§2差商、牛顿插值多项式 在计算过程中,若需要再增加插值节点并求出 新的插值函数,则 Lagrange插值公式所有的基函 数都要重新计算,造成计算量的很大浪费。而以下 介绍的牛顿插值公式可以克服这一缺陷,可在原有 插值多项式的基础上灵活的增加插值节点。 差商及其性质: 、相关定义 设给出函数f(x)在点x,x,…, 的函数值,则有: f(x1)-f(x0) 称∫[x0,x1l= 为函数∫(x)在 点的一阶差商。 一阶差商的差商 fxo,x21-fxo,x, ∫x,x1,x2l 称为函数∫(x)在x,X和x2点的二阶差商。 n-1阶差商的差商 055 n-2~n-1 091
8 §2 差商、牛顿插值多项式 在计算过程中，若需要再增加插值节点并求出 新的插值函数，则 Lagrange 插值公式所有的基函 数都要重新计算，造成计算量的很大浪费。而以下 介绍的牛顿插值公式可以克服这一缺陷，可在原有 插值多项式的基础上灵活的增加插值节点。 一、 差商及其性质： 1、相关定义 设给出函数 f (x) 在点 0 x ， 1 x ，… ， n x ，…上 的函数值 ，则有： 称 [ , ] x0 x1 f 1 0 1 0 f x f x ( ) ( ) x x − = − 为函数 f (x) 在 0 x 、 1 x 点的一阶差商。 一阶差商的差商 [ , , ] x0 x1 x2 f 2 1 0 2 0 1 [ , ] [ , ] x x f x x f x x − − = 称为函数 f (x) 在 0 x , 1 x 和 x2 点的二阶差商。 n − 1 阶差商的差商 [ , , , ] x0 x1 xn f 1 0 2 0 2 1 [ , , , ] [ , , , ] − − − − − − = n n n n n n x x f x x x f x x x
称为函数f(x)在x0,x1,…,xn点的n阶差商。 见插商表4-1 2、性质 性质1:差商∫1x0,x,…,x可表示为函数值的线 性组合,即几xx…,xl=∑af(x), i=0 其中 1/I( j=0,j≠i 该性质表明:差商与节点的排列次序无关,即: fx0,x,;…,xnl=∫x 15~09 f[x1,…,xn,x 这就是差商的对称性。 性质2 f[x1,…,xn]-f[xo2…,xmn1 f[x,x2…,xn]=[x1;…xn212x02xn fx1,…,xn]-f[x12…,xn12x0
9 称为函数 f (x) 在 x x xn , , , 0 1 点的 n 阶差商。 见插商表 4-1 2、性质： 性质 1 ：差商 [ , , , ] x0 x1 xn f 可表示为函数值的线 性组合，即 = = n i n i xi f x x x a f 0 0 1 [ , ,, ] ( ) ， 其中： = = − n j j i ai xi x j 0, 1/ ( ) 。 该性质表明：差商与节点的排列次序无关，即： [ , , , ] x0 x1 xn f ＝ [ , , , ] x1 x0 xn f ＝ … ＝ [ , , , ] x1 x x0 f n 这就是差商的对称性。 性质 2 1 0 1 0 1 0 [ , , ] [ , , ] [ , , , ] n n n n f x x f x x f x x x x x − − = − 0 1 1 1 0 [ , , , ] [ , , , ] n n n f x x x f x x x x = − 1 1 1 0 0 [ , , ] [ , , , ] n n n f x x f x x x x x − − = −
f[x1,…,xn]-f[ 0:1…2x 性质3设∫(x)在所含节点x0,x1;…,x的区间 a,b上有n阶导数,则在该区间内至少有一点 ∈a,b,使得: xn,x,…,xn=f(4)/n 由该性质可知,若∫(x)为n次多项式,则其n阶 差商为一常数。也就是说,当一个函数的n阶差商 接近于常数时,那么用M次多项式近似是恰当的。 例:设f(x)=x+5x3+1,求差商f20,21, 120,2,2,[212:81[22…22] 解:f(1)=7,f(2)=27+5×23+1=169, f(4)=4+5×43+1=16705 f(2)-f(1) =169-7=162 2-1 f(4)-f(1)16705-7 =5566 4-1 3
10 1 0 1 1 0 [ , , ] [ , , , ] n n n f x x f x x x x x − − = − 性质 3 设 f (x) 在所含节点 x x xn , , , 0 1 的区间 [a,b] 上有 n 阶导数，则在该区间内至少有一点 [a,b] ，使得： [ , , , ] ( )/ ! ( ) f x0 x1 x f n n n = 由该性质可知，若 f (x) 为 n 次多项式，则其 n 阶 差商为一常数。也就是说，当一个函数的 n 阶差商 接近于常数时，那么用 n 次多项式近似是恰当的。 例：设 7 3 f x x x ( ) 5 1 = + + ， 求 差商 0 1 f 2 ,2 ， 0 1 2 f 2 ,2 ,2 ， 0 1 7 f 2 ,2 , ,2 和 0 1 7 8 f 2 ,2 , ,2 ,2 。 解: 7 3 f f (1) 7, (2) 2 5 2 1 169 = = + + = , 7 3 f (4) 4 5 4 1 16705 = + + = 0 1 (2) (1) 2 ,2 169 7 162 2 1 f f f − = = − = − 0 2 (4) (1) 16705 7 2 ,2 5566 4 1 3 f f f − − = = = −
