数学实验二: MATLAB在复变函数与积分变换的应用 实验0:复数的运算 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模与辐角。 (1)、1 13i (3) (3+4i)(2-51 3+2i 解:我们可以用复矩阵一次算出。在 Matlab命令窗口中输入 a=[1(3+21),1/-3i/(1-1)(3+4i)*(2-5i)2,^8-4*1^21+i 结果为 0.2308-0.153811.5000-2.5000i-3.5000-13.0000110000-3.0000i real(a) %求实部 ans 0.23081.50003.500010000 g(a) %求虚部 ans -0.15382.5000-13.0000-3.0000 na)%求共轭复数 ans 0.2308+0.153811.5000+2.50001-3.5000+13.0000110000+3.0000i %求模 0.2774291551346293.1623 angle(a)%求辐角 -0.5880-1.0304-1.8338-1.2490 复数的乘除法、复数的平方根、复数的幂,复数的指数和对数、复数的三角函数等运 算就不一一列举了,有兴趣的话可以去学 Mthlab,它里面有详细的介绍。 实验1:微分的计算 设f(=) 求∫(=) (+=)sin= 解:在 Matlab命令窗口中输入 %定义符号变量z f=(exp(z)/((1+z)*sin(z));%定义函数 diff(f) 结果为
数学实验二：MATLAB 在复变函数与积分变换的应用 实验 0：复数的运算 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模与辐角。 （1） i23 1 + （2） i1 i3 i 1 − − （3） i2 + − i)52i)(43( （4） ii4i 218 +− 解：我们可以用复矩阵一次算出。在 Matlab 命令窗口中输入 a=[1/(3+2i),1/i-3i/(1-i),(3+4i)*(2-5i)/2i,i^8-4*i^21+i] 结果为 a = 0.2308 - 0.1538i 1.5000 - 2.5000i -3.5000 -13.0000i 1.0000 - 3.0000i real(a) %求实部 ans = 0.2308 1.5000 -3.5000 1.0000 imag(a) %求虚部 ans = -0.1538 -2.5000 -13.0000 -3.0000 conj(a) %求共轭复数 ans = 0.2308 + 0.1538i 1.5000 + 2.5000i -3.5000 +13.0000i 1.0000 + 3.0000i abs(a) %求模 ans = 0.2774 2.9155 13.4629 3.1623 angle(a) %求辐角 ans = -0.5880 -1.0304 -1.8338 -1.2490 复数的乘除法、复数的平方根、复数的幂，复数的指数和对数、复数的三角函数等运 算就不一一列举了，有兴趣的话可以去学 Mthlab，它里面有详细的介绍。 实验 1：微分的计算 设 zz zf z sin)1( e )( + = ，求 zf )(' 解：在 Matlab 命令窗口中输入 syms z %定义符号变量 z f=(exp(z)/((1+z)*sin(z))); %定义函数 diff(f) 结果为 1
ans- exp(z)/(1+)/sin(z)-exp(z)/(1+z)2/sin(z) exp(z)/(1+z)/sin(z)2*cos(z) 用 pretty化简得: p exp(=)cos(=) (1+=)sin= (1+=)*sin: (1+=)sin(=) 实验2:积分的计算 352+ 算积分 d 解:在 Matlab命令窗口中输入 syms z a b int((3*z+2)/(z-1),z,a,b) 结果为 ans- 3*b+5*1og(b-1)-3*a-5*1og(a-1) 实验3:函数的泰勒级数展开 将f()=tg()在二0=元处展开为泰勒级数 解:在 Matlab命令窗口中输入 taylor(tan(z), pi/4 结果为 ans- 1+2*2-1/2*pi+2*(z-1/4*pi)2+8/3*(z-1/4*pi)3+ 10/3*(z-1/4*pi)4+64/15*(z-1/4pi)5 实验4:留数的计算 在 Matlab中,留数的计算可由函数 res i due实现 格式为:[r,p,k]= res due(B,A),B和A分别为分子、分母按降幂排列的多项式系数 求函数f(二)= 在奇点处的留数 (2二+1)(二-2 解:在 Matlab命令窗口中输入
