第七章常微分方程数值解 本章介绍求解微分方程数值解的基本思想和方法。 许多科学和技术问题的数学模型,常常归结为一个 含有自变量、未知函数和它的一阶导数和高阶导数 的方程,称为常微分方程。它是描述运动、变化规 律的重要数学方法之 分为两类: 1.初值问题,即给出未知函数及导数在初始点的值 的问题; 2.边值问题,即给出未知函数及(或)它的某些导 数在区间两个端点的值的问题。 ●常徼分方程初值问题 这里仅讨论一阶微分方程初值问题的数值解 法,即,所要讨论的问题为 y'=f(x,y),a<x≤b,|y|k∞ y(a)=yo, y0∈R
第七章 常微分方程数值解 本章介绍求解微分方程数值解的基本思想和方法。 许多科学和技术问题的数学模型，常常归结为一个 含有自变量、未知函数和它的一阶导数和高阶导数 的方程，称为常微分方程。它是描述运动、变化规 律的重要数学方法之一。 分为两类： 1.初值问题，即给出未知函数及导数在初始点的值 的问题； 2.边值问题，即给出未知函数及（或）它的某些导 数在区间两个端点的值的问题。 ⚫常微分方程初值问题 这里仅讨论一阶微分方程初值问题的数值解 法，即，所要讨论的问题为： = = ( ) , , ( , ), , | | y a y0 y0 R y f x y a x b y
其中∫为x,y的已知函数,y为给定的初值。 ●初值问题的适定性(其解是否唯一存在) 将区域:[小]×R记为G,即G=[ab]×R 设f:G→>R为连续映射,若存在常数L>0使得不 等式|f(x,y)-f(xy2)≤Ly-y2 对一切(x,y1)(x,y2)∈G都成立,则称f(x,y)在G 上关于y满足 Lipschitz条件,而式中的常数L称 为 Lipschitz常数。 补充定理:初值问题 y’=f(x,y),a<x≤b,|yk<∞ y(a)=yo ∈R 当f(x,y)在G上连续,且关于y满足 Lipschitz 条件,则其解存在且唯一. 本章,总是假设所讨论的问题满足解的存在唯一性 定理条件。 ●数值解法
其中 f 为 x y, 的已知函数， 0 y 为给定的初值。 ⚫ 初值问题的适定性(其解是否唯一存在) 将区域： a b R , 记为 G ，即 G a b R = , 设 f G R : → 为连续映射，若存在常数 L 0 使得不 等式 1 2 1 2 f x y f x y L y y ( , ) ( , ) − − 对一切 1 2 ( , ),( , ) x y x y G 都成立，则称 f x y ( , ) 在 G 上关于 y 满足 Lipschitz 条件，而式中的常数 L 称 为 Lipschitz 常数。 补充定理：初值问题 = = ( ) , , ( , ), , | | y a y0 y0 R y f x y a x b y ， 当 f (x, y) 在 G 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，则其解存在且唯一. 本章，总是假设所讨论的问题满足解的存在唯一性 定理条件。 ⚫数值解法
寻求微分方程初值间题的解y(x)在一系列离散点 q=X<x1<x2<…<xx=b 上的近似值y,y,y2,…,yN的方法 n}:问题的数值解。 数值解所满足的离散方程统称为差分格式. 步长:h=x1-x1,一般取定步长h=h §1 Euler方法 ● Euler公式 将初值问题 y’=f(x,y),a<x≤b,|yk<∞ ∈R 的求解区间[a,bN等分, 分点xn=a+mh,(n=0,2…,N), b 其中 h N
寻求微分方程初值问题的解 y(x) 在一系列离散点 a = x0 x1 x2 x N = b 上的近似值 , , , , N y y y y 0 1 2 的方法. yn : 问题的数值解。 数值解所满足的离散方程统称为差分格式. 步长： i = i − i−1 h x x ，一般取定步长 hi = h §1 Euler 方法 ⚫ Euler 公式 将初值问题 = = ( ) , , ( , ), , | | y a y0 y0 R y f x y a x b y 的求解区间 [a,b] N 等分， 分点 x a nh, (n 0,1,2, ,N) n = + = , 其中 N b a h − =
将y(xn+1)在x,进行二阶 Tay lor展开 (n+d=y(n)+y(n(xn+1-xn)+2on(xm+1-xn) y(n)+hy(rn)+y(sn) 5n E(rn, xn+p y(n)+hf(n,y(n))+y(sn) 2 p y(+i=y(rn)+hf(n,y())+y(sn) h 记:7=y(n),截去T得近似计算公式: y(n+day(n)+hf(xn,y(n)) 可得y(xn)的近似值yn的递推公式 yn+=yn+hf(en, yn), n=0, 1, .,N-1 (*1) 上式称为 Euler公式 初值问题给定了y0,代入(*1),依次解出数值解y
将 1 ( ) n y x + 在 n x 进行二阶 Taylor 展开： 2 1 1 1 ''( ) ( ) ( ) '( )( ) ( ) 2! n n n n n n n n y y x y x y x x x x x + + + = + − + − 2 ( ) '( ) ''( ) 2 n n n h = + + y x hy x y 1 ( , ) n n n x x + 2 ( ) ( , ( )) ''( ) 2 n n n n h = + + y x hf x y x y 即 1 ( ) n y x + 2 ( ) ( , ( )) ''( ) 2 n n n n h = + + y x hf x y x y 记： 2 1 ''( ) 2 n h T y = ，截去 T1 得近似计算公式： ( ) ( ) ( , ( )) n 1 n n n y x y x + hf x y x + . 可得 ( ) n y x 的近似值 n y 的递推公式 yn+1 = yn + hf (xn , yn ), n = 0,1, , N −1 (*1) 上式称为 Euler 公式。 初值问题给定了 0 y ，代入(*1)，依次解出数值解 1 y ， ， N y
7称为 Euler方法的局部截断误差。 例1用 Euler公式解初值问题 2x y=y 0<x≤1 y(0)=1 解:取h=0.1, Euler公式的具体形式为 n+1 yn+hf(n,yn)=yn+h(n-n) 其中xn=mh=0.1n,(n=0,1,…10), 已知y=1,则有 2. )=1+0.1 2x 0.2 y2=yi+h(y )=1.1+0.1(1.1-x,)=1.191818 依次计算可得 y3,y4,y5,y6,y,y8,y9,少
T1 称为 Euler 方法的局部截断误差。 例 1 用 Euler 公式解初值问题 = = − (0) 1 , 0 1 2 y x y x y y 解：取 h = 0.1 ，Euler 公式的具体形式为 1 2 ( , ) ( ) n n n n n n n n x y y hf x y y h y y + = + = + − 其中 x = nh = 0.1n, n = 0,1, ,10) n ( ， 已知 0 y =1 ，则有 0 1 0 0 0 2 ( ) 1 0.1 1.1 x y y h y y = + − = + = 1 2 1 1 1 2 0.2 ( ) 1.1 0.1(1.1 ) 1.191818 1.1 x y y h y y = + − = + − = … … … 依次计算可得 3 4 5 6 7 8 9 10 y , y , y , y , y , y , y , y