第六章数值积分方法 §1引言 问题的提出 ●要求定积分I=f(x)k的值 若能求出被积函数f(x)的一个原函数F(x),则 定积分Ⅰ能根据牛顿-莱布尼茨公式求出,即 I=f(x)k=F(b)-F(a)。 困难:①.F(x)难求(很复杂)或求不出; 如:Jsmx2, b sin t na等 ②.f(x)很复杂或者根本不知其具体解 析表达式;如只给出函数f(x)在一些离散点上 的值。 ●解决方法:将求积分值转化为直接对定积分进 行近似计算(即应用相应的数值积分公式进行 计算) 数值求积的基本思想 由积分的几何意义,如图,所求定积分的值就 是由x=a,x=b,y=0及y=f(x)所围成的曲边梯形 的面积。又由积分中值定理,对于连续函数f(x)在 区间[a,b内至少存在一点 使得
第六章 数值积分方法 §1 引言 一、 问题的提出 ⚫ 要求定积分 = b a I f (x)dx 的值。 若能求出被积函数 f (x) 的一个原函数 F(x) ，则 定积分 I 能根据牛顿-莱布尼茨公式求出，即 I f (x)dx F(b) F(a) b a = = − 。 ⚫ 困难：①. F(x) 难求（很复杂）或求不出； 如： 2 sin b a x dx ， b sin a t dt t 等 ②. f (x) 很复杂或者根本不知其具体解 析表达式；如只给出函数 f x( ) 在一些离散点上 的值。 ⚫ 解决方法：将求积分值转化为直接对定积分进 行近似计算（即应用相应的数值积分公式进行 计算） 二、 数值求积的基本思想 由积分的几何意义，如图，所求定积分的值就 是由 x = a, x = b, y = 0 及 y = f (x) 所围成的曲边梯形 的面积。又由积分中值定理，对于连续函数 f (x) 在 区 间 [a,b] 内 至 少 存 在 一 点 ， 使 得
I=f(x)d=f(5)(b-a),即积分 值等于底为(b-a),高为f(5)的 矩形面积。 称∫()为曲边梯形的平均高度。 困难:的具体位置不知,不能得到∫(4)的准确值 解决方法:若提供f()的近似求法,则定积分的值 即可求得,便可相应得到一种数值求积方法。 这里提出求f(5)的近似值的几种解法: ①、f() f(b)+f(a 此时得到: I=Lf(drx f(b)+f(a) (b-a) 称之为梯形公式 b+a ②、∫(4)≈∫( ,此时得到: 2 b+a I=f(x)d≈f(")(b-a), 2 称之为(中)矩形公式。 ③、若在[a,b中有n+1个点xk,(k=0,1,…,n),且 已知函数∫(x)在每个已知点上的函数值 f(xk)=yk,(k=0,1,…,n),则:
I f (x)dx f ( )(b a) b a = = − ，即积分 值等于底为 (b − a) ，高为 f ( ) 的 矩形面积。 称 f ( ) 为曲边梯形的平均高度。 困难： 的具体位置不知，不能得到 f ( ) 的准确值 解决方法：若提供 f ( ) 的近似求法， 则定积分的值 即可求得，便可相应得到一种数值求积方法。 这里提出求 f ( ) 的近似值的几种解法： ①、 ( ) ( ) ( ) 2 f b f a f + ， 此时得到： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 b a f b f a I f x dx b a + = − ， 称之为梯形公式。 ②、 ) 2 ( ) ( b a f f + ， 此时得到： )( ) 2 ( ) ( b a b a I f x dx f b a − + = ， 称之为（中）矩形公式。 ③、若在 [a,b] 中有 n + 1 个点 x , (k 0,1, ,n) k = ，且 已 知 函 数 f (x) 在 每 个 已 知 点 上 的 函 数 值 k k f (x ) = y ， (k = 0,1, ,n) ，则：
b I=f(x)∑4f(xk)=l,(*1) k=0 称为一般的求积公式。 上述中的n+1个点xk,(k=0,1,…,m)称为 求积节点,系数A,(k=0,1,…,n),称为求积系数。 注意:求积系数A只与节点xk的选取有关,当节 点取不同的值的时候,对应不同的求积系数。 截断误差为: =1-1n=f(x)k-∑4f(x) 称为求积余项。 在上述所说的一般求积公式当中有的求积系 数的选取使得公式对更多的∫(x)都能让约等号成 为等号,这正是我们下面所要讨论的代数精度的问 题。上述中若是等号成立,则说公式精确成立;否 则,则称公式不精确成立。 代数精度 定义1:如果某个求积公式对所有次数不超过n的 多项式都精确成立,而至少对一个m+1次的多项 式不精确成立,则称该求积公式具有m次代数精 度
