数学实验一:解析函数对平面向量场的应用 1.平面向量场 我们首先用流速场来阐明稳定平面向量场的概念。 流体力学中我们知道,所谓不可压缩流体是指密度不因压力而改变的流体。通常液体被 视为不可压缩的。当空气流速不超过音速(330m/s)的06-0.8倍时,也可视其为不可压 缩的 所谓流体的平面流动指在流动中,垂直与某平面的每一垂线上所有各质点的速度相同, 且与指定平面平行。显然,对于平面流动,只须研究某指定平面上流动即可。在平面流动中, 各质点的速度仅与各质点的位置有关,而不随时间变化,则称其为平面稳定流动。 在不可压缩流体的平面稳定流动中,取上述平面作为z平面,若对于z平面上某一区域 D内的每一点,有一个大小和方向都不随时间变化的速度向量与它对应;则在D内确定了 个稳定平面向量场。 在区域D内任取一条简单曲线C。以C为准线,垂直于C的直线为母线,作一个高为 1的柱面,单位时间内通过上述柱面流向它的某一侧的流量(即流体的质量),称为通过C流 向它的某一侧的流量。设流体的密度为1。由于流体是不可压缩的,所以上述流量可用所流 过的流体在D上所遮盖的图形的面积来度量。通常指定流体向C的某一侧的流量为正,则 流体向相反的一侧的流动的流量为负 取曲线C上的弧元素AB=ds。指定C的方向,并相应取定它的法线的方向,使沿着C 按取定方向前进时,法线所取定的方向总指向C的右侧。设在点A处的速度向量为v,vn,v 分别表示v在法线方向上的投影,则在单位时间内,通过元素ds流向法线所指定那一侧的 流量等于 实际上,这个量就等于以ds及v为边的平行四边形面积。于是单位时间内流体通过曲线C流 向取定一侧的流量O为 0=v,ds 设v的实部和虚部分别为a=a(x,y)及b=b(x,y),即v=a+ib,a表示沿C正向的 切线与实轴的夹角,则取定法线方向与实轴的夹角为B=a-x。从而C上切线向量和法 线向量的方向余弦分别是:cosa,sina和cosB=sina,sinB=-cosa.于是
数学实验一：解析函数对平面向量场的应用 1．平面向量场 我们首先用流速场来阐明稳定平面向量场的概念。 流体力学中我们知道，所谓不可压缩流体是指密度不因压力而改变的流体。通常液体被 视为不可压缩的。当空气流速不超过音速 (330 / ) m s 的 0.6 0.8 − 倍时，也可视其为不可压 缩的。 所谓流体的平面流动指在流动中，垂直与某平面的每一垂线上所有各质点的速度相同， 且与指定平面平行。显然，对于平面流动，只须研究某指定平面上流动即可。在平面流动中， 各质点的速度仅与各质点的位置有关，而不随时间变化，则称其为平面稳定流动。 在不可压缩流体的平面稳定流动中，取上述平面作为 平面，若对于 平面上某一区域 内的每一点，有一个大小和方向都不随时间变化的速度向量与它对应；则在 内确定了 一个稳定平面向量场。 z z D D 在区域 内任取一条简单曲线 。以C 为准线，垂直于 的直线为母线，作一个高为 的柱面，单位时间内通过上述柱面流向它的某一侧的流量 即流体的质量 ，称为通过 流 向它的某一侧的流量。设流体的密度为1。由于流体是不可压缩的，所以上述流量可用所流 过的流体在 上所遮盖的图形的面积来度量。通常指定流体向C 的某一侧的流量为正，则 流体向相反的一侧的流动的流量为负。 D C C 1 ( ) C D 取曲线C 上的弧元素 。指定 的方向，并相应取定它的法线的方向，使沿着C 按取定方向前进时，法线所取定的方向总指向C 的右侧。设在点 AB ds = C A 处的速度向量为v v 分别表示v 在法线方向上的投影，则在单位时间内，通过元素 流向法线所指定那一侧的 流量等于 , , n t v ds . （1） n v ds 实际上，这个量就等于以 及 为边的平行四边形面积。于是单位时间内流体通过曲线 流 向取定一侧的流量 为 ds v C Q d . n C Q vs = ∫ 设v 的实部和虚部分别为 a axy = (, ) 及b bxy = (, ) ，即v a ib = + ，α 表示沿 正向的 切线与实轴的夹角，则取定法线方向与实轴的夹角为 C 2 π β α= − 。从而 上切线向量和法 线向量的方向余弦分别是：cos C α,sinα 和cos sin ,sin cos . β = α β = − α 于是 1
