第四章多项式插值 基本问题:研究用简单的函数近似代替一个复杂函 数在某些点上的值的方法。 §1代数多项式插值 Lagrange插值多项式 问题的提出: 设f(x)是区间[a,b上的一个实函数,x;(i=0,…,n) 是a,b上的n+1个互异实数,且已知y=f(x)在 x(i=0,1,…,m)处的函数值y(i=0,1,…,m),即有: y1=f(x;),(i=0,1,,n) 现要求一个次数不超过n的多项式P(x),使得 y1=Pn(x)(i=0,1,…,n) (*1) 这就是 Lagrange插值问题。 可设:P(x)=a0+a1x+a2x2+…+anx 定义:(*1)称为插值条件,共有m+1个方程。 满足(*1)的多项式称为多项式插值问题的解。 x:(i=0,,n)称为插值节点,在不致混淆的情况下, 经常也简称为节点。∫(x)称为被插值函数,P(x)称 为插值多项式。 插值多项式的存在唯一性 Th1多项式插值问题的解是存在且唯一的 证:设所要求的多项式为:
第四章 多项式插值 基本问题：研究用简单的函数近似代替一个复杂函 数在某些点上的值的方法。 §1 代数多项式插值 一、 Lagrange 插值多项式 问题的提出： 设 f (x) 是区间 [a,b] 上的一个实函数， x (i 0,1, ,n) i = 是 [a,b] 上的 n + 1 个互异实数，且已知 y = f (x) 在 x (i 0,1, ,n) i = 处的函数值 y (i 0,1, ,n) i = ，即有： ( ) i xi y = f ， (i = 0,1, ,n) 现要求一个次数不超过 n 的多项式 P (x), n 使得 y P (x ) (i 0,1, ,n) i = n i = （*１） 这就是 Lagrange 插值问题。 可设： n Pn x = a + a x + a x ++ an x 2 0 1 2 ( ) 定义：（*１）称为插值条件，共有 n + 1 个方程。 满足（*１）的多项式称为多项式插值问题的解。 x (i 0,1, ,n) i = 称为插值节点，在不致混淆的情况下， 经常也简称为节点。 f (x) 称为被插值函数， P (x) n 称 为插值多项式。 1. 插值多项式的存在唯一性 Th1 多项式插值问题的解是存在且唯一的。 证：设所要求的多项式为：
P, (x)=ao+ax+a,x+.+a,x 只要当中的系数a1(=0,1,…n)定下来,多项式就定 下来。 则由插值条件(*1)可得关于系数 a1(i=0,1,…,m)的线性方程组: ao+aro taro +. tanto =yo 0+a1x1+a211+…+n1=y1 (*2) n+lx.+ax+∷+a.x 其系数行列式为 andermonde行列式: 2 n D sk<isn 由于x、(i=0,1,…,n)是互异的插值节点,故上式系数 行列式的值不为0。由 Cramer法则可知,(*2)式 有解,且唯 但是,如果用这种方法来求方程组的解,很烦 琐,很难计算。我们一般采用其他方法来求其近似 解 2. Lagrange插值公式
n Pn x = a + a x + a x ++ an x 2 0 1 2 ( ) ， 只要当中的系数 a (i 0,1, n) i = 定下来，多项式就定 下来。 则由插值条件（ * １ ） 可 得 关 于 系 数 a (i 0,1, ,n) i = 的线性方程组： + + + + = + + + + = + + + + = n n n n n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y 2 0 1 2 1 1 2 0 1 1 2 1 0 0 2 0 1 0 2 0 （*2） 其系数行列式为 Vandermonde 行列式： ( ), 1 1 1 0 2 1 2 1 1 0 2 0 0 = = − j i n i j n n n n n n x x x x x x x x x x x D 由于 x (i 0,1, ,n) i = 是互异的插值节点，故上式系数 行列式的值不为 0。由 Cramer 法则可知，（*2）式 有解，且唯一。 但是，如果用这种方法来求方程组的解，很烦 琐，很难计算。我们一般采用其他方法来求其近似 解。 2 . Lagrange 插值公式
下面用基函数的方法来构造满足 y=P(x)(=0,1,…,n)的多项式。 首先考虑最简单的插值多项式:在[a,b上有 两个插值节点x,x1,且已知∫(x)在节点上的函数值 yn,y。现在要求一个多项式P(x),使得: P1(x;) (米3) 若能够找到这样的函数,即: 且次数不能超过1。使 xo)=y 4(xo)=yoo(xo)+y L(*o) =0 y×1+y×0=yo P(,)=y4(x1)=yolo(x1)+y L(x1) y×0+y1×1=y 恰好满足(*3)的要求。问题在于怎样求出这样的 x 不妨先求l(x),考虑到l(x)在x1处函数值为 0,且它的次数不能超过1,显然应包括x-x这个 因子,则l(x)=A(x-x1),又l(x)在x0处函数值
