习题一: 1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,试 指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限, 相对误差限。 (2)x2=0.032(4)x4=65.430(6)x6=0.10×10 解:四舍五入得到的近似数的误差都不超过其末位 的半个单位,从其最后一位数字开始到前面第一个 非零数字为止的所有数字,均是有效数字 故有效数字的位数分别为2,5,2 由有效数字与绝对误差限的关系:E=×10″-m x=0.32×101x4=065430×10 m分别为-1,2,3 解得绝对误差限分别为: 2×10-1-2_1 =×10-3 2 E4=×1025=×10-3 10 212 ×10 由有效数字与相对误差限的关系:Er≤ 2axlol-n
习题一： 1．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试 指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限， 相对误差限。 ⑵ * 2 x = 0.032 ⑷ * 4 x = 65.430 ⑹ * 3 6 x = 0.10 10 解：四舍五入得到的近似数的误差都不超过其末位 的半个单位，从其最后一位数字开始到前面第一个 非零数字为止的所有数字，均是有效数字。 故有效数字的位数分别为 2，5，2 由有效数字与绝对误差限的关系： 1 10 2 m n − = * 1 2 x 0.32 10− = * 2 4 x = 0.65430 10 m 分别为-1，2，3 解得绝对误差限分别为： 1 2 3 2 1 1 10 10 2 2 − − − = = 2 5 3 4 1 1 10 10 2 2 − − = = 3 2 6 1 1 10 10 2 2 − = = 由有效数字与相对误差限的关系： 1 1 1 10 2 n r a −
2 6r22×3 ×10 10 6r4=×101-51,4 6 10 ×10 2×1 2.为使下列各数的近似值的相对误差限不超过 0.1×10-2,问各近似值分别应取几位有效数字? 101 解:由定理1知,E,≤×10n。 由于=0.9…×10,所以a1=9。 101 欲使6≤×10 ×10=m<0.1×10 2 2×9 解得:103n≤1.8 至少应取n=3,即3位有效数字。 4.计算∫=(2-1),取√2≈14,利用下列等
1 2 1 2 1 1 10 10 2 3 6 r − − = = 1 5 4 4 1 1 10 10 2 6 12 r − − = = 1 2 1 6 1 1 10 10 2 1 2 r − − = = 2．为使下列各数的近似值的相对误差限不超过 2 0.1 10− ，问各近似值分别应取几位有效数字？ 2 1 101 x = 解：由定理 1 知， 1 1 1 10 2 n r a − 。 由于 1 2 0.9 10 101 − = ，所以 1 a = 9 。 欲使 1 1 2 1 1 1 10 10 0.1 10 2 2 9 n n r a − − − = 解得： 3 10 1.8 −n 至少应取 n = 3 ，即 3 位有效数字。 4．计算 6 f = − ( 2 1) ，取 2 1.4 ，利用下列等
价表达式计算,哪一个效果最好?为什么? (1) (2)(3-22)3 (√2+1 (3) (4)99-70 (3+2√2 解:第(3)个计算的结果最好。 由原则三:“避免两相近的数相减”,可排除(2)、 由原则五:“简化计算步骤,减少运算次数”,可排 除(1)。 7.利用等式变换使下列表达式的结果比较精确。 (1) COSX ,x≠0且x< SInx X (2) x|<<1 1+2x1+x (3)Ax+--|x X x+1 dt x 1+t 2,x>1
价表达式计算，哪一个效果最好？为什么？ （1） 6 1 ( 2 1) + ； （2） 3 (3 2 2) − ； （3） 3 1 (3 2 2) + ； （4） 99 70 2 − 解：第（3）个计算的结果最好。 由原则三：“避免两相近的数相减”，可排除（2）、 （4）， 由原则五：“简化计算步骤，减少运算次数”，可排 除（1）。 7．利用等式变换使下列表达式的结果比较精确。 （1） 1 cos sin x x − ， x x 0 1 且 ； （2） 1 1 1 2 1 x x x − − + + ， x 1 ； （3） 1 1 x x x x + − − ， x 1 ； （4） 1 2 1 x x dt t + + ， x 1
2x 1-coS x 2 sin 解:(1)(方法一) tan sinx 2sin--cos (方法二) cosx (1-cos x)(1+cos x) 1-coS x Sinx sIn x sin x(1+cos x) sinx(1+cos x) 1+cosx (2) 11-x1+x-(1+2x)(1-x) 1+2x1+x(1+2x)(1+x) 2x (1+2x)(1+x) (3) x x+-+lx x+-+,x x 2 x+-+x xx+-+x x d x+1 (4) arctan(x+1)-arctan x x 1+t
解：（1）（方法一） 2 2sin 1 cos 2 tan sin 2 2sin cos 2 2 x x x x x x − = = （方法二） 2 1 cos (1 cos )(1 cos ) 1 cos sin sin sin (1 cos ) sin (1 cos ) 1 cos x x x x x x x x x x x − − + − = = = + + + （2） 1 1 1 2 1 x x x − − + + 1 (1 2 )(1 ) (1 2 )(1 ) x x x x x + − + − = + + 2 2 (1 2 )(1 ) x x x = + + （3） 1 1 1 1 ( )( ) 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x + − − + + − + − − = + + − 1 1 ( ) 2 1 1 1 1 ( ) x x x x x x x x x x x x x + − − = = + + − + + − （4） 1 2 arctan( 1) arctan 1 x x dt x x t + = + − +
x+1-x = arctan arctan 1+(x+1)x 2 1+x+x 习题 2.方程f(x)=x2-09X-8.5=0在区间[34]中 有一实根,若用二分法求此根,使其误差不超过 1072,问应将区间对分几次?并用二分法求此根。 解:由题意,xE34]若要-x15102,则 2(6 (4-3) 2n+1 2n 2 解得n2 1≈56,故取n=6,即将区间二分 g 六次即可。 n 03(-)4(+)35 3 3.5 3.25 2 3.25 3.5 3.375 3 3.375 3.5 3.4375 十 3.375 343753.4062 5
2 1 1 arctan arctan 1 ( 1) 1 x x x x x x + − = = + + + + 习题二： 2．方程 2 f x x x ( ) 0.9 8.5 0 = − − = 在区间 3,4 中 有一实根，若用二分法求此根，使其误差不超过 2 10− ，问应将区间对分几次？并用二分法求此根。 解：由题意， * x 3,4 。若要 * 2 10 k x x − − ，则 2 1 1 1 1 1 1 ( ) (4 3) 10 2 2 2 n n n b a − + + + − = − = 解得 2 1 5.6 lg 2 n − ，故取 n = 6 ，即将区间二分 六次即可。 n an n b n x ( ) n f x 0 3（-） 4（+） 3.5 + 1 3 3.5 3.25 - 2 3.25 3.5 3.375 - 3 3.375 3.5 3.4375 + 4 3.375 3.4375 3.4062 5 +