,=vcosa, sina,=a a+sina, v=vsin, - cosa=asina-bcosa 故我们有 Q=」( asina- b cosa ds=」-bx+ady 若曲线C是闭合的,指定反时针方向为正向,则法线方向的正向指向曲线C的外部 从而当流入C的内部的流体多于流出的流体时,流量为正的;反之,当流入C的内部的流 体少于流出的流体时,流量为负的。若在区域D内任何部分,都无流体放出,也无流体吸 入,则称D内流速场v既无源又无汇。设流速场v既无源又无汇,则对D内的任一闭曲线C, 通过C的流量应当满足Q=[-b+adb=0,由格林公式不难推得以下结论 设D是单连通区域,a,b在D内有连续偏导数。则D既无源又无汇的必要与充分条件 是 (3) 前边已经定义v为速度向量v在切线方向的投影,且v= a cos a+ bsin a,其中a,b为v的 实部和虚部(也就是v在x轴和y轴方向的投影),a为切向量与x轴的夹角。对D内的任 一简单闭曲线C称|vds为流体在单位时间内沿曲线C的环量。 若沿D内的任一简单闭曲线C的环量是零,这个流体的流动就称为无旋的。 由环量的定义,无旋流动的条件是:对D内的任一简单闭曲线C y, ds=(acos+sina)d adx + bdy=0 由格林公式又不难推得下述结论: 假定D是单连通区域,a,b在D内有连续的偏导数,则D是无旋场的必要与充分条 件是 aa ab dy ax 以上讨论中,是定义在D上的流速场,实际上,对其它既有大小又有方向的物理量, 以上结论同样成立。 现考虑平面上的静电场,取静电场所在平面为z平面,单位电荷在平面上某点所受的
{cos ,sin } cos sin , t v v =⋅ = + α α α a b α {sin , cos } sin cos . n v v =⋅ − = − α α α a b α y 故我们有 ( sin cos )d d d . C C Q a b s bx a = − =− + α α ∫ ∫ （2） 若曲线C 是闭合的，指定反时针方向为正向，则法线方向的正向指向曲线C 的外部， 从而当流入 的内部的流体多于流出的流体时，流量为正的；反之，当流入C 的内部的流 体少于流出的流体时，流量为负的。若在区域 内任何部分，都无流体放出，也无流体吸 入，则称 内流速场 既无源又无汇。设流速场 既无源又无汇，则对 内的任一闭曲线C ， 通过C 的流量应当满足 ，由格林公式不难推得以下结论： C D D v v D 0 C Q bdx ady =− + = ∫ 设 是单连通区域， 在 内有连续偏导数。则 既无源又无汇的必要与充分条件 是 D a b, D D ( ). a b x y ∂ ∂ − = ∂ ∂ （3） 前边已经定义 为速度向量 在切线方向的投影，且 t v v cos sin , t va b = α + α 其中 为 的 实部和虚部 也就是v 在 a b, v ( x 轴和 y 轴方向的投影 ，) α 为切向量与 x 轴的夹角。对 内的任 一简单闭曲线C 称 D dt C v s ∫ 为流体在单位时间内沿曲线 的环量。 C 若沿 D 内的任一简单闭曲线C 的环量是零，这个流体的流动就称为无旋的。 由环量的定义，无旋流动的条件是：对 D 内的任一简单闭曲线C ， d ( cos sin )d t C C vs a b s = + α α ∫ ∫ = d d C ax by + = 0. ∫ 由格林公式又不难推得下述结论： 假定 是单连通区域， 在 内有连续的偏导数，则 是无旋场的必要与充分条 件是 D a b, D D . a b y x ∂ ∂ = ∂ ∂ 以上讨论中，v 是定义在 上的流速场，实际上，对其它既有大小又有方向的物理量， 以上结论同样成立。 D 现考虑平面上的静电场，取静电场所在平面为 z 平面，单位电荷在平面上某点所受的 2
