第2章一维损伤理论 2.1一维损伤状态的描述 在外部因素（包括力、温度、辐射等）的作用下，材料内部将形 成大量的微观缺陷（如微裂纹和微孔洞），这些微缺陷的形核、扩展 (或胀大)、汇合将造成材料的逐渐劣化直至破坏。从本质上讲，这 些微缺陷是离散的，但作为一种简单的近似，在连续损伤力学中， 所有的微缺陷被连续化，它们对材料的影响用一个或几个连续的 内部场变量来表示，这种变量称为损伤变量。 1958年，在一篇具有里程碑意义的文献中2.”，Kachanov提 出用连续度的概念来描述材料的逐渐衰变。从而，材料中复杂的、 离散的衰坏耗散过程得以用一个简单的连续变量来模拟。这样处 理，虽然一定程度上牺牲了材料行为模拟的准确性，但却换来了计 算的简便。更为重要的是，Kachanoy损伤理论推动了损伤力学的 建立和发展，此后众多的损伤模型的形成都不同程度上借鉴了 Kachanov损伤模型的思想。因此，Kach anov的工作2.12.对于损 伤力学的重要性就如同Griffith的工作对于断裂力学的重要性。 考虑一均匀受拉的直杆（图2.1），认为材料劣化的主要机制 是由于微缺陷导致的有效承载面积的减小。设其无损状态时的横 截面面积为A,损伤后的有效承载面积减小为A,则连续度中的 物理意义为有效承载面积与无损状态的横截面面积之比，即 = A (2.1.1) ·10·
第2 章 一 维 损 伤 理 论 2.1 一维损伤状态的描述 在外部因素( 包括力、温度、辐射等) 的作用下, 材料内部将形 成大量的微观缺陷( 如微裂纹和微孔洞) , 这些微缺陷的形核、扩展 ( 或胀大) 、汇合将造成材料的逐渐劣化直至破坏。从本质上讲, 这 些微缺陷是离散的, 但作为一种简单的近似, 在连续损伤力学中, 所有的微缺陷被连续化, 它们对材料的影响用一个或几个连续的 内部场变量来表示, 这种变量称为损伤变量。 1958 年, 在一篇具有里程碑意义的文献中 [ 2. 1] , Kachanov 提 出用连续度的概念来描述材料的逐渐衰变。从而, 材料中复杂的、 离散的衰坏耗散过程得以用一个简单的连续变量来模拟。这样处 理, 虽然一定程度上牺牲了材料行为模拟的准确性, 但却换来了计 算的简便。更为重要的是, Kachanov 损伤理论推动了损伤力学的 建立和发展, 此后众多的损伤模型的形成都不同程度上借鉴了 Kachanov 损伤模型的思想。因此, Kach an ov 的工作[ 2.1 , 2. 2] 对于损 伤力学的重要性就如同 Griffit h 的工作对于断裂力学的重要性。 考虑一均匀受拉的直杆( 图 2.1) , 认为材料劣化的主要机制 是由于微缺陷导致的有效承载面积的减小。设其无损状态时的横 截面面积为 A , 损伤后的有效承载面积减小为 A , 则连续度 ψ的 物理意义为有效承载面积与无损状态的横截面面积之比, 即 ψ= A A ( 2.1.1) ·10·
显然，连续度中是一个无量纲的标量场变量，=1对应于完全没 有缺陷的理想材料状态，中=0对应于完全破坏的没有任何承载 能力的材料状态。 图2.1单拉试件的损伤 将外加载荷F与有效承载面积A之比定义为有效应力·，即 0三 E=9 (2.1.2) A 式中o=F/A为Cauchy应力。连续度是单调减小的，假设当中达 到某一临界值时，材料发生断裂，于是材料的破坏条件表示为 功=业 (2.1.3) Kachonov取业=0，但实验表明对于大部分金属材料，0.2≤也 ≤0.8。关于Kachanov对蠕变断裂问题的分析方法将在本章第 3,4节给出。 1963年，著名力学家Rabotnov同样在研究金属的蠕变本构 方程问题时建议用损伤因子23,2. 0=1-h （2.1.4) 描述损伤。对于完全无损状态，⊙=0；对于完全丧失承载能力的 状态，ω=1。由式(2.1.1)和(2.1.4)，可得 0= A-A A (2.1.5) 于是，有效应力o与损伤因子的关系为 。11·
