=0.2~0.5。若不考虑初始损伤，即D0=0,并考虑到当e= 时D=1,得到 C,-C(1+C)e.C] (2.5.12) 该模型的特点是物理概念比较清楚，应用比较方便。 图2.11分段线性的应力应变曲线[218) 2.5.4分段曲线损伤模型2.191 该模型认为在应力达到峰值应力前后都有损伤演化，并用不 同的曲线方程来拟合，分别表示为 D=A-8 (0≤e≤e) A2 D=1- C21 .1+ (e>E) e (2.5.13) 式中A,A:和B:为材料常数。由边界条件C4&=,de do 0得到 A1= E￡-9 0 B1= E￡ Ee-a' A2= Ee (2.5.14) ·30·
= 0.2 ～ 0.5。若不考虑初始损伤, 即 D0 = 0, 并考虑到当 ε= εR 时 D = 1, 得到 εF = 1 C1 - C2 [ ( 1 + C1 ) εc - C2εR ] ( 2.5.12) 该模型的特点是物理概念比较清楚, 应用比较方便。 图 2.11 分段线性的应力应变曲线[ 2.18] 2.5.4 分段曲线损伤模型 [ 2 .19 ] 该模型认为在应力达到峰值应力前后都有损伤演化, 并用不 同的曲线方程来拟合, 分别表示为 D = A1 ε εc B 1 ( 0 ≤ ε≤ εc ) D = 1 - A2 C2 ε εc - 1 B 2 + ε εc ( ε> εc ) ( 2.5.13) 式中 A1 , A2 和 B1 为材料常数。由边界条件 σ©¦ε= εc = σc , dσ dεε= εc = 0 得到 A1 = Eεc - σc E εc , B1 = σ E εc - σc , A2 = σc E εc ( 2.5.14) ·30·
B2和C2为曲线参数，取B2=1.7,C2=0.003G。由实验数据，得 到A1=1/6,B1=5,A2=5/6。 由式(2.5.13)得到的损伤随应变的演化曲线如图2.12(a)所 示。由该模型得到的应力应变曲线如图2.12(b)所示，它与 azars模型很接近。 图2.12分段曲线损伤模型中的应力应变曲线 和损伤演化曲线 此外，钱济成和周建方21还将该模型进一步简化，应力应变 关系用两条直线代替（图2.13(a)),损伤演化方程为（图2.13(b) D=0 (0≤e≤) D=. e (2.5.17) f-) (>E) 图2.13分段曲线损伤模型的简化 ·31·
B2 和 C2 为曲线参数, 取 B2 = 1.7, C2 = 0.003σ 2 c。由实验数据, 得 到 A1 = 1/ 6, B1 = 5, A2 = 5/ 6。 由式( 2.5.13) 得到的损伤随应变的演化曲线如图 2.12( a) 所 示。由 该 模 型 得到 的 应 力 应 变 曲 线 如 图 2.12 ( b ) 所 示, 它 与 Mazars 模型很接近。 图 2.12 分段曲线损伤模型中的应力应变曲线 和损伤演化曲线 此外, 钱济成和周建方 [ 2.19 ] 还将该模型进一步简化, 应力应变 关系用两条直线代替( 图 2.13( a) ) , 损伤演化方程为( 图 2.13( b ) ) D = 0 ( 0 ≤ ε≤ εc ) D = εu ( ε- εc ) ε( εu - εc ) ( ε> εc ) ( 2.5.17) 图 2.13 分段曲线损伤模型的简化 ·31·
