X10°4。 图2.9 Mazars模型中名义应力、有效应力 和损伤与应变的关系曲线 类似地可以建立单向压缩时的损伤本构关系。单向压缩时的 等效应变￡为 ￡= 〈8〉2+(6〉2+(8)2=-2V (2.5.5) 式中军，§和6是主应变，6=<0，§=s=-v%角括号定义 ·27·
这里以割线模量 E 的变化定义损伤 D, 表示为 D = 1 - E / E0 ( 2.5.2) 于是损伤材料的应力应变关系为 σ= E 0 ( 1 - D) ε ( 2.5.3) 比较式( 2.5.1) 和( 2.5.3) , 得到 Mazars 模型中单拉情况下 的损伤演化方程 D = 0 ( 0 ≤ ε≤ εc ) 1 - εc ( 1 - AT ) ε - AT exp[ BT ( ε- εc ) ] ( ε≥ εc ) ( 2.5.4) 由 Mazars 模型得到的名义应力 σ、有效应力 σ= σ/ ( 1 - D) 、 损伤 D 随应变 ε的变化曲线如图 2.9 所示。经实验验证, 对于一般 的混凝土, 材料常数取值范围为 0.7 ≤ AT ≤ 1, 10 4 ≤ BT ≤ 10 5 , 0.5× 10 - 4 ≤ εc ≤ 1.5× 10 - 4。 图 2.9 Mazars 模型中名义应力、有效应力 和损伤与应变的关系曲线 类似地可以建立单向压缩时的损伤本构关系。单向压缩时的 等效应变 εe 为 εe = 〈ε1〉2 + 〈ε2〉2 + 〈ε3〉2 = - 2 νε1 ( 2.5.5) 式中 ε1 , ε2 和 ε3 是主应变, ε1 = ε< 0, ε2 = ε3 = - νε, 角括号定义 ·27·
为〈x〉=(x+C©/2。Mazars认为，当e≤e时材料无损伤，当 ε>ε时材料有损伤。单向压缩时的应力应变关系拟合为 Eo e (E≤E) 0= E(1-Ac)+ Ac e Eo .2Y (E>E) exp[Bc(- 2 ve- )] (2.5.6) 式中压缩时的材料常数Ac和Bc的变化范围为1≤Ac≤1.5,10 ≤Bc≤2X10。单向压缩时的损伤方程为 0 (E≤e) D= 1.1-Ac Ac (e>) exp[Bc(e-e)] (2.5.7) 2.5.2 Loland模型2.1m 对于混凝土等脆塑性材料，当应力接近峰值应力时，应力应变 曲线己偏离直线，这意味着应力达到最大值以前，材料中已经发生 了连续损伤。于是，Loland将这类材料的损伤分为两个阶段，第一 个阶段是在应力达到峰值应力之前，即当应变小于峰值应力对应 的应变时，在整个材料中发生分布的微裂纹损伤，第二个阶段是 当应变大于ε时，损伤主要发生在破坏区内。材料的有效应力= g(1-D)与应变e的关系表示为 Ee(0≤e≤e) 0= (2.5.8) EE(E≤ε≤) 式中：是材料断裂应变，即当=时D=1,E称为净弹性模量， 定义为 E E= 1-D0 (2.5.9) 式中E为无损的弹性模量，D。是加载前的初始损伤值。 ·28·
为〈x〉= ( x + ©¦x©¦) / 2。Mazars 认为, 当 εe ≤ εc 时材料无损伤, 当 εe > εc 时材料有损伤。单向压缩时的应力应变关系拟合为 σ= E0ε ( εe ≤ εc ) E0 εc ( 1 - AC ) - 2 γ + ACε exp[ BC ( - 2 νε- εc ) ] ( εe > εc ) ( 2.5.6) 式中压缩时的材料常数 AC 和 BC 的变化范围为 1 ≤ AC ≤ 1.5, 10 3 ≤ BC ≤ 2× 10 3。单向压缩时的损伤方程为 D = 0 ( εe ≤ εc ) 1 - εc ( 1 - AC ) εe - AC exp [ BC ( εe - εc ) ] ( εe > εc ) ( 2.5.7) 2.5.2 Loland 模型 [ 2. 