图2.3应力与应变、损伤的关系 如图2.3（心）所示。当应力达到年时材料发生断裂。由0， 可得 G= D 4 (2.2.9) 因此，损伤模量D是材料断裂强度的4倍。若不考虑材料的损伤， 即D=∞，则g=∞。 如果采用Broberg定义的对数损伤，即 0=In A (2.2.10) A 则式(2.2.5)和(2.2.8)变成 exp (2.2.11) o=E exp Ee D (2.2.12) 对数损伤的变化范围为0≤ω≤∞。仍采用式(2.2.7)，类似于式 (2.2.9),得到断裂应力和损伤模量的关系为 q=D (2.2.13) e 如果既采用对数损伤，又采用对数应变，即 A w=In (2.2.14) A 。15·
图 2.3 应力与应变、损伤的关系 如图 2.3( c) 所示。当应力 σ达到 σ″ F 时材料发生断裂。由 dσ dε = 0, 可得 σ″ F = D 4 ( 2.2.9) 因此, 损伤模量 D 是材料断裂强度的 4 倍。若不考虑材料的损伤, 即 D = ∞, 则 σ″ F = ∞。 如果采用 Broberg 定义的对数损伤, 即 ω= ln A A ( 2.2.10) 则式( 2.2.5) 和( 2.2.8) 变成 σ= σexpω ( 2.2.11) σ= E εexp - E ε D ( 2.2.12) 对数损伤的变化范围为 0 ≤ ω≤ ∞。仍采用式( 2.2.7) , 类似于式 ( 2.2.9) , 得到断裂应力和损伤模量的关系为 σ ″ F = D e ( 2.2.13) 如果既采用对数损伤, 又采用对数应变, 即 ε= ln l l 0 , ω= ln A A ( 2.2.14) ·15·
对于不可压缩材料，有 0= oexp(+ (2.2.15) 式中=P/A。是名义应力，此时名义断裂应力为 ED e(E+D) (2.2.16) 以上讨论的是两种极端情况下材料的断裂应力。实际上，材料 既具有有限的表面能密度，同时又有损伤。 2.2.3有损伤且表面能密度有限的情况 应变和损伤变量依赖于有效应力的关系仍采用式(2.2.7)，且 假定变形是完全可逆的，而损伤是完全不可逆的，如图2.3所示 图中表示断裂时的应变值，表示临界损伤因子，年表示断裂 时的有效应力。，与q之间的关系为 E E(1-4) (2.2.17) 年 D(1-4) (2.2.18) D 因此，为断裂所提供的应变能为 U=4bAU 2bA g (2.2.19) 2b9)2 E(1-) 将式(2.2.4)和式(2.2.19)代入断裂时的能量条件，得断裂应力为 E(1-) (2.2.20) b 由式(2.2.18)和(2.2.20)联立求解，可得到断裂应力g与损伤变量 。这样求出的q显然低于式(2.2.1)中的年，也应该低于式 (2.2.16)中的4，否则应采用式(2.2.16)中的g作为断裂应力值。 ·16·
对于不可压缩材料, 有 σ= σ0 exp( ε+ ω) ( 2.2.15) 式中 σ0 = P / A0 是名义应力, 此时名义断裂应力为 σ ″ F = E D e( E + D) ( 2.2.16) 以上讨论的是两种极端情况下材料的断裂应力。实际上, 材料 既具有有限的表面能密度, 同时又有损伤。 2.2.3 有损伤且表面能密度有限的情况 应变和损伤变量依赖于有效应力的关系仍采用式( 2.2.7) , 且 假定变形是完全可逆的, 而损伤是完全不可逆的, 如图 2.3 所示。 图中 εF 表示断裂时的应变值, ωF 表示临界损伤因子, σF 表示断裂 时的有效应力。εF , ωF 与 σF 之间的关系为 εF = σF E = σF E ( 1 - ωF ) ( 2.2.17) ωF = σF D = σF D( 1 - ωF ) ( 2.2.18) 因此, 为断裂所提供的应变能为 U = 4bAU = 2bAσFεF = 2b( σF ) 2 E ( 1 - ωF ) ( 2.2.19) 将式( 2.2.4) 和式( 2.2.19) 代入断裂时的能量条件, 得断裂应力为 σF = γE ( 1 - ωF ) b ( 2.2.20) 由式( 2.2.18) 和( 2.2.20) 联立求解, 可得到断裂应力 σF 与损伤变量 ωF。这样求出的 σF 显然低于式( 2.2.1) 中的 σ′ F , 也应该低于式 ( 2.2.16) 中的 σ ″ F , 否则应采用式( 2.2.16) 中的 σ ″ F 作为断裂应力值。 ·16·