显然, 连续度 ψ是一个无量纲的标量场变量, ψ= 1 对应于完全没 有缺陷的理想材料状态, ψ= 0 对应于完全破坏的没有任何承载 能力的材料状态。 图 2.1 单拉试件的损伤 将外加载荷 F 与有效承载面积 A 之比定义为有效应力 σ, 即 σ= F A = σ ψ ( 2.1.2) 式中 σ= F / A 为 Cauchy 应力。连续度是单调减小的, 假设当 ψ达 到某一临界值 ψc 时, 材料发生断裂, 于是材料的破坏条件表示为 ψ= ψc ( 2.1.3) Kachonov 取 ψc = 0, 但实验表明对于大部分金属材料, 0.2 ≤ ψc ≤ 0.8。关于 Kachanov 对蠕变断裂问题的分析方法将在本章第 3, 4 节给出。 1963 年, 著名力学家 Rabotnov 同样在研究金属的蠕变本构 方程问题时建议用损伤因子 [ 2. 3, 2. 4] ω= 1 - ψ ( 2.1.4) 描述损伤。对于完全无损状态, ω= 0 ; 对于完全丧失承载能力的 状态, ω= 1。由式( 2.1.1) 和( 2.1.4) , 可得 ω= A - A A ( 2.1.5) 于是, 有效应力 σ与损伤因子的关系为 ·11·
0 0= 1-0 (2.1.6) 我们还可以采用如下的损伤变量定义 Φ= (2.1.7) 此时，有效应力表示为 0=σΦ (2.1.8) Broberg将损伤变量定义为2.) A a=In- (2.1.9) A 当A与A比较接近时，由式(2.1.9)得到的损伤变量与式(2.1.5) 近似相等。Broberg定义的优点在于加载过程中的损伤是可以叠 加的。例如，假设面积是分两步减缩的，首先有效承载面积从A减 缩为A',然后再减缩为A,在这两步中的损伤分别为 A A' B In (B2 In (2.1.10) A 于是，总的损伤为 A 站=ln一=1+电2 (2.1.11) A 利用式(2.1.2)和(2.1.9)，得 0= exp aB (2.1.12) 对于不可压缩材料，直杆的拉伸应变为 (2.1.13) 式中A。和L。为加载前的横截面面积和长度，A和L为变形后的 横截面面积和长度。于是名义应力为 cexp(- (2.1.14) 由式(2.1.12)和(2.1.14)，得 o-aexp(E+ (2.1.15) ·12·
σ= σ 1 - ω ( 2.1.6) 我们还可以采用如下的损伤变量定义 Φ= 1 ψ = 1 1 - ω ( 2.1.7) 此时, 有效应力表示为 σ= σΦ ( 2.1.8) Broberg 将损伤变量定义为[ 2. 5] ωB = ln A A ( 2.1.9) 当 A 与 A 比较接近时, 由式( 2.1.9) 得到的损伤变量与式( 2.1.5) 近似相等。Broberg 定义的优点在于加载过程中的损伤是可以叠 加的。例如, 假设面积是分两步减缩的, 首先有效承载面积从 A 减 缩为 A′, 然后再减缩为 A , 在这两步中的损伤分别为 ωB1 = ln A A′ , ωB2 = ln A′ A ( 2.1.10) 于是, 总的损伤为 ωB = ln A A = ωB 1 + ωB2 ( 2.1.11) 利用式( 2.1.2) 和( 2.1.9) , 得 σ= σexpωB ( 2.1.12) 对于不可压缩材料, 直杆的拉伸应变为 ε= ln L L0 = ln A0 A ( 2.1.13) 式中 A0 和 L0 为加载前的横截面面积和长度, A 和 L 为变形后的 横截面面积和长度。于是名义应力为 σ0 = σexp( - ε) ( 2.1.14) 由式( 2.1.12) 和( 2.1.14) , 得 σ= σ0 exp( ε+ ωB ) ( 2.1.15) ·12·
2.2损伤对材料强度的影响 Janson和Hult2.62.”最早提出将奇异缺陷方法与分布缺陷方 法相结合，即将线弹性断裂力学与连续损伤力学相结合，并讨论了 一个简单的问题—损伤对材料的理论拉伸强度的影响。 2.2.1无损伤且表面能密度有限的情况 设材料为无损伤的线弹性晶体材料，其理论拉伸断裂强度④ 的表达式为 q= E (2.2.1) b 式中E为杨氏模量，b为晶格间距，Y为表面能密度。该公式推导 过程如下：假设一直杆两端承受均匀的拉伸应力σ（如图2.2所 示)，在断裂前的应变能密度为 U=9) (2.2.2) 2E 图2.2受拉直杆的断裂 在材料断裂时，所需的表面能由两个断裂面附近所储藏的应 ·13·
