《数学分析》课程教学资源（试题集锦）总练习题提示与解答

(1)imnq"=0qk1);(2)mn 0(a≥1):(3)lmny 设q 1+h (2)先证lm蚂n=0 (3)VE>0,试证彐N,m>N,<E,设M=-,即M 3.设lma.=a,证明: (1)m4+a+…+a=a(又问由此等式能否反过来推出ma=a); (2)若an>0n=12,…),则ima1a2…an=a 证(1)因为man=a,于是VE>03N,W>N时,{a-an E ≤ 当N1固定,取n充分大,n>N2时 <5,于是当n>N=maxN1,N2}时 E 8 即lina+a2+…+an=a 反之不必然,例如an=(-1),n}发散,但是ma+a2++a=0 注所证结论可作为§2范例5中施笃茨定理的推论 (2)若a=0,因为 0≤{a1a2…a ≤a+a2+…+an 令n→∞,由(1)有m4a++a=0,应用迫敛性,有ma2…an=0 若a>0,因为iman=a,所以lm=-又因为a,>0(i=1,2,…,n),利用不等式(其证明见 教材第六章§5习题8(1))

（1） lim 0(| | 1) 2 =  → n q q n n ；（2） 0( 1) lg lim =  →   n n n ；（3） lim ! = 0 → n n n . 提示 （1）设 , 0 1 1  + = h h q . （2）先证 0 lg lim = → n n n . （3）   0 ，试证 , ! 1  ,  ,   n n N n N 设  1 M = ，即 1 !  n M n . 3．设 an a n = → lim ，证明： （1） a n a a an n = + + + → 1 2  lim （又问由此等式能否反过来推出 an a n = → lim ）； （2）若 a  0(n =1,2, ) n ，则 a a a a n n n = → lim 1 2  . 证 （1）因为 an a n = → lim ，于是 1 1   0,N ,n  N 时， 2 | |  an − a  . a n a a an − 1 + 2 ++ ≤ n a1 − a ++ aN − a + aN +1 − a ++ an − a 1 2 ≤ 2 1 1 1   − + − + + − n n N n a a  aN a . 当 N1 固定，取 n 充分大， n  N2 时 2 1 1   − + + − n a a  aN a ，于是当 n  N = maxN1 , N2  时 a n a a an − 1 + 2 ++ ≤    + = 2 2 . 即 a n a a an n = + + + → 1 2  lim . 反之不必然，例如  n  n an = (−1) , a 发散，但是 lim 0 1 2 = + + + → n a a an n  . 注 所证结论可作为§2 范例 5 中施笃茨定理的推论. （2）若 a = 0 ，因为 0≤ n a1a2 an ≤ n a1 + a2 ++ an ， 令 n→ ，由（1）有 lim 0 1 2 = + + + → n a a an n  ，应用迫敛性，有 lim 1 2 = 0 → n n n a a a . 若 a  0 ，因为 an a n = → lim ，所以 n an a 1 1 lim = → .又因为 a 0(i 1,2, , n) i  =  ，利用不等式（其证明见 教材第六章§5 习题 8（1））

≤a1a2…an≤ a1+a2+…+an 于是有 lim taz¨+a n lim 由迫敛性证得 imya1a2…an=a 注上述结论也可以利用指数函数连续性和(1)来证明 1+ (2)ima=1(a>0):(提示:a1=a,a,=1(1≥2) (3)lmVh=1:(4)lm (5)lm=e:(提示:在题3(2)中取an=1+1 √n 1+√2+√3+…+n (6) lim a2>0,.则如= (7)若 lim ml (8)若lm(an-an1)=d,则加man=d 证明:若{n}为递增数列,{bn}为递减数列,且lm(an-bn)=0 则man与mb都存在且相等 提示证明{an},{n}为有界数列 6.设数列{an}满足:存在正数M,对一切n,有 A=a2-a1|+|a3-a2|+…+|an-an1|≤M 证明:数列{an}与{4}都收敛

