图2.4 Heaviside型加载历史(t) 及有效应力qt) 0=0 (2.3.21) 此式表明在瞬态加载的过程中，既没有蠕变变形，也没有损伤发 展。在1-2段，式(2.3.19)简化为 do -BG-C0=0 (2.3.22) adt 对此式积分，并利用初始条件式(2.3.21)，得 t∫ Bx"*+Cx*dx (2.3.23) 由上式及o→∞的条件，得到同时考虑损伤演化和蠕变变形的断 裂时间为 ∫ Bx"+Cx*dx (2.3.24) 令C=0,即得不考虑损伤的断裂时间，与式(2.3.10)中的 tRH相同。令B=0,得到不考虑蠕变变形的断裂时间 tR=- Ca (2.3.25) 由于所采用的损伤定义不同，式(2.3.25)与(2.3.14)中的tRk略有 差别。当B>0,C>0时，可以得到断裂时间的数值积分结果，如 图2.5所示。由此图可以看出，应力较大时，可以采用忽略损伤的 。20·
图 2.4 Heaviside 型加载历史 σ0 ( t) 及有效应力 σ( t) σ0 = σ0 ( 2.3.21) 此式表明在瞬态加载的过程中, 既没有蠕变变形, 也没有损伤发 展。在 1-2 段, 式( 2.3.19) 简化为 dσ σdt - Bσ n - Cσ ν = 0 ( 2.3.22) 对此式积分, 并利用初始条件式( 2.3.21) , 得 t∫= σ σ0 Bx n + 1 + Cx ν+ 1 - 1 dx ( 2.3.23) 由上式及 σ→ ∞ 的条件, 得到同时考虑损伤演化和蠕变变形的断 裂时间为 tR ∫= ∞ σ0 Bx n+ 1 + Cx ν+ 1 - 1 dx ( 2.3.24) 令 C = 0, 即得不考虑损伤的断裂时间, 与式( 2.3.10) 中的 tR H 相同。令 B = 0, 得到不考虑蠕变变形的断裂时间 tR = 1 νCσ ν 0 ( 2.3.25) 由于所采用的损伤定义不同, 式( 2.3.25) 与( 2.3.14) 中的 tR K 略有 差别。当 B > 0, C > 0 时, 可以得到断裂时间的数值积分结果, 如 图 2.5 所示。由此图可以看出, 应力较大时, 可以采用忽略损伤的 ·20·
式(2.3.10)；应力较小时，可以采用忽略蠕变变形的式(2.3.25)； 在中等应力水平时，应同时考虑损伤和蠕变变形。此外， Broberg2.引和Hult2.1还对式(2.3.19)进行了修正，考虑了瞬态 加载时引起的应变和损伤的瞬间增加。 图2.5三种情况下的蠕变断裂时间2.刃 2.4一维蠕变损伤结构的承载能力分析 2.4.1蠕变断裂的两个阶段 在蠕变损伤情况下，如果结构中的应力场是均匀的，损伤也均 匀发展，当损伤达到临界值时，结构发生瞬态断裂。如果应力场不均 匀，则结构的断裂经历两个阶段。第一阶段称为断裂孕育阶段，所经 历的时间为0≤t≤t,结构内诸点的损伤因子均小于其断裂临界 值。在时刻，结构中某一点（或某一区域）的损伤达到临界值而发 生局部断裂。第二阶段称为断裂扩展阶段，t≥，弥散的微裂纹汇 合成宏观裂纹，宏观裂纹在结构中扩展直至结构的完全破坏。 在断裂扩展阶段，结构中存在两种区域（图2.6），其一是损 伤尚未达到临界值的区域V:,其二是损伤已经达到临界值的区域 V2。前者仍然承受载荷，而后者已完全丧失承载能力。两个区域的 交界面称为断裂前缘Σ。断裂前缘Σ是可动的，V2即是Σ所扫过 的区域。在∑上，恒有ω=Q,此处取Q=1，因此在∑上有 ·21·
式( 2.3.10) ; 应力较小时, 可以采用忽略蠕变变形的式( 2.3.25) ; 在中 等 应 力 水 平 时, 应 同 时 考 虑 损 伤 和 蠕 变 变 形。此 外, Broberg [ 2. 5] 和 Hult [ 2.7 ] 还对式( 2.3.19) 进行了修正, 考虑了瞬态 加载时引起的应变和损伤的瞬间增加。 图 2.5 三种情况下的蠕变断裂时间[ 2.7] 2.4 一维蠕变损伤结构的承载能力分析 2.4.1 蠕变断裂的两个阶段 在蠕变损伤情况下, 如果结构中的应力场是均匀的, 损伤也均 匀发展, 当损伤达到临界值时, 结构发生瞬态断裂。