2.6一维疲劳损伤理论 在交变载荷作用下，结构中会有大量的微裂纹形核，并且微裂 纹随着载荷循环次数的增加而逐渐扩展，最终形成宏观裂纹导致 材料的断裂，这种破坏称为疲劳损伤破坏。在结构破坏之前的载荷 循环次数N称为疲劳寿命。当疲劳寿命高于10时，称为高周 疲劳；当疲劳寿命低于义10时，称为低周疲劳。对于应力水平较 低的高周疲劳，变形主要为弹性变形。对于应力水平较高的低周疲 劳，则往往有塑性变形发生。疲劳过程中的损伤问题由于其重要的 工程意义而得到了人们的高度重视2.3,2.20~2.2。 在前面介绍的蠕变损伤理论中，将时间作为参考度量，损伤是 时间的函数，而在疲劳损伤理论中，损伤常常表示为载荷循环次数 的函数。一般情况下，疲劳损伤的演化方程可表示为如下形式 δw=f(0△gg…）N (2.6.1) 式中△0为载荷循环中的应力变化幅度，简称应力幅，σ为平均应 力。随着载荷循环次数的增加，损伤逐渐累积。如何处理损伤的累 积，是疲劳分析尤其是多级加载情况下疲劳分析中的一个重要问 题。 2.6.1疲劳损伤的线性累积律 在多级加载情况下，一个最简单的、被广泛采用的疲劳寿命估 计方法是Miner提出的线性累积方法。设材料依次承受应力幅为 △O,△g,…的循环载荷作用，经历的载荷循环次数分别为N1, Nz,…,假设其间损伤的发展△@，△@，·分别与△N/N1, Nz/NF2…相联系，其中NF1,NF2,…为△q,△Q,…分别单独作 用时的疲劳寿命。根据Miner的线性累积律，疲劳破坏准则可以 表示为 ·32·
2.6 一维疲劳损伤理论 在交变载荷作用下, 结构中会有大量的微裂纹形核, 并且微裂 纹随着载荷循环次数的增加而逐渐扩展, 最终形成宏观裂纹导致 材料的断裂, 这种破坏称为疲劳损伤破坏。在结构破坏之前的载荷 循环次数 N F 称为疲劳寿命。当疲劳寿命高于 5× 10 4 时, 称为高周 疲劳; 当疲劳寿命低于 5× 10 4 时, 称为低周疲劳。对于应力水平较 低的高周疲劳, 变形主要为弹性变形。对于应力水平较高的低周疲 劳, 则往往有塑性变形发生。疲劳过程中的损伤问题由于其重要的 工程意义而得到了人们的高度重视[ 2. 13, 2 .20～ 2. 24] 。 在前面介绍的蠕变损伤理论中, 将时间作为参考度量, 损伤是 时间的函数, 而在疲劳损伤理论中, 损伤常常表示为载荷循环次数 的函数。一般情况下, 疲劳损伤的演化方程可表示为如下形式 δω= f ( ω, Δσ, σ, …) δN ( 2.6.1) 式中 Δσ为载荷循环中的应力变化幅度, 简称应力幅, σ为平均应 力。随着载荷循环次数的增加, 损伤逐渐累积。如何处理损伤的累 积, 是疲劳分析尤其是多级加载情况下疲劳分析中的一个重要问 题。 2.6.1 疲劳损伤的线性累积律 在多级加载情况下, 一个最简单的、被广泛采用的疲劳寿命估 计方法是 Miner 提出的线性累积方法。设材料依次承受应力幅为 Δσ1 , Δσ2 , … 的循环载荷作用, 经历的载荷循环次数分别为 ΔN 1 , ΔN 2 , …, 假 设其 间 损 伤 的发 展 Δω1 , Δω2 , … 分 别 与 ΔN 1 / N F 1 , ΔN 2 / N F 2… 相联系, 其中 N F 1 , N F 2 , … 为 Δσ1 , Δσ2 , … 分别单独作 用时的疲劳寿命。根据 Miner 的线性累积律, 疲劳破坏准则可以 表示为 ·32·
N=1 N (2.6.2) 因此，在等应力幅的循环载荷作用下，可以认为损伤的演化是线性 的，即 N NE (2.6.3) 这是一种最简单的疲劳损伤定义。事实上，线性累积律也可以用于 损伤非线性演化的情况，为此，应该确定损伤因子ω和N/Nr的一 一对应关系，即将o表示为由N/N唯一决定的函数。例如，在两 级加载的情况下，损伤的一种演化曲线如图2.14(a)所示。 图2.14线性的和非线性的损伤累积方法 因此，在采用线性累积律时，可以定义损伤随载荷循环的演化 规律为如下的线性形式2， N δ0= N(△gg…) (2.6.4) 或非线性形式 ·33·