17] 对于混凝土等脆塑性材料, 当应力接近峰值应力时, 应力应变 曲线已偏离直线, 这意味着应力达到最大值以前, 材料中已经发生 了连续损伤。于是, Loland 将这类材料的损伤分为两个阶段, 第一 个阶段是在应力达到峰值应力之前, 即当应变小于峰值应力对应 的应变 εc 时, 在整个材料中发生分布的微裂纹损伤, 第二个阶段是 当应变大于 εc 时, 损伤主要发生在破坏区内。材料的有效应力 σ= σ/ ( 1 - D) 与应变 ε的关系表示为 σ= E ε ( 0 ≤ ε≤ εc ) E εc ( εc ≤ ε≤ εu ) ( 2.5.8) 式中 εu 是材料断裂应变, 即当 ε= εu 时 D = 1, E 称为净弹性模量, 定义为 E = E 1 - D0 ( 2.5.9) 式中 E 为无损的弹性模量, D0 是加载前的初始损伤值。 ·28·
利用实验得到的混凝土单拉曲线，经拟合得到如下的损伤演 化方程 Do+C (0≤e≤E) D= D0+C1E+C2(e.-E)（￡<e≤8) (2.5.10) 式中C,C,和B是材料常数。由=g时0=Q,0 do ,并考虑 到=时D=1,得到 1.Do.C:=(1 Do) λ B= 1+B,C2=1·D。:CE - 式中=a/(Ee)。由Loland模型得到的名义应力a有效应力o 损伤D随应变ε的变化曲线如图2.10所示。 图2.10 Loland模型中名义应力、有效应力和 损伤与应变的关系曲线 2.5.3分段线性损伤模型2.11 在余天庆提出的分段线性损伤模型中，应力应变关系也被分 为两个阶段。当应力达到峰值应力之前即当<时，认为材料中 只有初始损伤，没有损伤演化，应力与应变成线弹性关系，称为第 一阶段，当>e以后，损伤按分段线性关系发展，称为第二阶段。 应力应变关系可用分段线性的折线表示（图2.11）。当少时，应 力应变关系表示为 o=Ee-C1(©-〉-C2〈©威-〉 (2.5.11) 式中C:和C2为材料常数，对于一般的混凝土，C=0.8~1.2,C2 ·29·
利用实验得到的混凝土单拉曲线, 经拟合得到如下的损伤演 化方程 D = D0 + C1ε β ( 0 ≤ ε≤ εc ) D0 + C1ε β c + C2 ( ε- εc ) ( εc < ε≤ εu ) ( 2.5.10) 式中 C1 , C2 和 β是材料常数。由 ε= εc 时 σ= σc , dσ dε = 0, 并考虑 到 ε= εu 时 D = 1, 得到 β= λ 1 - D0 - λ , C1 = ( 1 - D0 ) ε - β c 1 + β , C2 = 1 - D0 - C1ε β c εu - εc 式中 λ= σc / ( E εc ) 。由 Loland 模型得到的名义应力 σ、有效应力 σ、 损伤 D 随应变 ε的变化曲线如图 2.10 所示。 图 2.10 Loland 模型中名义应力、有效应力和 损伤与应变的关系曲线 2.5.3 分段线性损伤模型 [ 2 .18 ] 在余天庆提出的分段线性损伤模型中, 应力应变关系也被分 为两个阶段。当应力达到峰值应力之前即当 ε< εc 时, 认为材料中 只有初始损伤, 没有损伤演化, 应力与应变成线弹性关系, 称为第 一阶段; 当 ε> εc 以后, 损伤按分段线性关系发展, 称为第二阶段。 应力应变关系可用分段线性的折线表示( 图 2.11) 。当 ε> εc 时, 应 力应变关系表示为 σ= E εc - C〈1 婦F M - εc〉- C〈2 婦F M - εc〉 ( 2.5.11) 式中 C1 和 C2 为材料常数, 对于一般的混凝土, C1 = 0.8 ～ 1.2, C2 ·29·