n n k k k b a I = f x dx A f x = I = 0 ( ) ( ) ， （*1）, 称为一般的求积公式。 上述中的 n + 1 个点 x , (k 0,1, ,n) k = 称为 求积节点，系数 A ,(k 0,1, ,n) k = , 称为求积系数。 注意：求积系数 Ak 只与节点 k x 的选取有关，当节 点取不同的值的时候，对应不同的求积系数。 截断误差为： = = − = − n k k k b a Rn I In f x dx A f x 0 ( ) ( ) ， 称为求积余项。 在上述所说的一般求积公式当中有的求积系 数的选取使得公式对更多的 f (x) 都能让约等号成 为等号，这正是我们下面所要讨论的代数精度的问 题。上述中若是等号成立，则说公式精确成立；否 则，则称公式不精确成立。 三、 代数精度 定义 1：如果某个求积公式对所有次数不超过 m 的 多项式都精确成立，而至少对一个 m + 1 次的多项 式不精确成立，则称该求积公式具有 m 次代数精 度
定理1:一个求积公式具有M次代数精度<求 积公式对x,(k=0,1,…,m)精确成立,而对 x不精确成立 例1:试验证梯形公式和(中)矩形公式具有一次 代数精度。 解:对梯形公式=f(x)≈ f(b)+f(a (b-a) 进行验证,用定理1,梯形公式对 x,(k=0,1,…,m) 精确成立,而对x不精确成立。 则:①当f(x)=x"=1时, 左端=I=f(x)dx=[1dx=b-a 右端 l=1((6)+(0)b-a)=1×2×(6-0)=b-a 说明当f(x)=x"=1时,梯形公式的左端与右端精 确成立。 ②当f(x)=x时
定理 1：一个求积公式具有 m 次代数精度 求 积公式对 x ,(k 0,1, ,m) k = 精 确 成 立 ，而 对 m+1 x 不精确成立。 例 1：试验证梯形公式和（中）矩形公式具有一次 代数精度。 解：对梯形公式 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 b a f b f a I f x dx b a + = − 进行验证，用定理 1，梯形公式对 x ,(k 0,1, ,m) k = 精确成立，而对 m+1 x 不精确成立。 则：①.当 ( ) 1 0 f x = x = 时， 左端 ( ) 1 b b a a = = = = − I f x dx dx b a 右端 = I = f b + f a b − a = 2 (b − a) = b − a 2 1 ( ( ) ( ))( ) 2 1 说明当 ( ) 1 0 f x = x = 时，梯形公式的左端与右端精 确成立。 ②.当 1 f (x) = x 时
左端=/=f(x)dx=xd=(b2-a2) 右端 (f(b)+f(a)(b-a)=x(b+a)×(b-a)=(b2-a2) 说明当f(x)=x2时,梯形公式的左端与右端精确成 立 ③当f(x)=x时, 左端==。(x)=mx2k=(b3-d2) 右端 (f(b)+f(a)(b-a) 3Y63 +a2)×(b-a)≠ 左端 说明当∫(x)=x时,梯形公式的左端与右端 不精确成立。 由定理1可知,梯形公式具有一次代数精度。 同理,可证得(中)矩形公式也只具有一次代数精 度 例2:给定求积公式
左端 1 2 2 ( ) ( ) 2 b b a a = = = = − I f x dx xdx b a 右端 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ( ) ( ))( ) 2 1 2 2 = f b + f a b − a = b + a b − a = b − a 说明当 1 f (x) = x 时，梯形公式的左端与右端精确成 立。 ③.当 2 f (x) = x 时， 左端 2 3 3 1 ( ) ( ) 3 b b a a = = = = − I f x dx x dx b a 右端 1 1 2 2 ( ( ) ( ))( ) ( ) ( ) 2 2 = + − = + − f b f a b a b a b a 左端 说明当 2 f (x) = x 时，梯形公式的左端与右端 不精确成立。 由定理 1 可知，梯形公式具有一次代数精度。 同理，可证得（中）矩形公式也只具有一次代数精 度。 例 2：给定求积公式