∑ k ΔN k N F k = 1 ( 2.6.2) 因此, 在等应力幅的循环载荷作用下, 可以认为损伤的演化是线性 的, 即 ω= N N F ( 2.6.3) 这是一种最简单的疲劳损伤定义。事实上, 线性累积律也可以用于 损伤非线性演化的情况, 为此, 应该确定损伤因子 ω和 N / N F 的一 一对应关系, 即将 ω表示为由 N / N F 唯一决定的函数。例如, 在两 级加载的情况下, 损伤的一种演化曲线如图 2.14( a) 所示。 图 2.14 线性的和非线性的损伤累积方法 因此, 在采用线性累积律时, 可以定义损伤随载荷循环的演化 规律为如下的线性形式 [ 2. 13] δω= δN N F ( Δσ, σ, …) ( 2.6.4) 或非线性形式 ·33·
6w= （1-k k+1N(△gg…) (2.6.5) 在式(2.6.4)和(2.6.5)中，损伤演化与外加的载荷参数无关，载荷 参数只隐含于Nr中。应该注意，Miner的损伤线性累积方法只有 在应力幅和平均应力变化很小的情况下才得到比较好的结果。 2.6.2疲劳损伤的非线性累积律 如果损伤演化不仅依赖于N/N,而且与载荷的循环参数（如 应力幅△o、平均应力0)相关，即损伤与表示载荷的参数不是独立 的变量，则应该采用损伤的非线性累积方法。如图2.14(b)所示为 一个两级加载的例子，显然有N/N1+N2/N2≠1。 在考虑应力幅影响的情况下，一种常用的损伤演化方程 为2.2 0 △0 N 2B(1- (1- (2.6.6) 式中B,B和Y是与温度相关的材料参数，B还依赖于平均应力g B=B(g。 由式(2.6.6)，可以导出 0=1- 1、 N NE （2.6.7) 式中疲劳寿命N:的表示式为 △0B N(△gg= B+Y+12B(0 (2.6.8) 根据式(2.6.7)和(2.6.8)，ln(1-与ln(1-N/Ne)成线性关 系，而1nN:与1n△o也成线性关系，如图2.15和2.16所示，由此 可以实验测定参数B+Y和B。 Chaboche提出了一种更复杂的疲劳损伤演化方程2.2o1 B 架=1(1.9 △0 M(1- （2.6.9) ·34·
δω= ( 1 - ω) - k k + 1 δN N F ( Δσ, σ, …) ( 2.6.5) 在式( 2.6.4) 和( 2.6.5) 中, 损伤演化与外加的载荷参数无关, 载荷 参数只隐含于 N F 中。应该注意, Miner 的损伤线性累积方法只有 在应力幅和平均应力变化很小的情况下才得到比较好的结果。 2.6.2 疲劳损伤的非线性累积律 如果损伤演化不仅依赖于 N / N F , 而且与载荷的循环参数( 如 应力幅 Δσ、平均应力 σ) 相关, 即损伤与表示载荷的参数不是独立 的变量, 则应该采用损伤的非线性累积方法。如图 2.14( b) 所示为 一个两级加载的例子, 显然有 N 1 / N F 1 + N 2 / N F 2 ≠ 1。 在考 虑 应力 幅 影响 的 情况 下, 一 种 常用 的 损 伤演 化 方 程 为[ 2. 22] δω δN = Δσ 2B( 1 - ω) β ( 1 - ω) - γ ( 2.6.6) 式中 B, β和 γ是与温度相关的材料参数, B 还依赖于平均应力 σ, B = B( σ) 。 由式( 2.6.6) , 可以导出 ω= 1 - 1 - N N F 1 β+ γ+ 1 ( 2.6.7) 式中疲劳寿命 N F 的表示式为 N F ( Δσ, σ) = 1 β+ γ+ 1 Δσ 2B( σ) - β ( 2.6.8) 根据式( 2.6.7) 和( 2.6.8) , ln ( 1 - ω) 与 ln( 1 - N / N F ) 成线性关 系, 而 lnN F 与 lnΔσ也成线性关系, 如图 2.15 和 2.16 所示, 由此 可以实验测定参数 β+ γ和 B。 Chaboche 提出了一种更复杂的疲劳损伤演化方程[ 2 .20 ] δω δN = 1 - ( 1 - ω) 1+ β α Δσ M( 1 - ω) β ( 2.6.9) ·34·