《计算方法》第三章（3-2）矩阵的三角分解

计算的规律性:计算时,除用到ak外, 仅用到前k-1框中与它位于同一行的k与同一列 的ly的乘积之和;而计算k时,规律与“一样, 只不过最后还要用4k除一下。因此可以按下图所 示逐框求出矩阵A的LU分解,这种计算方法称紧 凑格式。 例求A的LU分解,其中 214 A=441 6512 解:用紧凑格式法 l12=a12=1 l13=a13=4 22=a l21·u1 2 11 2 33=43-l31l13-132:l23 7

47 计算的规律性：计算 ukj 时，除用到 akj 外， 仅用到前 k −1 框中与它位于同一行的 ks l 与同一列 的 sj u 的乘积之和；而计算 ik l 时，规律与 kj u 一样， 只不过最后还要用 kk u 除一下。因此可以按下图所 示逐框求出矩阵 A 的 LU 分解，这种计算方法称紧 凑格式。 例 求 A 的 L U 分解，其中           = 6 5 12 4 4 1 2 1 4 A . 解： 用紧凑格式法 u11 = a11 = 2 u12 = a12 =1 u13 = a13 = 4 2 7 2 22 22 21 12 23 23 21 13 11 21 21 = − = −  = = −  = = u a l u u a l u a a l 7 1 3 33 33 31 13 32 23 22 32 31 12 32 11 31 21 = = −  −  = −  = = = u a l u l u u a l u l a a l

214 A=LU=2 1 将矩阵A进行LU分解后,解线性方程组Ax=b 转化为依次解下三角方程组L=b与上三角方程组 Ux=y, by nn-I 得同解方程组 21y+ 2 b2 解得从k=bk∑kys(k=1,2,…m) 解Ux=y

48             −           = = 7 2 7 2 1 4 3 1 1 2 1 1 A LU 将矩阵 A 进行 LU 分解后，解线性方程组 Ax = b 转化为依次解下三角方程组 Ly = b 与上三角方程组 Ux = y ， 1 1 21 2 2 1 1 1 0 1 1 n nn n n y b l y b Ly l l y b −             = =                         得同解方程组： 1 1 21 1 2 2 n n n n 1 1 2 2 y b l y y b l y l y y b  =   + =     + + + = 解得 1 1 ( 1,2, , ) k k k ks s s y b l y k n − = = − =  解 Ux = y

2 nx2y2 得同解方程组: 11x1+v12x2+…+1nxn=y l22+…+l2nxn=y2 nn n xk=(k-∑ usx 1.n k+1 -∑ (k=1,2,…,n) S=1 xk=(yk-∑ukx,)(k=n,n-1,…1) S=k+1 优点: 1、当要解多个系数矩阵为A的线性方程组时,只 要对系数矩阵做一次LU分解,以后只要解三角

49 11 12 1 1 1 22 2 2 2 0 n n nn n n u u u x y u u x y u x y                   =                   得同解方程组： 11 1 12 2 1 1 22 2 2 2 n n n n nn n n u x u x u x y u x u x y u x y  + + + =   + + =     = 1 ( ) ( , 1, ,1) n k k ks s s k x y u x k n n = + = − = −         = − = − = − =   = + − = ( ) ( , 1, ,1) ( 1,2, , ) 1 1 1   x y u x k n n y b l y k n n s k k k ks s k s k k ks s 优 点： 1、当要解多个系数矩阵为 A 的线性方程组时，只 要对系数矩阵做一次 LU 分解，以后只要解三角

形方程组即可; 2、可以根据系数矩阵的形状来设计算法 缺点 、lk不能为0; 2、uk的绝对值很小时误差会很大,数值不稳定。 原因:LU分解法的实质是高斯消去法。 例:用LU分解法解方程组 1648 45-4 8-422八(x 10 解:用紧凑格式 16 4 164 2 4-2=-6 4-2-3 32 NW2-4_9=9 矩阵A的LU分解式为:

50 形方程组即可； 2、可以根据系数矩阵的形状来设计算法。 缺 点： 1、 kk u 不能为 0； 2、 ukk 的绝对值很小时误差会很大，数值不稳定。 原因： LU 分解法的实质是高斯消去法。 例：用 LU 分解法解方程组           − − 8 4 22 4 5 4 16 4 8           3 2 1 x x x =          − 10 3 4 解：用紧凑格式 11 12 13 21 22 23 31 32 33 16 4 8 4 1 5 1 4 4 2 6 16 4 8 1 4 2 3 22 4 9 9 16 2 4 2 u u u l u u l l u = = = = = = − = = − − = − − − − = = = = = − − = 矩阵 A 的 LU 分解式为：

1648 1/41 1/2-3/2 4 3→ 4 由 1/2-3/2 18 1648x1 4 9/4 4→ 再由 18 xxx 课堂练习: 对矩阵A作LU分解,A87210 4836 1261120 4215 结果,21

51           −           − 9 4 6 16 4 8 1/ 2 3/ 2 1 1/ 4 1 1 。 由          − =                     − =                     − 18 4 4 10 3 4 1/ 2 3/ 2 1 1/ 4 1 1 3 2 1 3 2 1 y y y y y y ， 再由          − =                     − =                     − 2 4 9 / 4 18 4 4 9 4 6 16 4 8 3 2 1 3 2 1 x x x x x x 。 课堂练习： 对矩阵 A 作 LU 分解， 4 2 1 5 8 7 2 10 4 8 3 6 12 6 11 20 A     =         。 结果： 1 4 2 1 5 2 1 3 0 0 1 2 1 2 1 3 0 4 1 1 A         =                