a a an n 1 1 1 1 2 + ++ ≤ n a1a2 an ≤ n a1 + a2 ++ an ， 于是有 a n a a an n = + + + → 1 2  lim ， n n a a a n 1 1 1 lim 1 2 + + + →  = a a n a a an n = = + + + → 1 1 1 1 1 1 lim 1 2  . 由迫敛性证得 a a a a n n n = → lim 1 2  . 注 上述结论也可以利用指数函数连续性和（1）来证明. （1） 0 1 2 1 1 lim = + + + → n n n  ； （2） lim =1(  0) → a a n n ；（提示： , 1( 2) a1 = a ai = i  ） （3） lim =1 → n n n ；（4） 0 ! 1 lim = n→ n n ； （5） e n n n n = → ! lim ；（提示：在题 3（2）中取 n n n a       = + 1 1 ） （6） 1 1 2 3 lim 3 = + + + + → n n n n  ； （7）若 lim ( 0) 1 =  + → n n n n a b b b ，则 b a n n n = → lim ； （8）若 an an d n − − = → lim( ) 1 ，则 d n an n = → lim . 5．证明：若 an  为递增数列， bn  为递减数列，且 lim( − ) = 0 → n n n a b ， 则 n n a → lim 与 n n b → lim 都存在且相等. 提示 证明 an ，bn  为有界数列. 6．设数列 an  满足：存在正数 M，对一切 n ，有 | | AN = a2 − a1 + | | a3 − a2 +…+ | | an − an−1 ≤M. 证明：数列 an  与 A n  都收敛

证因{An}是递增有界数列,由单调有界定理,数列{An}收敛由数列极限的柯西准则(必要性), E>0,N,Vn>N,对任何正整数P,有 <E, n+p n+p-1 I+P-Ia.+tm+lan<a 对数列{n}应用柯西准则(充分性),可知{an}也是收敛的 注满足本题条件的数列称为有界变差数列 为 证Vm,有 √a a. 于是{an}是有下界数列 再证{an}的递减性:Vn,又有 a=an n+1 2(a2)2 由数列极限的单调有界定理,存在iman 在an1=an+中令n→∞,得到l=/a 解出/=±√G并舍去负根,有ma=√G 8.设a1>b1>0,记 b bn

证 因 A n  是递增有界数列，由单调有界定理，数列 A n  收敛.由数列极限的柯西准则（必要性），   0,N,n  N ，对任何正整数 P，有 −   A n+ p A n ， 即 an+ p − an = an+ p − an+ p−1 + an+ p−1 − an+ p−2 ++ an+1 − an ≤ an+ p − an+ p−1 + an+ p−1 − an+ p−2 +…+ an+1 − an  ， 对数列 an  应用柯西准则（充分性），可知 an  也是收敛的. 注 满足本题条件的数列称为有界变差数列. 7．设 , 1,2, 2 1 , 2 1 0, 0, 1 1 =          = +        = + + n a a a a a a a n n n    .证明：数列 an  收敛，且其极限 为  . 证 n, 有         + = + n n n a a a  2 1 1 ≥    = n n a a ，       = + a a a  2 1 1 ≥  ， 于是 an  是有下界数列. 再证 an  的递减性： n ，又有         + = + n n n a a a  2 1 1 =         + 2 1 2 n n a a  ≤       + a an  1 2 = n a 由数列极限的单调有界定理，存在 a l n n = → lim . 在         + = + n n n a a a  2 1 1 中令 n→ ，得到       = + l l l  2 1 ， 解出 l =   并舍去负根，有 =  → n n lim a . 8．设 a1  b1  0 ，记 2 −1 + −1 = n n n a b a ， 1 1 2 1 1 − − − − + = n n n n n a b a b b ， n = 2,3, 

证明:数列{n}与{n}的极限都存在且等于√ab 提示an≥bn 9.按柯西收敛准则叙述数列{an}发散的充要条件,并用它证明下列数列{an}是发散的 (1)an=(-)n:(2)an=n丌:(3)=11 解(1)co=1,N,取n0=N+1,m0=N+2 (2)E0=1,wN,取n=N+1,m0=N+2 n-an|≥5 10.设mnan=a,mbn=b,记 S=max a,, b,bT, =min a,, b,I,n=1,2 证明:(1)lmS=max{an,bn}:(2)lmTn=min{an 提示参考第一章总练习题1的结论 第三章函数极限 求下列极限 (1)im(x-[x])(=1);(2)lm([x]+1)(=) (3)lm(√(a+x)(b+x)-√(a-x)(b-x))=a+b) (=1);(5)li (6) lin 1+x-√1 (7) lim 出(-x1-x),mn为正整数/=m-n 解(7)先设m≥2,n≥2,mn为正整数作变换x=1+y,当x→1时,y→>0,于是有