力,称为这点的电场强度。如果在〓平面上或其上某区域内每一点,有一个大小与方向都不 随时间改变的电场强度向量,则z平面上也给出一个稳定平面向量场,设其所在区域为D 现用w=l+ⅳ表示D中电场强度向量,则对D中任一条简单闭曲线C, 0=|-rdx+udy 表示通过C的通量 由静电理论,通过C的通量与C包围的区域内的总电荷成正比,因此C的内区域是否 包含电荷取决于上述积分是否为零。与流速场的情形一样,我们有以下结论: 若D是单连通区域,并且l及v在D内有连续的偏导数,则在D内无电荷的必要与充 分条件是 对D中任一简单闭曲线C,同样可定义沿C的环量 udx +rd 其物理意义是单位正电荷沿C移动时电场立所作的功。对静电场,一样有以下结论 假设D是单连通区域,u,v在D内有连续的偏导数,则D是无旋场(即环量为零)的 必要与充分条件是 2.平面场的复势 设在区域D内每点给定一个不随时间改变的向量w=+iv,即在D内给定一稳定平 面向量场。设C为D内任一条简单闭曲线,可与流速场和静电场完全相同的方式定义通过C 的流量及沿C的环量。当流量和环量都是零时,称平面场W在D上是无源、无汇及无旋的。 静电场无源、无汇及无旋等价于场内无电荷,且当单位正电荷沿D内任一条简单闭曲线移 动时,电场力所作的功是零。 假设平面区域D是单连通的,且u及v在D内具有连续偏导数,又设w在D上是无源 无汇及无旋的,则由上节的结论知 (4) ay ay 由柯西-黎曼条件可知函数
力，称为这点的电场强度。如果在 平面上或其上某区域内每一点，有一个大小与方向都不 随时间改变的电场强度向量，则 平面上也给出一个稳定平面向量场，设其所在区域为 。 z z D 现用 w u = + iv 表示 中电场强度向量，则对 中任一条简单闭曲线 ， D D C d d C Q vx u =− + ∫ y 表示通过C 的通量。 由静电理论，通过C 的通量与C 包围的区域内的总电荷成正比，因此C 的内区域是否 包含电荷取决于上述积分是否为零。与流速场的情形一样，我们有以下结论： 若 是单连通区域，并且 及v 在 内有连续的偏导数，则在 内无电荷的必要与充 分条件是 D u D D ( ). u v x y ∂ ∂ − = ∂ ∂ 对 中任一简单闭曲线 D C ，同样可定义沿 的环量 C d d C ux vy + ∫ . 其物理意义是单位正电荷沿 移动时电场立所作的功。对静电场，一样有以下结论： C 假设 是单连通区域， 在 内有连续的偏导数，则 是无旋场 即环量为零 的 必要与充分条件是 D u v, D D ( ) . u v y x ∂ ∂ = ∂ ∂ 2．平面场的复势 设在区域 内每点给定一个不随时间改变的向量 D w u iv = + ，即在 内给定一稳定平 面向量场。设C 为 内任一条简单闭曲线，可与流速场和静电场完全相同的方式定义通过C 的流量及沿C 的环量。当流量和环量都是零时，称平面场 在 上是无源、无汇及无旋的。 静电场无源、无汇及无旋等价于场内无电荷，且当单位正电荷沿 内任一条简单闭曲线移 动时，电场力所作的功是零。 D D w D D 假设平面区域 是单连通的，且u 及v 在 内具有连续偏导数，又设 在 上是无源、 无汇及无旋的，则由上节的结论知 D D w D , u v x y ∂ ∂ = − ∂ ∂ , u v y x ∂ ∂ = ∂ ∂ （4） 即 ( ) , u v x y ∂ ∂− = ∂ ∂ ( ). u v y x ∂ ∂ − = − ∂ ∂ 由柯西-黎曼条件可知函数 3
l+(-v)=l-i 在D内解析,且函数l及v都是D内的调和函数。 由式(4),ldx+rdy及-vdx+udy分别是某两个函数(x,y)和v(x,y)的全微分, Ep d=udx+vdy dy=-vdx+ udy 从而有 而且,不计常数之差,φ、v由u,v唯一确定。 显然函数Q(x,y)和y(x,y)满足柯西-黎曼条件,因而函数 在D内解析,及v都在D内调和,并且 y +i(-V) 从而,f(=)=+正是给定的平面场 我们称∫(-)为平面向量场v的复势。调和函数(x,y)及v(x,y)分别称为向量场w 的势函数和流函数。 由于dφ=ldx+udy,所以称φ是向量场w的势函数,曲线族 qp(x,y)=常数 称为等势线,它显然是微分方程 do= udx vdy=0 的解,亦即在等势线上有 为什么称v是向量场w的流函数呢?我们来看,曲线族 ∥(x,y)=常数, 它显然是微分方程 dy(r,y)=-rdx+udy=0 的解,即有
