第二节迭代法 迭代原理 迭代方法是依靠收敛的迭代序列来求 方程根的近似值。 ●简单迭代法的基本思想 将方程f(x)=0化为等价方程x=0(x) 然后在隔根区间内取一点x,按下式计算 (k=0,1,2,…) 计算结果生成数列 2啊1 如果这个数列有极限Mmk,显然 k→x 就是方程x=q(x)的根。于是可以从此数列 中求得满足精度要求的近似根。 ●相关定义 迭代法:上述求方程的根的方法 迭代格式: k+1=9(x k (k=0,1,2…)
第二节 迭代法 一、 迭代原理 迭代方法是依靠收敛的迭代序列来求 方程根的近似值。 ⚫ 简单迭代法的基本思想 将方程 f x( ) 0= 化为等价方程 x x =( ) ， 然后在隔根区间内取一点 0 x ，按下式计算 1 ( ) k k x x + = （ k =0,1,2, ） 计算结果生成数列 0 1 , , , ,k x x x 如果这个数列有极限 * lim x x k k = → ，显然 x * 就是方程 x x =( ) 的根。于是可以从此数列 中求得满足精度要求的近似根。 ⚫ 相关定义 迭代法： 上述求方程的根的方法. 迭代格式： ( ) ( 0,1,2, ) 1 x x k k k = = +
迭代函数:(x) 迭代初始值:x 迭代序列: kk=0 若序列{x kk=0 收敛,则称迭代格式收 敛;否则,称迭代格式x, k+1k)是发散 的。 ●简单迭代法的步骤 1.将f(x)=0分x=m(x),其中m(x)不唯一, 但总能找到。 2.设f(x)∈C[a,b],且f(a)f(b)<0,即[a,b 是隔根区间, 在[b内取一点x,按下式计算 k+1=0(xk)(k=012…) (*1 可得一个序列x 若序列 k/k=0 是收 kk=0 敛的,即:
迭代函数： ( )x . 迭代初始值： 0 x . 迭代序列： 0 x k k = . 若序列 0 x k k = 收敛，则称迭代格式收 敛；否则，称迭代格式 ( ) 1 x x k k = + 是发散 的。 ⚫ 简单迭代法的步骤 1.将 f x( ) 0= x x =( ) ，其中 ( )x 不唯一， 但总能找到。 2.设 f x C a b ( ) [ , ] ，且 f a f b ( ) ( ) 0 ，即 [ , ] a b 是隔根区间， 在 [ , ] a b 内取一点 0 x ，按下式计算： ( ) ( 0,1,2, ) 1 x x k k k = = + (*1) 可得一个序列 0 x k k = ，若序列 0 x k k = 是收 敛的，即：
lm X k 对(*1)式两边取极限得 k-。k+1k20k k->ook+1-,lim k/-p(r) Im 即:x*为方程x=0(x)的根,也就是 f(x)=0的根。 例1.用迭代法求方程x4+2x2-x-3=0在 [1.2]内的实根。取xn=1 (精确解为x*=1.124123029)。 解:对方程进行如下三种变形: ①、x=q(x)=x4+2x2-3, 建立迭代格式: x1=q2(x)=x(+2x2-3,(n=0,,) 可得:x=96x=8495307×107,显然这 是一个发散的迭代格式
* lim x x k k = → 对（*1）式两边取极限得： ( ) lim lim 1 x x k k k k = → → + * * ( ) ( ) lim lim 1 x x x x k k k k = = = → → + 即： x * 为方程 x x =( ) 的根，也就是 f x( ) 0= 的根。 例 1．用迭代法求方程 x x x 4 2 + − − = 2 3 0 在 [1,1.2] 内的实根。取 0 x =1 。 （精确解为 x * =1.124123029 ）。 解：对方程进行如下三种变形： ①、 4 2 1 x x x x = = + − ( ) 2 3 ， 建立迭代格式： 4 2 1 1( ) 2 3, ( 0,1, ) n n n n x x x x n + = = + − = 可得： 3 4 x x = = 96, 8.495307 107 ，显然这 是一个发散的迭代格式
②、x=9(x)=(3+x-2x)y 建立迭代格式: x1=q2(x)=(3+xn-2x2),(n=0,1,…) 可得:x=x,=1.124123,迭代格式 是收敛的。 ⑧、x=(x)=√x+4-1 建立迭代格式 n+1 g(x)=x+4-1,(m=0…) 可得:x=x=1.124123,迭代格式是收 敛的。 从上例可看出,对f(x)=0的迭代函数不 唯一,建立的迭代格式有的发散有的收敛, 有的收敛的快,有的收敛的慢 这正是下面所要讨论的两个问题:收敛 性问题和收敛速度问题。 收敛条件与误差估计 ●收敛条件
②、 1 2 4 2 x x x x = = + − ( ) (3 2 ) ， 建立迭代格式： 1 2 4 1 2( ) (3 2 ) , ( 0,1, ) n n n n x x x x n + = = + − = 可得： 26 27 x x = =1.124123 ，迭代格式 是收敛的。 ③、 3 x x x = = + − ( ) 4 1 ， 建立迭代格式： 1 3( ) 4 1, ( 0,1, ) n n n x x x n + = = + − = 可得： 6 7 x x = =1.124123 ，迭代格式是收 敛的。 从上例可看出，对 f x( ) 0= 的迭代函数不 唯一，建立的迭代格式有的发散有的收敛， 有的收敛的快，有的收敛的慢。 这正是下面所要讨论的两个问题：收敛 性问题和收敛速度问题。 二、收敛条件与误差估计 ⚫ 收敛条件
定理1设o(x)在有限区间[ab上存在,且 满足如下条件: (1)当x∈a,b时,(x)∈b], 即a≤q(x)≤b (*2) (2)存在正常数L<1,使得对∨x∈[a,b, (x)k≤L<1 (*3) 则:①在[ab上的解x存在且唯一; ②对任选的初始近似x∈[ab,由迭代 过程x+1=0(x(=012)产生的序列 {x2收敛到x 证明:①存在唯一性 由(*3)知,0(x)在[a,b]上连续, 令g(x)=x-m(x),则g(x)在[a,b]上连续。 由(*2)知:g(a)=a-m(a)≤0, g(b)=b-(b) 则方程g(x)=0在[ab上至少有一个根x*
定理 1 设 '( )x 在有限区间 [ , ] a b 上存在，且 满足如下条件： （1）当 x a b x a b [ , ] ( ) [ , ] 时， ， 即 a x b ( ) . (*2) （2）存在正常数 L1 ，使得对 x a b [ , ] ， | '( )| 1 x L (*3) 则：①在 [ , ] a b 上的解 x * 存在且唯一； ②对任选的初始近似 0 x a b [ , ] ，由迭代 过 程 ( ),( 0,1,2, ) 1 x x k k k = = + 产生的序列 { } x k 收敛到 x * 。 证明：①存在唯一性 由（*3）知， ( ) [ , ] x a b 在 上连续， 令 g x x x ( ) ( ), = − 则 g x a b ( ) [ , ] 在 上连续。 由（*2）知： g a a a ( ) ( ) 0, = − g b b b ( ) ( ) 0, = − 则方程 g x( ) = 0 在 [ , ] a b 上至少有一个根 x *