2.3一维蠕变损伤理论 Kachanov损伤模型最初是在分析金属材料受单向拉伸的蠕 变脆性断裂问题时提出的22)，这一模型很快得到人们的重视， 并得以发展和应用2~2.1。对于高温下的金属，在载荷较大和较 小的情况下，其断裂行为是不同的。当载荷较大时，试件伸长，横截 面面积减小，从而引起应力单调增长，直至材料发生延性断裂，对 应的细观机制为金属晶粒中微孔洞长大引起的穿晶断裂。当载荷 较小时，试件的伸长很小，横截面面积基本上保持常数，但材料内 部的晶界上仍然产生微裂纹和微孔洞，其尺寸随时间长大，最终汇 合成宏观裂纹，导致材料的晶间脆性断裂。 设试件在加载之前的初始横截面面积为A,加载后外观横截 面面积减小为A,有效的承载面积为A=A(1-。,则名义应力 a、Cauchy应力a有效应力o分别定义为 (2.3.1) 0= E (2.3.2) A F 0= A(1- ，⊙ (2.3.3) A 忽略弹性变形，在考虑损伤情况下蠕变律假设为 de=B dt (2.3.4) 式中e为总应变，B和n为材料常数。在无损情况下，o=g式 (2.3.4)常称为Norton律。在研究蠕变损伤时，还必须建立损伤 的演化方程，即建立损伤演化率dddt与哪些力学量相关联的关 系。对于一些简单的情形，可以假设演化率方程也具有指数函数的 形式， ·17·
2.3 一维蠕变损伤理论 Kachanov 损伤模型最初是在分析金属材料受单向拉伸的蠕 变脆性断裂问题时提出的 [ 2. 1, 2 .2] , 这一模型很快得到人们的重视, 并得以发展和应用[ 2. 7～ 2.13 ] 。对于高温下的金属, 在载荷较大和较 小的情况下, 其断裂行为是不同的。当载荷较大时, 试件伸长, 横截 面面积减小, 从而引起应力单调增长, 直至材料发生延性断裂, 对 应的细观机制为金属晶粒中微孔洞长大引起的穿晶断裂。当载荷 较小时, 试件的伸长很小, 横截面面积基本上保持常数, 但材料内 部的晶界上仍然产生微裂纹和微孔洞, 其尺寸随时间长大, 最终汇 合成宏观裂纹, 导致材料的晶间脆性断裂。 设试件在加载之前的初始横截面面积为 A0 , 加载后外观横截 面面积减小为 A, 有效的承载面积为 A = A( 1 - ω) , 则名义应力 σ0、Cau chy 应力 σ、有效应力 σ分别定义为 σ0 = F A0 ( 2.3.1) σ= F A ( 2.3.2) σ= F A = F A( 1 - ω) = σ 1 - ω ( 2.3.3) 忽略弹性变形, 在考虑损伤情况下蠕变律假设为 dε dt = Bσn ( 2.3.4) 式中 ε为总应变, B 和 n 为材料常数。在无损情况下, σ= σ, 式 ( 2.3.4) 常称为 Norton 律。在研究蠕变损伤时, 还必须建立损伤 的演化方程, 即建立损伤演化率 dω/ dt 与哪些力学量相关联的关 系。对于一些简单的情形, 可以假设演化率方程也具有指数函数的 形式, ·17·
do=Co=C1. 0 (2.3.5) dt 式中C和为材料常数。设名义应力⑦保持不变，则由材料的体积 不可压缩条件AL=AL0,有效应力表示为 0 0A0 L 0= 1-0 A(1- L0(1- 1- wexp e (2.3.6) 下面分三种情况讨论金属材料的蠕变断裂。 2.3.1无损延性断裂 不考虑损伤（即ω≡0）的情况下，式(2.3.6)简化为 o=dexp e (2.3.7) 代入式(2.3.4)，得 de=B dexp(n (2.3.8) dt 对此式积分，并利用初始条件0)=0，得 t)= Lin(1-nB dt) （2.3.9) 延性蠕变断裂的条件为e=∞，于是得到延性蠕变断裂的时间为 1 tRH nB d (2.3.10) 这个表达式最初是由Hoff于1953年导出的2.1。 2.3.2有损伤无变形的脆性断裂 不考虑变形（即e三0）的情况下，A=A,式(2.3.6)中的有 效应力简化为 0三 (2.3.11) 1-0 代入式(2.3.5)中的损伤演化方程，得 do=C(1-' dt (2.3.12) ·18·