如果应力场不均 匀, 则结构的断裂经历两个阶段。第一阶段称为断裂孕育阶段, 所经 历的时间为 0 ≤ t ≤ tI , 结构内诸点的损伤因子均小于其断裂临界 值。在 tI 时刻, 结构中某一点( 或某一区域) 的损伤达到临界值而发 生局部断裂。第二阶段称为断裂扩展阶段, t ≥ tI , 弥散的微裂纹汇 合成宏观裂纹, 宏观裂纹在结构中扩展直至结构的完全破坏。 在断裂扩展阶段, 结构中存在两种区域 ( 图 2.6) , 其一是损 伤尚未达到临界值的区域 V1 , 其二是损伤已经达到临界值的区域 V2。前者仍然承受载荷, 而后者已完全丧失承载能力。两个区域的 交界面称为断裂前缘 Σ。断裂前缘 Σ是可动的, V2 即是 Σ所扫过 的 区 域 。在 Σ上 , 恒 有 ω= ωc , 此 处 取 ωc = 1 , 因 此 在 Σ上 有 ·21·
d心-e+od=0 dt t'u dt (2.4.1) 式中u为断裂前缘沿扩展方向的距离。 图2.6蠕变损伤结构的断裂 采用式(2.3.5)中的损伤演化方程，对于任意一点P,其应力 为(t),将式(2.3.5)改写为 (1-)'dω=C[qt)]dt (2.4.2) 积分此式并利用初始条件(0)=0，得到 w=1.1.C(4〔q]ar (2.4.3) 令⊙=1，即得到在t时刻，损伤前缘应满足如下的方程 c(4,[q]a=1 (2.4.4) 将式(2.4.3)代入方程(2.4.1)，得到损伤前缘Σ的运动方程 为 出=.【a0fl1at (2.4.5) 式中下标Σ表示在断裂前缘上取值。 在应力均匀的情况下，式(2.4.5)的右端为无穷大，因此，一旦 某一点处达到了损伤临界值，结构将发生瞬态断裂。 ·22·
dω dt = ω t + ω u du dt = 0 ( 2.4.1) 式中 u 为断裂前缘沿扩展方向的距离。 图 2.6 蠕变损伤结构的断裂 采用式( 2.3.5) 中的损伤演化方程, 对于任意一点 P , 其应力 为 σ( t) , 将式( 2.3.5) 改写为 ( 1 - ω) ν dω= C[ σ( t) ] ν dt ( 2.4.2) 积分此式并利用初始条件 ω( 0) = 0, 得到 ω= 1 - 1 - C( ν+ ∫1) t 0 [ σ( τ) ] ν dτ 1 ν+ 1 ( 2.4.3) 令 ω= 1, 即得到在 t 时刻, 损伤前缘应满足如下的方程 C( ν+ ∫1) t 0 [ σ( τ) ] ν dτ= 1 ( 2.4.4) 将式( 2.4.3) 代入方程( 2.4.1) , 得到损伤前缘 Σ的运动方程 为 du dt = - [ σΣ( t) ] ν ∫u t 0 [ σ( τ) ] ν dτ - 1 ( 2.4.5) 式中下标 Σ表示在断裂前缘上取值。 在应力均匀的情况下, 式( 2.4.5) 的右端为无穷大, 因此, 一旦 某一点处达到了损伤临界值, 结构将发生瞬态断裂。 ·22·
2.4.2纯弯梁的蠕变断裂 考虑一矩形纯弯梁的蠕变断裂问题，假设为小应变情况。在断 裂孕育阶段，即0≤t<,每一点的损伤因子均小于其临界值，整 个横截面具有抵抗弯曲的能力，按式(2.3.4)的蠕变律，横截面上 的正应力分布为 0= 4 yo 0 (2.4.6) 式中μ=1/n,M为弯矩，xo和yo为坐标（图2.7），Im为截面的广 义惯性矩 2b u+2h“? (2.4.7) 式中b和h。为梁的宽度和半高。应该指出，在求式(2.4.6)的应力 分布时，没有考虑损伤对应力场的影响，即采用的是全解耦方法。 在yo>0的受拉区内，损伤因子w可由式(2.4.3)确定，而在 受压区内，认为没有损伤发展。最大拉应力ax发生在yo=ho处， 为 (2.4.8) 将上式代入式(2.4.4)，可以求得最大拉应力点达到损伤临界值的 断裂孕育时间为 t=(41)C M Imo ho" (2.4.9) 在t=t时刻，靠近yo=ho的表面层内开始出现断裂区。此 后，断裂前缘∑向梁的内部扩展，如图2.7所示。假设当t>t时， 断裂层的厚度为26承载面的中心移至0点，选取新坐标系x,y, 剩余承载面的高度为2h,显然有h=h。-6。此时，应力分布变为 0= (2.4.10) ·23·