证明：数列 an  与 bn  的极限都存在且等于 a1b1 . 提示 n a ≥ n b . 9．按柯西收敛准则叙述数列 an  发散的充要条件，并用它证明下列数列 an  是发散的： （1） a n n n = (−1) ；（2） 2 sin n an = ；（3） n an 1 2 1 =1+ ++ . 解 （1）  0 =1,N ，取 n0 = N +1,m0 = N + 2， n0 m0 a − a ≥ 0  . （2）  0 =1,N ，取 n0 = N +1,m0 = N + 2， n0 m0 a − a ≥ 0  . 10．设 an a n = → lim ， bn b n = → lim ，记 S n = maxa n , b n , T n = mina n , b n , n =1,2, . 证明：（1） n  n n  n lim S = max a ,b → ；（2） n  n n  n lim T = min a ,b → . 提示 参考第一章总练习题 1 的结论. 第三章 函数极限 1．求下列极限： （1） lim ( [ ]) ( 1) 3 − = → − x x x ；（2） ) 2 1 lim ([ ] 1) ( 1 1 + = − → + x x ； （3） lim( (a x)(b x) (a x)(b x))( a b) x + + − − − = + → ； （4） lim ( 1) 2 2 = − →+ x a x x ；（5） lim ( 1) 2 2 = − − →− x a x x ； （6）       = + − − + − − → 2 3 1 1 1 1 lim 1 3 3 x x x x x ； （7）       − − → − m n x x n x m 1 1 lim 1 ， m,n 为正整数       − = 2 m n . 解 （7）先设 m ≥2， n ≥2， m,n 为正整数.作变换 x =1+ y ，当 x →1 时， y →0 ，于是有       − − → − m n x x n x m 1 1 lim 1

n -lim (CMy+Cmy2+…+yCmy+C2y2+…+ (mCn-nCm)y+(mC -nCa)y+ (Cy+C2y2+…+y")Cy+C2y2+…+y") +C2y2+…+y") mc--nC- m-n 2 若m≥2,n=1时,令1-x=y cy+cy2+…+y2-y 同理可证m=1,n≥2的情况若m=n=1,易见极限为零.于是当mn为正整数时 2.分别求出满足下述条件的常数a与b: (1)lim b=0 x+1 (2)lim Nvx2-x+I-ax (3)lmn(x2-x+1-ax-b=0 解(1)因为 +1-ax-b(1-a)x2-(a+b)x+(1-b)

=         − + − → − + m n y y n y m 1 (1 ) 1 (1 ) lim 0 =         + + + − + + + − → n n n m M m y C y C y y n C y C y y m 0 1 2 2  1 2 2  lim =         + + + + + + − + − + − → ( )( ) ( ) ( ) lim 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 0 n n n m M m n m n n y C y C y y C y C y y mC nC y mC nC y    =         + + + + + + − + + − → ( )( ) ( ) ( ) lim 1 2 2 1 2 2 2 2 2 3 0 n n n m M m n n y C y C y y C y C y y mC nC y y     = 1 1 2 2 m n n m C C mC − nC − = 2 m − n . 若 m ≥2， n =1 时，令 1− x = y ，       − − → − x n x m m x 1 1 lim 1 =         − + + + − → C y C y y y m m M m y 1 lim 1 2 2 0  =         + + + + + − → C y C y y y C y y m M m m m y ( ) lim 1 2 2 2 2 0   = 1 2 m m C C = 2 m −1 . 同理可证 m =1,n ≥2 的情况.若 m = n =1 ，易见极限为零.于是当 m,n 为正整数时       − − → − x n x m m x 1 1 lim 1 = 2 m − n . 2．分别求出满足下述条件的常数 a 与 b ： （1） 0 1 1 lim 2 =        − − + + →+ ax b x x x ； （2） lim ( 1 ) 0 2 − + − − = →− x x ax b x ； （3） lim ( 1 ) 0 2 − + − − = →+ x x ax b x . 解 （1）因为 ax b x x − − + + 1 1 2 = 1 (1 ) ( ) (1 ) 2 + − − + + − x a x a b x b ， 而 0 1 1 lim 2 =        − − + + →+ ax b x x x