§3牛顿( Newton)迭代方法 、 Newton迭代方法的计算公式 牛顿迭代法计算公式的推导过程 本节所讨论的是:f(x)=0 设x是f(x)=0的根,f(x)在x的邻域内 具有二阶连续导数,在x的邻域内取一点x, 使f(x0)≠0,将它在x点二阶 Taylor展开 得 f()3()+(Xx=0)+21(x-52 ≈f(x0)+f(x0(x-x) 又f(x)=0,则有: f(x0)+f(x0Xx-x0)≈0 →f(x)=0的近似解x≈x f(x0)
77 §3 牛顿（Newton）迭代方法 一、Newton 迭代方法的计算公式 ⚫ 牛顿迭代法计算公式的推导过程 本节所讨论的是： f (x) = 0 。 设 x * 是 f (x) = 0 的根， f (x) 在 x * 的邻域内 具有二阶连续导数，在 x * 的邻域内取一点 0 x ， 使 f (x0 ) 0 ，将它在 0 x 点二阶 Taylor 展开 得： ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 2! f f x f x f x x x x x + − + − ( ) ( )( ) 0 0 0 f x + f x x − x 又 f (x) = 0 ，则有： f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) 0 f (x) = 0 的近似解 ( ) ( ) 0 0 0 f x f x x x −
f(x0) 记x1=x f(x0) 类似,在点x处 Tay lor展开,可得: f(x1) f(x1) x≈x 记: f'(x1) 2 依次往下做,可得一般的迭代格式: f(n) h1一 (n=0,12…) 上述迭代格式称为求∫(x)=0的解的牛顿迭 代法。 几何意义
78 记 ( ) ( ) 0 0 1 0 f x f x x x = − 类似，在点 1 x 处 Taylor 展开，可得： ( ) ( ) 1 1 1 f x f x x x − ，记： ( ) ( ) 1 1 2 1 f x f x x x = − 依次往下做，可得一般的迭代格式： , ( 0,1, ) ( ) ( ) 1 = + = − n f x f x x x n n n n 上述迭代格式称为求 f (x) = 0 的解的牛顿迭 代法。 ⚫ 几何意义
y y=f( xo 在点(x0,f(x处作(x)的切线,交x 轴于一点,求该点的横坐标。此切线方程为: y-f(x0)=f(x0(x-x0),当y=0时, f(x0) 得:x=x ,正是x的值。 依次类推,在点(xn2,f(xn)作函数f(x) 的切线,交x轴于一点,切线方程为 y-f(xn)=f(xn)(x-xn),当y=0时
79 在点 ( , ( )) 0 0 x f x 处作 f (x) 的切线，交 x 轴于一点，求该点的横坐标。此切线方程为： ( ) ( )( ) 0 0 0 y − f x = f x x − x ，当 y = 0 时， 得： ( ) ( ) 0 0 0 f x f x x x = − ，正是 1 x 的值。 依次类推，在点 ( , ( )) n n x f x 作函数 f (x) 的切线，交 x 轴 于 一 点 ， 切 线 方 程 为 ： ( ) ( )( ) n n n y − f x = f x x − x ，当 y = 0 时
得:x=x f(x ,正是xn1的值 f(xn) 牛顿迭代法又称为切线求根法。 迭代法收敛的条件与收敛速度(针对单根而 言) 定理:设f(x)=0,f(x)≠0,且f(x)在x的 邻域内具有二阶连续导数,则由牛顿迭代法产 生的迭代序列 f(xn) (n=0,,…) “”f"(xn) 局部收敛于x,且为平方收敛。 证明:在牛顿迭代法的迭代格式中,迭代函数 为: p(x=x f(x) f'(x) f(x)在x的邻域内具有二阶连续导 数,即
80 得： ( ) ( ) n n n f x f x x x = − ，正是 n+1 x 的值。 牛顿迭代法又称为切线求根法。 ⚫ 迭代法收敛的条件与收敛速度（针对单根而 言） 定理：设 f x f x ( ) 0, ( ) 0 * * = ，且 f (x) 在 x * 的 邻域内具有二阶连续导数，则由牛顿迭代法产 生的迭代序列 , ( 0,1, ) ( ) ( ) 1 = + = − n f x f x x x n n n n 局部收敛于 x * ，且为平方收敛。 证明：在牛顿迭代法的迭代格式中，迭代函数 为： ( ) ( ) ( ) f x f x x x = − f (x) 在 x * 的邻域内具有二阶连续导 数，即
Q(x)=1 ("(x)2-f(x)f"(x) √f"(x)2 f(xf() (f"(x) 又f(x") 0, q(x)=0<1, →牛顿迭代法局部收敛于x"(由定理2) 又∵ 0(x)=[(x)f(x)f"(x+(xf"x)-2/)x)( [f(x) (x)=/")≠0 f(x) 即有:牛顿迭代法具有二阶(平方)收敛速 度(由定理3)。 说明,只要x充分接近x,按照牛顿迭代格式 计算的迭代序列总是收敛于x的,且收 敛的速度为平方收敛
81 2 2 2 ( '( )) ( ) ''( ) ( '( )) ( '( )) ( ) ''( ) '( ) 1 f x f x f x f x f x f x f x x = − = − 又 f x( ) 0 * = ， ( ) 0 1 x * = ， 牛顿迭代法局部收敛于 x * （由定理 2） 又 2 2 '( ) '( ) ''( ) ( ) '''( ) 2 ( ) ''( ) '( ) 4 '( ) ( ) f x f x f x f x f x f x f x f x f x x + − = * * * ''( ) 0 '( ) ( ) f x f x x = 即有：牛顿迭代法具有二阶（平方）收敛速 度（由定理 3）。 说明，只要 0 x 充分接近 x * ，按照牛顿迭代格式 计算的迭代序列总是收敛于 x * 的，且收 敛的速度为平方收敛