2.4.2 纯弯梁的蠕变断裂 考虑一矩形纯弯梁的蠕变断裂问题, 假设为小应变情况。在断 裂孕育阶段, 即 0 ≤ t < tI , 每一点的损伤因子均小于其临界值, 整 个横截面具有抵抗弯曲的能力, 按式( 2.3.4) 的蠕变律, 横截面上 的正应力分布为 σ= M I m0 y μ 0 y 0 > 0 ( 2.4.6) 式中 μ= 1/ n, M 为弯矩, x 0 和 y0 为坐标( 图 2.7) , I m0 为截面的广 义惯性矩 I m 0 = 2b μ+ 2 h μ+ 2 0 ( 2.4.7) 式中 b 和 h0 为梁的宽度和半高。应该指出, 在求式( 2.4.6) 的应力 分布时, 没有考虑损伤对应力场的影响, 即采用的是全解耦方法。 在 y 0 > 0 的受拉区内, 损伤因子 ω可由式( 2.4.3) 确定, 而在 受压区内, 认为没有损伤发展。最大拉应力 σma x 发生在 y 0 = h0 处, 为 σma x = M I m 0 h μ 0 ( 2.4.8) 将上式代入式( 2.4.4) , 可以求得最大拉应力点达到损伤临界值的 断裂孕育时间为 tI = ( ν+ 1) C M I m 0 ν h μν 0 - 1 ( 2.4.9) 在 t = tI 时刻, 靠近 y 0 = h0 的表面层内开始出现断裂区。此 后, 断裂前缘 Σ向梁的内部扩展, 如图 2.7 所示。假设当 t > tI 时, 断裂层的厚度为 2δ, 承载面的中心移至 o 点, 选取新坐标系 x , y, 剩余承载面的高度为 2h, 显然有 h = h0 - δ。此时, 应力分布变为 σ= M I m y μ ( 2.4.10) ·23·
图2.7纯弯梁的蠕变破坏2.2 式中的广义惯性矩 Im= _2b u+2h (2.4.11) 随时间逐渐减小，y是到当前中性轴的距离，y=yo+ho-h。设 在t时刻，损伤前缘到达初始坐标为yo的点P，对于P点，y()= 2h(t)-h(9,t≥。由方程(2.4.4)和(2.4.10)，得2.刘 (+1)CM I([2h()-h(]d=1 (2.4.12) 为了简单起见，假设μ=1，对上式微分，可导出 费(]d+h=0 (2.4.13) 其初始条件为 h(t)=ho (2.4.14) 因此，由式(2.4.13)可知，当t=t时， 业= ho dt= 2t (2.4.15) 再将式(2.4.13)对时间求微分，得到关于h(t)的微分方程 +24a.0h曲=0 dt2 (2.4.16) 对此式积分，并利用初始条件确定积分常数，得到h与时间t的关 ·24·
图 2.7 纯弯梁的蠕变破坏[ 2.2] 式中的广义惯性矩 I m = 2b μ+ 2 h μ+ 2 ( 2.4.11) 随时间逐渐减小, y 是到当前中性轴的距离, y = y 0 + h0 - h。设 在 t 时刻, 损伤前缘到达初始坐标为 y 0 的点 P , 对于 P 点, y( τ) = 2h( t) - h( τ) , t ≥ τ。由方程( 2.4.4) 和( 2.4.10) , 得[ 2 .2] ( ν+ 1) CM∫ν t 0 I - ν m ( τ) [ 2h( t) - h( τ) ] μν dτ= 1 ( 2.4.12) 为了简单起见, 假设 μν= 1, 对上式微分, 可导出 dh∫dt t 0 [ h ( τ) ] - 1- 2n dτ+ 1 2 h - 2n = 0 ( 2.4.13) 其初始条件为 h( tI ) = h0 ( 2.4.14) 因此, 由式( 2.4.13) 可知, 当 t = tI 时, dh dt = - h0 2tI ( 2.4.15) 再将式( 2.4.13) 对时间求微分, 得到关于 h( t) 的微分方程 d 2 h dt 2 + 2( n - 1) 1 h dh dt 2 = 0 ( 2.4.16) 对此式积分, 并利用初始条件确定积分常数, 得到 h 与时间 t 的关 ·24·