f2,25566-162 21.2 =2702 22-21 2 f(2)7 7! (8 2021-.28 0 8! 、牛顿( Newton)插值多项式: 设x是[,b上的一点,则由差商的定义可以 得到一系列的等式: f(x)-f(x0) X-x →∫(x)=f(x0)+f[x,x0l(x-x0) fLx,xo]-f[o, x1I ) X-x →∫[x,X=fx0,x1l+f[x,x0,X1l(x-x1) fx,x0,x1]= 05~15~2 flr.xxilr-X 50, 1=ft ,xl+fx, xo,xi,,x,(x-x) 11
11 0 2 0 1 0 1 2 2 1 2 ,2 2 ,2 5566 162 2 ,2 ,2 2702 2 2 2 f f f − − = = = − (7) 0 1 7 ( ) 7! 2 ,2 , ,2 1 7! 7! f f = = = (8) 0 1 8 ( ) 0 2 ,2 , ,2 0 8! 8! f f = = = 二、牛顿（Newton）插值多项式： 设 x 是 [a,b] 上的一点，则由差商的定义可以 得到一系列的等式： 0 f x x [ , ] 0 0 f x f x ( ) ( ) x x − = − ( ) ( ) [ , ]( ) 0 x x0 x x0 f x = f x + f − 0 0 1 0 1 1 [ , ] [ , ] [ , , ] f x x f x x f x x x x x − = − [ , ] [ , ] [ , , ]( ) 0 0 1 x x0 x1 x x1 f x x = f x x + f − [ , , ] [ , , ] [ , , , ]( ) 0 1 0 1 2 x x0 x1 x2 x x2 f x x x = f x x x + f − … … … … … … … … … [ , , , ] [ , , , ] [ , , , , ]( ) 0 n 1 0 1 n x x0 x1 xn x xn f x x x − = f x x x + f −
依次把后式代入前式,最后可得: f(=f(o)+f[,x(x-xo +[x0,1x21( x-nox-x +…+f[xo,…,xn](x-x)…(x-xn21) +fIx.x 0 X(X-X X-X 记P(x)=f(x0)+[x2x1](x-x) +flxoxix((=x1+ 十 x.=X -d 0 )(1) Rn(x)=fx,x0,…,xnl(x-x0)(x-x1)…(x-xn) (2) f(r)=p (x)+r(x) (3) 由于P(x)是一个次数Sn的多项式,又由 (2),(3)式可知P(x)是满足插值条件的插值多 项式。称(1)式为 Newton插值多项式。 注意: Newton插值多项式与 Lagrange插值多项式 是同一函数f(x)的插值多项式中两种不同的表达 形式,它们实质上是同一个多项式。 要计算 Newton插值多项式P(x),只要计算出
12 依次把后式代入前式，最后可得： ( ) ( ) [ , ]( ) 0 0 1 0 f x f x f x x x x = + − [ , , ]( )( ) 0 1 2 0 1 + − − f x x x x x x x ++ 0 0 1 [ , , ]( ) ( ) n n f x x x x x x − − − 0 0 [ , , , ]( ) ( ) n n + − − f x x x x x x x 记 P (x) n 0 0 1 0 = + − f x f x x x x ( ) [ , ]( ) 0 1 2 0 1 + − − + f x x x x x x x [ , , ]( )( ) + [ , , ]( ) ( ) x0 xn x − x0 x − xn−1 f （ 1 ） ( ) [ , , , ]( )( ) ( ) n x x0 xn x x0 x x1 x xn R x = f − − − （2） 则： f (x) P (x) R (x) = n + n （3） 由于 P (x) n 是一个次数 n 的多项式，又由 （2），（3）式可知 P (x) n 是满足插值条件的插值多 项式。称（1）式为 Newton 插值多项式。 注意：Newton 插值多项式与 Lagrange 插值多项式 是同一函数 f (x) 的插值多项式中两种不同的表达 形式，它们实质上是同一个多项式。 要计算 Newton 插值多项式 P (x) n ，只要计算出