ans= exp(z)/(1+z)/sin(z)-exp(z)/(1+z)^2/sin(z)- exp(z)/(1+z)/sin(z)^2*cos(z) 用 pretty 化简得： 2 2 )sin()1( )cos()exp( sin)1( )exp( sin)1( )exp( zz zz zz z zz z + − + − + 实验 2：积分的计算 计算积分 z z b z a d 1 23 ∫ − + 解：在 Matlab 命令窗口中输入 syms z a b int((3*z+2)/(z-1),z,a,b) 结果为 ans= 3*b+5*log(b-1)-3*a-5*log(a-1) 实验 3：函数的泰勒级数展开 将 = zzf )tg()( 在 4 π z0 = 处展开为泰勒级数 解：在 Matlab 命令窗口中输入 syms z taylor(tan(z),pi/4) 结果为 ans= 1+2*z-1/2*pi+2*(z-1/4*pi)^2+8/3*(z-1/4*pi)^3+ 10/3*(z-1/4*pi)^4+64/15*(z-1/4pi)^5. 实验 4：留数的计算 在 Matlab 中，留数的计算可由函数 residue 实现 格式为：[r,p,k]= residue(B,A),B 和 A 分别为分子、分母按降幂排列的多项式系数 矩阵 求函数 )2)(12( )( −+ = zz z zf 在奇点处的留数 解：在 Matlab 命令窗口中输入 2
taylor(tan(z), pi/4) 结果为 0.4000 0.1000 0.5000 所以Res[f(=),2]=04,Res[f()-0.5]=0.1 实验5:映射 求将单位圆|=1映照成上半平面lm)20的分式线性函数W=“+b 解:在圆周上任取三点1,=2,=3,在w平面的实轴上取三点w1,w2,W3(3=∞)分别与 1,2,2对应。由公式”=-5:3-五。化简得:w=+d az+ b 其中A=-3 a=Av1-w2,b==1V2-Aw2c=A-1d=21 取21=1,2=-1,=3=1,及1=0,w2=1,w3=∞进行计算。 在 Matlab命令窗口中输入 yms zl z2 z3 wI w2 w3 wz z1=1;z2=1;,z3=l1;wl=0;w2=1;,w3=in A=(z3-z1)/(23-z2) 0.5000-0.5000i A*wI-w2 zI*w2-A*wI*z2
[r,p,k]= residue([1，0]，[2，-3，-2]) taylor(tan(z),pi/4) 结果为 r= 0.4000 0.1000 p= 2.0000 -0.5000 k= [ ] 所以 zfs = ,4.0]2),([Re zfs − = 1.0]5.0),([Re 实验 5：映射 求将单位圆 z ≤1|| 映照成上半平面 的分式线性函数 w ≥ 0)Im( dcz baz w + + = 。 解： 在圆周上任取三点 在 平面的实轴上取三点 分别与 对应。由公式 ,,, 321 zzz w )(,, wwww 3321 ∞= ,,, 321 zzz 23 13 2 1 2 1 : zz zz zz zz ww ww − − − − = − − 。化简得： dcz baz w + + = ， 其中 21 21 21 21 23 13 , , ,1, AzzdAczAwwzbwAwa zz zz A −=−=−=−= − − = 取 ,1,1, 21 == − zziz 3 = 及 1 = 2 = ,1,0 www 3 = ∞ 进行计算。 在 Matlab 命令窗口中输入 syms z1 z2 z3 w1 w2 w3 w z z1=i; z2=-1; z3=1; w1=0; w2=1; w3=inf; A=(z3-z1)/(z3-z2) A = 0.5000 - 0.5000i a=A*w1-w2 a = -1 b=z1*w2-A*w1*z2 3