dω dt = Cσν = C σ 1 - ω ν ( 2.3.5) 式中 C 和 ν为材料常数。设名义应力 σ0 保持不变, 则由材料的体积 不可压缩条件 AL = A0L0 , 有效应力表示为 σ= σ 1 - ω = σ0A0 A( 1 - ω) = σ0L L0 ( 1 - ω) = σ0 1 - ω expε ( 2.3.6) 下面分三种情况讨论金属材料的蠕变断裂。 2.3.1 无损延性断裂 不考虑损伤( 即 ω≡ 0) 的情况下, 式( 2.3.6) 简化为 σ= σ0 expε ( 2.3.7) 代入式( 2.3.4) , 得 dε dt = Bσn 0 exp( nε) ( 2.3.8) 对此式积分, 并利用初始条件 ε( 0) = 0, 得 ε( t) = - 1 n ln( 1 - nBσn 0 t) ( 2.3.9) 延性蠕变断裂的条件为 ε= ∞, 于是得到延性蠕变断裂的时间为 tR H = 1 nBσ n 0 ( 2.3.10) 这个表达式最初是由 Hoff 于 1953 年导出的 [ 2 .8] 。 2.3.2 有损伤无变形的脆性断裂 不考虑变形( 即 ε≡ 0) 的情况下, A = A0 , 式( 2.3.6) 中的有 效应力简化为 σ= σ0 1 - ω ( 2.3.11) 代入式( 2.3.5) 中的损伤演化方程, 得 dω dt = Cσ ν 0 ( 1 - ω) ν ( 2.3.12) ·18·
对此式积分，并利用初始条件(0)=0，得 w=1-1-(41)Ct (2.3.13) 设损伤脆性断裂的条件为®=Q=1,于是得脆性断裂的时间为 tRK (41)CG (2.3.14) 这个表达式是Kachanov于1958年导出的2."。 2.3.3同时考虑损伤和变形 类似于对数应变的定义 de= dA L A (2.3.15) 采用如下形式的损伤定义2列 dAn dω= An (2.3.16) 式中A。为假想的有效承载面积，其定义为 0= E (2.3.17) 于是式(2.3.6)中的有效应力改写为 o=aexp(8+ (2.3.18) 由式(2.3.4)，(2.3.5)和(2.3.18)，得到如下关于有效应力o的控 制方程 d --Bd-Co= da odt (2.3.19) adt 任意给定加载历史(t),即可由上式得到有效应力的变化 过程q(t)。例如，对于如图2.4所示的Heaviside型加载历史，在 0-1段，有 do=- (2.3.20) 由此得到 ·19·
对此式积分, 并利用初始条件 ω( 0) = 0, 得 ω= 1 - 1 - ( ν+ 1) Cσ ν 0 t 1 ν+ 1 ( 2.3.13) 设损伤脆性断裂的条件为 ω= ωc = 1, 于是得脆性断裂的时间为 tRK = 1 ( ν+ 1) Cσν 0 ( 2.3.14) 这个表达式是 Kachanov 于 1958 年导出的 [ 2.1 ] 。 2.3.3 同时考虑损伤和变形 类似于对数应变的定义 dε= dL L = - dA A ( 2.3.15) 采用如下形式的损伤定义[ 2. 7] dω= - dAn An ( 2.3.16) 式中 An 为假想的有效承载面积, 其定义为 σ= F An ( 2.3.17) 于是式( 2.3.6) 中的有效应力改写为 σ= σ0 exp( ε+ ω) ( 2.3.18) 由式( 2.3.4) , ( 2.3.5) 和( 2.3.18) , 得到如下关于有效应力 σ的控 制方程 dσ σdt - Bσ n - Cσ ν = dσ0 σ0 dt ( 2.3.19) 任意给定加载历史 σ0 ( t) , 即可由上式得到有效应力的变化 过程 σ( t) 。例如, 对于如图 2.4 所示的 Heaviside 型加载历史, 在 0-1 段, 有 1 σ dσ= 1 σ0 dσ0 ( 2.3.20) 由此得到 ·19·