u i v u iv + ( ) − =− 在 内解析，且函数 及 D u v 都是 内的调和函数。 D 由式（4）， 及 ux vy d d + − + vx uy d d 分别是某两个函数ϕ(, ) x y 和ψ (, ) x y 的全微分， 即d dd ϕ = + ux vy, d d ψ =− + vx uyd ， 从而有 uv v ,, , xyx y u. ∂∂∂ ∂ ϕ ϕψ ψ = = =− = ∂∂∂ ∂ 而且，不计常数之差，ϕ 、ψ 由 唯一确定。 u v, 显然函数ϕ(, ) x y 和ψ (, ) x y 满足柯西-黎曼条件，因而函数 f (z xy i x ) = + ϕ ψ ( , , ) ( y) 在 内解析， D ϕ 及ψ 都在 内调和，并且 D f ( )z i ui( ), v x x ∂ϕ ∂ψ ′ = + =+− ∂ ∂ 从而， f ′( )z ui = + v 正是给定的平面场 w. 我们称 f ( )z 为平面向量场 的复势。调和函数 w ϕ(, ) x y 及ψ (, ) x y 分别称为向量场 的势函数和流函数。 w 由于d dd ϕ = + ux vy, 所以称ϕ 是向量场 的势函数，曲线族 w ϕ(, ) x y = 常数 称为等势线，它显然是微分方程 d dd ϕ = ux vy + = 0 的解，亦即在等势线上有 d , d y u x v = − 为什么称ψ 是向量场 w 的流函数呢？我们来看，曲线族 ψ (, ) x y = 常数， 它显然是微分方程 d, dd ψ ( ) xy vx uy = −+ = 0 的解，即有 4
dy 这说明向量场W在每一点处的方向都与曲线v(x,y)=常数的切线方向一致,因此称 v(x,y)=常数为流线,而称v为流函数 显然,等势线与流线彼此正交 综上所述,若在单连通平面区域D内给定一无源、无汇且无旋的向量场,那么,与这 一平面向量场相对应,可在D内确定一个解析函数,即场的复势。反之,给定一个在单连 通区域D内的析函数,就确定一个无源、无汇及无旋的稳定平面场,以已定函数作为复势 例1设一个稳定平面流场的复势是 f(=)=a(a>0 那么在任一点的场向量是 f(-) =a 流函数是u(x,y)=ay,所以流线是直线y=C1 势函数是p(x,y)=ax,所以等势线是直线x=C2 以上a及C都是实常数。流体以等速度a从平面左方向右方流动。(如图2) 例2设一个稳定平面流场的复势是 f(=)= 那么在任一点2≠0的速度是 f(=) 流函数是v(xy)=-x,所以流线是曲线_=C,即与实轴相切于原点的 族圆 势函数是叭(x,y)x2+y2,所以等势线是x=C,即与虚轴相切的一族圆 4C 这时流体从z=0的右侧流进而从左侧流出,z=0可看作是由极相近的一个源和一个 汇所合成的。(如图3)
d . d y v x u = 这说明向量场 在每一点处的方向都与曲线 w ψ (, ) x y = 常数的切线方向一致，因此称 ψ (, ) x y = 常数为流线，而称ψ 为流函数。 显然，等势线与流线彼此正交。 综上所述，若在单连通平面区域 内给定一无源、无汇且无旋的向量场，那么，与这 一平面向量场相对应，可在 内确定一个解析函数，即场的复势。反之，给定一个在单连 通区域 内的析函数，就确定一个无源、无汇及无旋的稳定平面场，以已定函数作为复势。 D D D 例 1 设一个稳定平面流场的复势是 f (z a ) = z ( 0 a > ), 那么在任一点的场向量是 f ′(z a ) = . 流函数是ψ(, ) , x y ay = 所以流线是直线 1 y = C . 势函数是ϕ(, ) , x y ax = 所以等势线是直线 2 x = C . 以上 及a C 都是实常数。流体以等速度 从平面左方向右方流动。 a (如图 2) 例 2 设一个稳定平面流场的复势是 ( ) 1 f z , z = 那么在任一点 z ≠ 0 的速度是 ( ) 2 1 f z . z ′ = − 流函数是 2 2 (, ) , y x y x y ψ − = + 所以流线是曲线 2 2 , y C x y = + 即与实轴相切于原点的一 族圆 2 2 2 1 1 . 2 4 x y C C ⎛ ⎞ ++ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 势函数是 2 2 (, ) , x x y x y ϕ = + 所以等势线是 2 2 , x C x y = + 即与虚轴相切的一族圆 2 2 2 1 1 . 2 4 x y C C ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − += ⎝ ⎠ 这时流体从 的右侧流进而从左侧流出， z = 0 z = 0可看作是由极相近的一个源和一个 汇所合成的。(如图 3) 5