0+1.00001 -0.5000-0.50001 0.5000+0.50001 w=(a'z+b(c"z+d) (-2+)(-1/2-1/2*1)*2+1/2+1/2*) W 1.0000+10000i 实验6:傅里叶变换 求函数∫(1)=e-的傅里叶变换 在 Matlab命令窗口中输入 syms t w fourier (exp(x 2), t, w) 结果为 ans pi(1/2)*exp(-1/4*w2) 实验7:傅里叶逆变换 求函数F()=e"的傅里叶逆变换。 解: 在 Matlab命令窗口中输入 ans Dirac(t-1) 即(t-1) (Dirac表示希腊字母8) 实验8:拉普拉斯变换
b = 0 + 1.0000i c=A-1 c = -0.5000 - 0.5000i d=z1-A*z2 d = 0.5000 + 0.5000i w=(a*z+b)/(c*z+d) w= (-z+i)/((-1/2-1/2*i)*z+1/2+1/2*i) z=0; w = 1.0000 + 1.0000i 实验 6：傅里叶变换 求函数 的傅里叶变换。 2 e)( t tf − = 解： 在 Matlab 命令窗口中输入 syms t w fourier(exp(-x^2),t,w) 结果为 ans = pi^(1/2)*exp(-1/4*w^2) 实验 7：傅里叶逆变换 求函数 的傅里叶逆变换。 w wF i e)( − = 解： 在 Matlab 命令窗口中输入 syms w t ifourier(exp(-I*w), t) ans = Dirac(t-1) 即 δ t − )1( (Dirac 表示希腊字母δ). 实验 8：拉普拉斯变换 4
求函数f()=t°的拉普拉斯变换 解:在 Matlab命令窗口中输入, laplace(t 6) 结果为 ans 720/s7 实验9:拉普拉斯逆变换 求函数F(S)=-,,的拉普拉斯逆变换 解:在 Matlab命令窗口中输入, syms a ts laplace(s/(s 2+a 2), s, t) 结果为 ans cos(a*t) 2.数学软件介绍 MATLAB语言 (1) MATLAB语言简介 MATLAB语言是当今国际上科学界(尤其是自动控制领域)最具影响力、也是最有活 力的软件。它起源于矩阵运算,并已经发展成一种高度集成的计算机语言。它提供了强大 的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的与其他程序 和语言接口的功能。 MATLAB语言在各国高校与研究单位起着重大的作用 MATLAB语言由美国 The mathworks公司开发,2002年9月推出了其全新的 MATLAB 7.0正式版( Release13) (2) MATLAB语言的发展 MATLAB语言的首创者 Cleve moler教授在数值分析,特别是在数值线性代数的领域 中很有影响,他参与编写了数值分析领域一些著名的著作和两个重要的 Fortran程序 EISPACK和 LINPACK。他曾在密西根大学、斯坦福大学和新墨西哥大学任数学与计算机科 学教授。1980年前后,当时的新墨西哥大学计算机系主任 Moler教授在讲授线性代数课 5
求函数 的拉普拉斯变换。 6 )( = ttf 解：在 Matlab 命令窗口中输入， syms t s laplace(t^6) 结果为: ans = 720/s^7 实验 9：拉普拉斯逆变换 求函数 22 )( as s sF + = 的拉普拉斯逆变换。 解：在 Matlab 命令窗口中输入， syms a t s ilaplace(s/(s^2+a^2),s,t) 结果为 ans = cos(a*t) 2．数学软件介绍 1. MATLAB 语言 (1)MATLAB 语言简介 MATLAB 语言是当今国际上科学界 (尤其是自动控制领域) 最具影响力、也是最有活 力的软件。它起源于矩阵运算，并已经发展成一种高度集成的计算机语言。它提供了强大 的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的与其他程序 和语言接口的功能。MATLAB 语言在各国高校与研究单位起着重大的作用。 MATLAB 语言由美国 The Mathworks 公司开发，2002 年 9 月推出了其全新的 MATLAB 7.0 正式版(Release 13)。 (2) MATLAB 语言的发展 MATLAB 语言的首创者 Cleve Moler 教授在数值分析，特别是在数值线性代数的领域 中很有影响， 他参与编写了数值分析领域一些著名的著作和两个重要的 Fortran 程序 EISPACK 和 LINPACK。他曾在密西根大学、斯坦福大学和新墨西哥大学任数学与计算机科 学教授。1980 年前后，当时的新墨西哥大学计算机系主任 Moler 教授在讲授线性代数课 5