(1.17)可改写为i(E+,)=[(2)+z0'(a)+w(2]。-k，其中 k=[(e)+0'石)+（列。，上一节中已经说明，函数0中，可以任意增加一个复常数而 不影响应力和位移。可以设想在函数p中增加一个复常数y,使p成为p+y。这时p'保持 不变，而w则变成少+。于是我们总可以选择y，使 i(F+,)=[(e)+z0'(a)+(e]。-k中的k被抵消，该式可以简化为 [o(a)+zp'(a)+(e】。=i(E+if,) (9.19) 这就是应力边界条件的复数表示，它表明函数(z)+zp'(z)+W(z)在边界L上任意一点z 的值，等于起点与该点之间的面力的合力乘以i。 位移边界条件 设边界上位移给定，叫=五，，=下，要满足位移边界条件，即在区域内求两个解析函数， 使得在边界上 k0(a)-0'(a)-a)=24(e)+币(e川L1 (9.20) 这样弹性力学平面问题就归结为，求满足应力边界条件(1.19)式或位移边界条件(1.20)的解析 函数p(z)和W(z)。 值得注意的是，实际解题时，应用边界上面力的复数表示(1.19)并不总是方便的，有时 直接应用应力的复数表示来表示力边界条件反而会更方便，例如对边界平行或垂直于坐标轴 方向的情况。 9.6集中力作用于无限大平面内 图1-1 设集中力(P,Q)作用于坐标原点，因为集中力的解不便直接求得，可先求半径为R的 6
6 (1.17) 可改写为 ( ) [ ( ) ( ) ( )] x y P i F iF z z z z k + =+ + − ϕ ϕψ ′ ，其中 0 [ ( ) ( ) ( )] P k zzz z =+ + ϕ ϕψ ′ ，上一节中已经说明，函数ϕ 中，可以任意增加一个复常数而 不影响应力和位移。可以设想在函数ϕ 中增加一个复常数γ ，使ϕ 成为ϕ + γ 。这时ϕ′ 保持 不变，而 ψ 则变成 ψ +κγ ′ 。于是我们总可以选择 γ ， 使 ( ) [ ( ) ( ) ( )] x y P i F iF z z z z k += + + − ϕ ϕψ ′ 中的k 被抵消，该式可以简化为 [ ( ) ( ) ( )] ( ) x y P ϕ ϕψ z z z z i F iF + + =+ ′ (9.19) 这就是应力边界条件的复数表示，它表明函数ϕ ϕψ () () () zzz z + + ′ 在边界 L 上任意一点 z 的值，等于起点与该点之间的面力的合力乘以i 。 位移边界条件 设边界上位移给定， , L L u uv v = = ，要满足位移边界条件，即在区域内求两个解析函数， 使得在边界上 ( ) ( ) ( ) 2 [ ( ) ( )] z L z L κϕ ϕ ψ μ z z z z u z iv z ∈ ∈ −− = + ′ (9.20) 这样弹性力学平面问题就归结为，求满足应力边界条件(1.19)式或位移边界条件(1.20)的解析 函数ϕ( )z 和ψ ( )z 。 值得注意的是，实际解题时，应用边界上面力的复数表示(1.19)并不总是方便的，有时 直接应用应力的复数表示来表示力边界条件反而会更方便，例如对边界平行或垂直于坐标轴 方向的情况。 9.6 集中力作用于无限大平面内 图 1-1 设集中力(, ) P Q 作用于坐标原点，因为集中力的解不便直接求得，可先求半径为 R 的 x y T Xn Yn N O
圆孔，圆周上作用均布力X,=、 P Y=的解，然后令半径R趋近于零，就得到作 2πR 用集中力的解。由应力在极坐标中的复数表示 0,+0g=o+0,=4ReΦ(z) (9.21) o。-0,+2i,e=2e2a[EΦ'(a)+Ψ(z】 可导出 Φ+Φ-e2[zΦ'+]=0，-ire (9.22) 设孔边作用的面力为(N(t),T(t)(t=Re),由柯西公式，有 (N(),T()=T=(-1,0) =(-0,-t) (9.23) 孔边的边界条件： Φ(t)+Φ(t)-e2[ReeΦ'(t)+Ψ(t)]=-N(t)+iT(t) (9.24) 圆孔外Φ、平展开为Laurent级数 9-32 w- (9.25) 其中an,b,为复常数，因为无穷远处应力有限，所以上面展开式中没有z”(n≥1)的项。在应 力的复数表示中 ox+o,=4Re[Φ] (9.26) 0,-0x+2iry=2[EΦ'+Ψ] 令z→0，可以看出a,b。代表无穷远处的作用的均匀应力， Re(ap)= +a2,= 一0”十女四，而的虚部表示刚体转动，如果不计刚体 4 2 位移可令其为零。 在边界上把外力N(t)-iT(t)展开为复Fourier级数 N)-iT)=∑4eu=Re) (9.27) 将上式代入(1.24)中，比较等式两边同类项系数，就可确定an、b,，这是复变函数解法解 这类问题的基本思路。 在本问题中已知边界上x,y方向的外力，需转换为径向和切向的力，由向量在不同坐标 cos sin 系中的变换公式， 可求出 7
7 圆孔，圆周上作用均布力 2 2 n n P Q X Y π R π R = = 的解，然后令半径 R 趋近于零，就得到作 用集中力的解。由应力在极坐标中的复数表示 2 4Re ( ) 2 2 [ ( ) ( )] r xy i r r z i ez z z θ θ θ θ σ σ σσ σσ τ +=+= Φ − + = Φ +Ψ ′ (9.21) 可导出 2 [ ] i r r ez i θ σ θ Φ+Φ− Φ +Ψ = − ′ τ (9.22) 设孔边作用的面力为( ( ), ( )) Nt Tt ( ei t R θ = )，由柯西公式，有 ( ( ), ( )) ( 1,0) ( , ) r r r r r Nt Tt θ θ θ θ σ τ σ τ τ σ ⎛ ⎞ = − =− − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ niT = (9.23) 孔边的边界条件： 2 ( ) ( ) [ e ( ) ( )] ( ) ( ) i i t t e R t t N t iT t θ θ − Φ +Φ − Φ +Ψ =− + ′ (9.24) 圆孔外Φ 、 Ψ 展开为 Laurent 级数 0 0 n n n n n n a b z z ∞ ∞ = = Φ= Ψ= ∑ ∑ (9.25) 其中 , n n a b 为复常数，因为无穷远处应力有限，所以上面展开式中没有 ( 1) n z n ≥ 的项。在应 力的复数表示中 4 Re[ ] 2 2[ ] x y y x xy i z σ σ σσ τ += Φ − + = Φ +Ψ ′ (9.26) 令 z → ∞ ，可以看出 0 0 a b , 代表无穷远处的作用的均匀应力， () () () () ( ) Re( ) , 0 0 4 2 x y yx xy a bi σσ σσ τ ∞∞ ∞∞ ∞ + − = =+ ，而 0 a 的虚部表示刚体转动，如果不计刚体 位移可令其为零。 在边界上把外力 N t iT t () () − 展开为复 Fourier 级数 () () ( e ) in i n n N t iT t A e t R θ θ ∞ =−∞ −= = ∑ (9.27) 将上式代入(1.24)中，比较等式两边同类项系数，就可确定 n a 、 n b ，这是复变函数解法解 这类问题的基本思路。 在本问题中已知边界上 x, y 方向的外力，需转换为径向和切向的力，由向量在不同坐标 系中的变换公式， cos sin sin cos n n N X T Y θ θ θ θ ⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝⎠⎝ ⎠ − ⎝ ⎠ ，可求出