2.2 损伤对材料强度的影响 Janson 和 Hult [ 2. 6, 2 .7] 最早提出将奇异缺陷方法与分布缺陷方 法相结合, 即将线弹性断裂力学与连续损伤力学相结合, 并讨论了 一个简单的问题—— 损伤对材料的理论拉伸强度的影响。 2.2.1 无损伤且表面能密度有限的情况 设材料为无损伤的线弹性晶体材料, 其理论拉伸断裂强度 σ′ F 的表达式为 σ ′ F = γE b ( 2.2.1) 式中 E 为杨氏模量, b 为晶格间距, γ为表面能密度。该公式推导 过程如下: 假设一直杆两端承受均匀的拉伸应力 σ( 如图 2.2 所 示) , 在断裂前的应变能密度为 U = ( σ′ F ) 2 2E ( 2.2.2) 图 2.2 受拉直杆的断裂 在材料断裂时, 所需的表面能由两个断裂面附近所储藏的应 ·13·
变能提供。由于原子间力的作用范围是晶格间距b的数量级，提供 此能量的区域深度也应是b的量级。往往假设在断裂表面两侧提 供表面能的深度各为2b,即提供应变能的整个区域深度为4b,它 所提供的应变能为 U=4bAU= 2A(年)2 （2.2.3) E 式中A为杆的横截面面积。沿横截面出现一对断裂表面所需的能 量为 W=2YA （2.2.4) 由能量条件U=W,即得理论断裂强度q的式(2.2.1)。 这个问题早在1920年就由著名力学家Griffith研究过。式 (2.2.1)考虑了表面能密度，但假设材料不存在任何缺陷或损伤， 而实际上这是不可能的，实验结果发现实际的材料强度与￠相差 甚远，一般只达到年的几十分之一。 2.2.2有损伤但表面能密度为无穷大的情况 这是材料的另一种极端情况。有效应力σ表示为 0 0= 1-0 (2.2.5) 式中损伤变量o定义为式(2.1.5)，0≤w≤1。设应变ε和损伤变 量®依赖于有效应力的关系为 =G(), w=g() (2.2.6) 为简单起见，假设式(2.2.6)均为线性函数，即 e- w=8 （2.2.7) 式中D称为损伤模量，如图2.3(a)和(b)所示。式(2.2.6)中第二 式对单调加载成立，卸载时o保持不变。对于无损材料，D=∞。 由式(2.2.5)和(2.2.7)，可得应力应变关系如下 0=1-9=Ee1:6 （2.2.8) ·14·
变能提供。由于原子间力的作用范围是晶格间距 b 的数量级, 提供 此能量的区域深度也应是 b 的量级。往往假设在断裂表面两侧提 供表面能的深度各为 2b, 即提供应变能的整个区域深度为 4b, 它 所提供的应变能为 U = 4bAU = 2A( σ′ F ) 2 E ( 2.2.3) 式中 A 为杆的横截面面积。沿横截面出现一对断裂表面所需的能 量为 W = 2γA ( 2.2.4) 由能量条件 U = W, 即得理论断裂强度 σ ′ F 的式( 2.2.1) 。 这个问题早在 1920 年就由著名力学家 Griffith 研究过。式 ( 2.2.1) 考虑了表面能密度, 但假设材料不存在任何缺陷或损伤, 而实际上这是不可能的, 实验结果发现实际的材料强度与 σ′ F 相差 甚远, 一般只达到 σ ′ F 的几十分之一。 2.2.2 有损伤但表面能密度为无穷大的情况 这是材料的另一种极端情况。有效应力 σ表示为 σ= σ 1 - ω ( 2.2.5) 式中损伤变量 ω定义为式( 2.1.5) , 0 ≤ ω≤ 1。设应变 ε和损伤变 量 ω依赖于有效应力的关系为 ε= G( σ) , ω= g ( σ) ( 2.2.6) 为简单起见, 假设式( 2.2.6) 均为线性函数, 即 ε= σ E , ω= σ D ( 2.2.7) 式中 D 称为损伤模量, 如图 2.3( a) 和( b) 所示。式( 2.2.6) 中第二 式对单调加载成立, 卸载时 ω保持不变。对于无损材料, D = ∞ 。 由式( 2.2.5) 和( 2.2.7) , 可得应力应变关系如下 σ= σ( 1 - ω) = E ε1 - E ε D ( 2.2.8) ·14·