下 面 用 基 函 数 的 方 法 来 构 造 满 足 y P (x ) (i 0,1, ,n) i = n i = 的多项式。 首先考虑最简单的插值多项式：在 [a,b] 上有 两个插值节点 0 1 x , x ，且已知 f (x) 在节点上的函数值 0 1 y , y 。现在要求一个多项式 ( ) P1 x ，使得： ( ) ( 0,1) P1 xi = yi i = （*3） 若能够找到这样的函数，即： = = i j i j l i x j 0 1 ( ) ， 且次数不能超过 1。使： 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) y y y P x y l x y l x y l x i i i = + = = = + = 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) y y y P x y l x y l x y l x i i i = + = = = + = 恰好满足（*3）的要求。问题在于怎样求出这样的 l i (x), i = 0,1 。 不妨先求 ( ) 0 l x ，考虑到 ( ) 0 l x 在 x1 处函数值为 0，且它的次数不能超过 1，显然应包括 x − x1 这个 因子，则 ( ) ( ) 0 x A x x1 l = − ，又 ( ) 0 l x 在 0 x 处函数值
为1,故A 则可得:l0(x) 同理可求出l1(x)的表达式,考虑到l1(x)在x0 处函数值为0,且它的次数不能超过1,显然应包 括x-x这个因子,则l1(x)=A(x-x0),又l1(x) 在x1处函数值为1,故A= x1-x0,则可得: r- y〓 0 x-1 x-x 故:P1(x)=y 1, 0 d 0 称之为线性插值多项式 在[a,b上有三个插值节点x,x1,x2,且已知 f(x)在节点上的函数值y,y1,y2。现在要求一个多 项式P2(x),使得: i=0,J,2) 若能够找到这样的函数,即: ∫1i 0i≠j
为 1，故 0 1 1 x x A − = ，则可得： 0 1 1 0 ( ) x x x x l x − − = 。 同理可求出 ( ) l 1 x 的表达式，考虑到 ( ) l 1 x 在 x0 处函数值为 0，且它的次数不能超过 1，显然应包 括 x − x0 这个因子，则 ( ) ( ) 1 x A x x0 l = − ，又 ( ) l 1 x 在 1 x 处函数值为 1，故 1 0 1 x x A − = ，则可得： 1 0 0 1 ( ) x x x x l x − − = 。 故： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 1 1 1 0 x x x x y x x x x P x y − − + − − = ， 称之为线性插值多项式。 在 [a,b] 上有三个插值节点 0 1 2 x , x , x ，且已知 f (x) 在节点上的函数值 0 1 2 y , y , y 。现在要求一个多 项式 ( ) P2 x ，使得： ( ) ( 0,1,2) P2 xi = yi i = （*4） 若能够找到这样的函数，即： = = i j i j l x i j 0 1 ( )
且次数不能超过2。则 P2(x)=∑y1(x)=y(x)+y41(x)+24(x) y×1+y1×0+y2×0=y )=∑yl(x)=y(x)+y4(x1)+y2(x) i=0 y×0+y1×1+y2×0=y1 P2(x2)=∑yl(x)=y(x)+y4(x2)+2l2(x2) i=0 y0×0+y1×0+y2×1=y2 恰好满足(*4)的要求。问题在于怎样求出这样的 l;(x),i=0,1,2。 不妨先求l(x),考虑到l(x)在x1,x2处函数值 为0,且它的次数不能超过2,显然应包括 (x-x1)(x-x2)这个因子, (x)=A(x-x1)(x-x2) 又l0(x)在x处函数值为1, 故
且次数不能超过 2。则： 0 1 2 0 0 0 0 1 1 0 2 2 0 2 0 2 0 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y P x y l x y l x y l x y l x i i i = + + = = = + + = 0 1 2 1 0 0 1 1 1 1 2 2 1 2 0 2 1 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y P x y l x y l x y l x y l x i i i = + + = = = + + = 0 1 2 2 0 0 2 1 1 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y P x y l x y l x y l x y l x i i i = + + = = = + + = 恰好满足（*4）的要求。问题在于怎样求出这样的 l i (x), i = 0,1,2 。 不妨先求 ( ) l 0 x ，考虑到 ( ) 0 l x 在 1 2 x , x 处函数值 为 0， 且 它 的 次 数 不 能 超 过 2， 显 然 应 包 括 ( )( ) x − x1 x − x2 这个因子， 则 ( ) ( )( ) 0 x A x x1 x x2 l = − − ， 又 ( ) 0 l x 在 0 x 处函数值为 1， 故 ( )( ) 1 0 1 0 2 x x x x A − − =