第二节矩阵的三角分解 LU分解法 用n=3的情况分析Ga顺序消去法的消元 过程,从而导出一些很有用的结论。 b a21 a22=[A b] 3132a 33 2 b2)=40|b0) (1)|h(1) 32 33 第一步中,设a1≠0,小小=(=2,3) 将第二行和第三行分别减去第一行的l21倍和 l31倍。事实上第一步得到的结果,可以表述为 个初等矩阵与[Ab的乘积。 2 0a20a20-1×=M14b )么2小房) (1
42 第二节 矩阵的三角分解 一、LU 分解法 用 n = 3 的情况分析 Gauss 顺序消去法的消元 过程，从而导出一些很有用的结论。 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 [ | ] a a a b a a a b A a a a b = b 11 12 13 1 1 (1) (1) (1) (1) (1) 22 23 2 (1) (1) (1) 32 33 3 0 [ | ] 0 a a a b a a b A a a b → = b 第一步中，设 0 11 a ，令 1 1 11 i i a l a = ， ( 2,3) i = 将第二行和第三行分别减去第一行的 21 l 倍和 31 l 倍。事实上第一步得到的结果，可以表述为一 个初等矩阵与 [A | b] 的乘积。 11 12 13 1 (1) (1) (1) (1) 22 23 2 21 (1) (1) (1) 31 32 33 3 1 0 1 [ | ] 0 0 1 a a a b a a b l A M A a a b l = − = − b b
将第一步的结果再进行第二步消元: 12 3|b 令 (1) 22 23 r3-1 43b3 12a13b 00 (2)h1(2) 2 13 a1a42a13|b )。()n() (1)h(l) 22 23 (2)bh(2)0 ()(①)h(1) M (2)(1)p(1 由此可见,消元过程相当于下述矩阵乘法运算 M2MOJAb1=JUly 由分块矩阵乘法可得 2M①A=UM2M0b= 令 L=(M2M0)=(M)(M(2) 直接计算知
43 将第一步的结果再进行第二步消元： (1) 22 (1) (1) 32 32 22 3 32 2 11 12 13 1 0 (1) (1) (1) 22 23 2 (1) (1) (1) 32 33 3 0 0 a l a a r l r a a a b a a b a a b = − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 令 11 12 13 1 (1) (1) (1) 22 23 2 (2) (2) 33 3 0 0 0 a a a b a a b a b = U y 11 12 13 1 11 12 13 1 (1) (1) (1) (1) (1) (1) 22 23 2 22 23 2 (2) (2) (1) (1) (1) 32 33 3 32 33 3 (2) (1) (1) 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 | a a a b a a a b a a b a a b a b a a b l M A = − = b 由此可见，消元过程相当于下述矩阵乘法运算 (2) (1) M M A U | | b y = 由分块矩阵乘法可得 (2) (1) (2) (1) M M A =U M M b = y 令 (2) (1) 1 (1) 1 (2) 1 ( ) ( ) ( ) − − − L = M M = M M 直接计算知
12 13 L=l,11 22 令 21 23 则:A=LU y=6 我们称之为矩阵A的LU分解或三角状分解 其中L是单位下三角矩阵,U是上三角矩阵。这种 解方程组的方法称为LU分解法或三角状分解法。 ( Doolittle分解方法) 因此,只要消元过程能进行到底,就有如下等 价关系 Ax=b<4=1Lx=b<令 Lv=b 消元过程即是将A分解成单位下三角阵L与上三角 阵U的乘积,解方程组Ly=b;回代过程即是解方 程 Ux=yo 以此类推可得n阶矩阵A的LU分解,其中
44 令 = 1 1 1 31 32 21 l l L l ， = (2) 33 (1) 23 (1) 22 11 12 13 0 0 0 a a a a a a U 则： A LU = Ly = b 我们称之为矩阵 A 的 LU 分解或三角状分解。 其中 L 是单位下三角矩阵， U 是上三角矩阵。这种 解方程组的方法称为 LU 分解法或三角状分解法。 （Doolittle 分解方法） 因此，只要消元过程能进行到底，就有如下等 价关系 = = = ⎯= ⎯→ = ⎯= ⎯→ U x y Ly b Ax b LUx b A LU 令y U x 消元过程即是将 A 分解成单位下三角阵 L 与上三角 阵 U 的乘积，解方程组 Ly = b ；回代过程即是解方 程 Ux = y 。 以此类推可得 n 阶矩阵 A 的 LU 分解，其中
下面给出关于矩阵A的LU分解的存在唯一性条件 的两个定理。 定理2若矩阵A非奇异,则A能分解为LU的充 分必要条件是A的顺序主子行列式不为0,即 △1=a1≠0 ≠0 detA)≠ 定理3若非奇异矩阵A有LU分解,则此分解 是唯一的。 为简化LU分解,下面通过比较元素法导出 个直接求L与U的元素的公式。 令 A=LU/
45 = 1 1 1 1 2 21 n n l l l L = ( −1) (1) 2 (1) 22 11 12 1 n nn n n a a a a a a U 下面给出关于矩阵 A 的 LU 分解的存在唯一性条件 的两个定理。 定理 2 若矩阵 A 非奇异，则 A 能分解为 LU 的充 分必要条件是 A 的顺序主子行列式不为 0，即 0 0 det( ) 0 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 = 1 1 2 = = = A a a a a a a a a a n n n n n 定理 3 若非奇异矩阵 A 有 LU 分解，则此分解 是唯一的。 为简化 LU 分解，下面通过比较元素法导出一 个直接求 L 与 U 的元素的公式。 令 A = LU 。 即
n 21 22 21 u. n-1 比较第一框得: 假设前k-1框元素已求出,则由 ∑ka u: +u (j=k,k+1,…,n) u tlu k(i=k+1,k+2,…,n) 得 ∑ j=k,k+1 1=1a1k kk =k+1,k+2,…,n., a
46 = − n n n n n n n n n n n n n u u u u u u l l l a a a a a a a a a 1 0 1 1 0 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 比较第一框得： = = = = / , 2,3, , . , 1,2, , , 1 1 11 1 1 l a u i n u a j n i i j j 假设前 k −1 框元素已求出，则由 − = − = = + = + + = + = + 1 1 1 1 ( 1, 2, , ) ( , 1, , ) k s i k i s s k i k kk kj k s kj ks s j a l u l u i k k n a l u u j k k n 得 = − = + + = − = + − = − = [ ]/ , 1, 2, , . , , 1, , , 1 1 1 1 l a l u u i k k n u a l u j k k n kk k s i k i k i s s k k s kj kj ks s j ， （a）