第三章线性方程组解法 (对线性代数方程组4x=b的近似解法) ●问题的提出: 求解线性方程组Ax=b,且A|≠0,其中 12 In 21 22 2n n2 b 对方程组Ar=b的解法主要用 cramer法则求 解。 ( Cramer法则:若detA≠0,则线性方程组的解 为x 其中
第三章 线性方程组解法 （对线性代数方程组 Ax = b 的近似解法） ⚫ 问题的提出： 求解线性方程组 Ax = b ，且 | A| 0 ,其中 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ， = xn x x x 2 1 ， = bn b b b 2 1 对方程组 Ax = b 的解法主要用 Cramer 法则求 解。 （Cramer 法则：若 det 0 A ，则线性方程组的解 为 1 2 , , , , 1 2 n x x x n = = = 其中
△、(j=1,2,…,m)是以常数项向量b代换A中的第 列向量a;=(a1;a 后得到的n阶行 列式) 困难 当方程组的阶数M很大时, Cramer法则的计 算量很大,不便使用。 解决方法 1.直接解法:( Gauss消去法及其变形、矩 阵分解法等) 2.迭代解法:构造某种极限过程去逐步逼近 方程组的解(Jac0bi迭代法 Gauss- Seidel迭代法、逐次超松弛迭代法 等)。 注:如果没有特别提出,总是假定系数行列式的值 A|≠0 §1Guss消去法、矩阵分解法 ●GaSs逐步消去法: 例1、求解三阶线性代数方程组Ax=b的解。其 中
( 1,2, , ) j n j = 是以常数项向量 b 代换 A 中的第 j 列向量 ( , , , ) 1 2 T a a a j j j nj a = 后得到的 n 阶行 列式） ⚫ 困难： 当方程组的阶数 n 很大时， Cramer 法则的计 算量很大，不便使用。 ⚫ 解决方法： 1. 直接解法：（ Gauss 消去法及其变形、矩 阵分解法等） 2. 迭代解法：构造某种极限过程去逐步逼近 方 程 组 的 解 （ Jacobi 迭 代 法 、 Gauss − Seidel 迭代法、逐次超松弛迭代法 等）。 注：如果没有特别提出，总是假定系数行列式的值 | A| 0 。 §1 Gauss 消去法、矩阵分解法 ⚫ Gauss 逐步消去法： 例 1、求解三阶线性代数方程组 Ax = b 的解。其 中
A=45-1x=x2|·b=11 解:对线性方程组的求解,主要是讨论其增广矩阵 IA|b,即: 5-1 r2-2n1 r3-0.51 241200 3-3 2.50.5 3.5 211 r2+ 03-3 3 等价的线性方程组为:
− = − 1 2 1 4 5 1 2 1 1 A , = 3 2 1 x x x x , = 0 11 7 b 解：对线性方程组的求解，主要是讨论其增广矩阵 [A| b] ，即： − − − ⎯⎯⎯→ − − = − − − 3.5 3 7 0 2.5 0.5 0 3 3 2 1 1 0 11 7 1 2 1 4 5 1 2 1 1 3 1 2 1 0.5 2 r r r r A − − − ⎯⎯⎯→ − + 6 3 7 0 0 2 0 3 3 2 1 1 3 2 6 5 r r 等价的线性方程组为：
2x,+x,+x,=7 3x2-3x3=-3 2x,=-6 由第三个方程当中解出x3=3,代入第二 个方程可得x2=2,将上述两个值代入第一个方 程中解得:x1=1 经过上述解题过程当中的消元和回代过程的解 题方法,称之为GS逐步消元法。其中an称为 主元素。只要i≠0,(=1,2,…,n),GaSs 逐步消元法就可以做下去。 由上述解题过程可得,对于一般的线性方程组, 解题步骤主要有如下几步: ①判断1=0?若a1≠0则做r1-r1 (=2,3),将a1,i=2,3化为0; ②判断2=0?若2≠0,重复上述步骤, 直至将最后一个方程化为:a3x3=b3,则可解
− = − − = − + + = 2 6 3 3 3 2 7 3 2 3 1 2 3 x x x x x x 由第三个方程当中解出 x3 = 3 ，代入第二 个方程可得 x2 = 2 ，将上述两个值代入第一个方 程中解得： x1 = 1 。 经过上述解题过程当中的消元和回代过程的解 题方法，称之为 Gauss 逐步消元法。其中 aii 称为 主元素。只要 aii 0 ， (i = 1,2, ,n) ， Gauss 逐步消元法就可以做下去。 由上述解题过程可得，对于一般的线性方程组， 解题步骤主要有如下几步： ①判断 a11 = 0 ？ 若 a11 0 则 做 1 11 1 r a a r i i − (i = 2,3) ，将 ai1 ,i = 2,3 化为 0； ②判断 a22 = 0 ？若 a22 0 ，重复上述步骤， 直至将最后一个方程化为： a33 x3 = b3 ，则可解
出x ⑧将x3回代于第二个方程解出x2,再回代到第 个方程中解出x1° 特点:在顺序的消元过程,存在一些重复的步骤(可 利用计算机的长处) 下面来看n阶线性代数方程组4x=b的 Gas逐步消去法: 设an≠0(i=1,2,…,m)。一般情况下的 Gas逐步消去法过程为,对方程组4x=b, 即: 1x1+a12x2+…+m1nxn=a1n+1 21x1+a22x2+…+a2nXn=a2n+1 n1+an2x2+…+ a x=m H+1 进行消元,对其增广矩阵[A|b,首先消去第 列除m1之外的所有元素,做n
出 x3 ； ③将 x3 回代于第二个方程解出 x2 ，再回代到第 一个方程中解出 1 x 。 特点：在顺序的消元过程，存在一些重复的步骤（可 利用计算机的长处）。 下面来看 n 阶线性代数方程组 Ax = b 的 Gauss 逐步消去法： 设 a 0(i 1,2, ,n) ii = 。 一 般 情 况 下 的 Gauss 逐步消去法过程为，对方程组 Ax = b ， 即： + + + = + + + = + + + = + + + 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 n n nn n nn n n n n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a 进行消元，对其增广矩阵 [A | b] ，首先消去第一 列 除 a11 之 外 的 所 有 元 素 ， 做 1 11 1 r a a r i i −