第一章三角形的证明、 4.如图，在△ABC中，AF 7.如图，在△ABC中，∠B= 平分∠BAC,AC的垂 45°，点D是边BC的中点， 直平分线交BC于点E, DE⊥BC于点D,交AB于 ∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=24° 点E,连接CE 5.如图，在△ABC中，∠C= (1)求∠AEC的度数； 90°，DE是AB的垂直平 (2)请你判断AE,EB,AC三条线段之间的 分线，AD恰好平分 等量关系，并证明你的结论， ∠BAC.若DE=1,则BC的长是3. 解(1)，点D是边BC的中点，DE⊥BC, 6.如图，在Rt△ABC中， .DE是线段BC的垂直平分线 ∠ACB=90°，D,E是 .EB=EC..∠ECB=∠B=45° 边AB上两点，且CE ∴.∠AEC=∠ECB+∠B=90°. 所在直线垂直平分线段AD,CD平分 (2)AE十EB=AC°.证明下： ∠BCE,BC=2W3,则AB=4, .∠AEC=90°，∴.AE2+EC=AC. '.'EB=EC,.'.AE2+EB2=AC. 第2课时 三角形三边的垂直平分线 ☑基础·自主梳理 1.三角形三边的垂直平分线 3.过一点作直线1的垂线 三角形三条边的垂直平分线相交于二 条件 作法 图示 点，并且这一点到三个顶点的距离相等， (1)以P为圆心，任意长 2.已知△ABC的三条边的垂直平分线的 为半径画弧，交直线！于 交点在△ABC的边上，则△ABC的形状 点A,B; 米C 为(B. 点P在 (2)分别以A,B为圆心， A.锐角三角形 直线！上 B.直角三角形 大于号AB的长为半径画 C.钝角三角形 弧，两弧交于点C; (3)作直线PC D.不能确定 19
/儿家庭作业·数学·八年级，下册·配北师大版 续表 温馨提示 条件 作法 图示 在直线1上得到两点A,B后，上述作 (1)以P为圆心画弧，使 法就是用尺规作一条线段的垂直平分线 弧与直线I交于点A,B: 的方法步骤了，这也是一种基本的尺规作 点P在 (2)分别以A,B为圆心， 图，应熟练掌握 直线1外 大于2AB的长为半径画 4.已知等腰三角形的底边及底边上的 弧，两弧交于点C 高，能画出一个三角形；已知三角形的一边及 (3)作直线PC 这边上的高，能画出无数个三角形 核心·重难探究 知识点三角形三边的垂直平分线 【例题】某社区要修建一处公共服务设 施，使它到三个公寓A,B,C的距离相等 (2)由线段的垂直平分线性质，得PA C PB=PC. B .∠BAP=∠ABP, (1)三个公寓A,B,C的位置如图，请你 ∠PAC=∠PCA,∠PBC=∠PCB. :∠BAC=66°，.∠BAP+∠PAC=66 在图中确定这处公共服务设施（用点P表示） ∴.∠ABP+∠ACP=66°. 的位置； 而∠ABC+∠ACB=180°-66°=114°， (2)若∠BAC=66°，则∠BPC的度数是 .∠PBC+∠PCB=114°-（∠ABP+ 多少？ ∠ACP)=114°-66°=48°. 思路点拨(1)到不在同一条直线上的三 ∴.∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)= 点距离相等的点有何特征？如何确定？ 180°-48°=132°. (2)在(1)中所作的图形中存在哪些等腰 三角形？∠ABC与∠ACB的和是多少？ 【方法归纳】 ∠PBA与∠PCA的和呢？ 借助线段垂直平分线的性质解决实际问 解(1)到A,B,C三点雕离相等的点是 题中的作图问题，关键是从实际问题中建立 △ABC三边的垂直平分线的交点. 线段垂直平分线模型，借助尺规完成作图. 处图.连接AB,AC,BC,分别作AC,BC 的垂直平分线，其交点就是所求的点P 20
第一章三角形的证明、 新知·训练巩固 1.在A,B,C三点所在的平面上，到点A,B,C 尺和圆规作直线PQ,使PQ⊥I于点Q”分 距离相等的点(D). 别作出了下列四个图形，其中作法错误的 A.只有一个 是(A). B.有两个 C.有三个或三个以上 D.有一个或没有 2.如图，A,B,C分别表示三个村 庄，AB=1000m,BC=600m, AC=800m.为了丰富群众生 活，拟建一个文化活动中心， B 要求这三个村庄到活动中心的距离相等， 则活动中心P的位置应在(A). A.AB的中点 4.如图，在△ABC中，直线DE是AC的垂直 B.BC的中点 平分线.若AE=3,△ABD的周长为13，则 C.AC的中点 △ABC的周长为19. D.∠C的平分线与AB的交点 3.数学活动课上，四名同学 针对作图问题“如图，已知 直线1和1外一点P,用直 素能·演练提升 1.如图，地面上有三个洞口A,B,C,老鼠可以 A.△ABC三边垂直平分线的交点 从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力 B.△ABC三条角平分线的交点 地顾及三个洞口（到A,B,C三个点的距离 C.△ABC三条高所在直线的交点 相等)，尽快抓到老鼠，应该蹲守在(A). D.△ABC三条中线的交点 21
1家庭作业·数学·八年级·下册·配北师大版 2.由下列条件可以确定等腰三角形的形状和 6.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分 大小的是(D). 别以点A和点C为圆心，以大于AC的长 A.已知等腰三角形的两腰 B.已知一腰和一腰上的高 为半径作弧，两弧相交于M,N两点；②作 C.已知底角的度数和顶角的度数 直线MN交BC于点D,连接AD.若AB= D.已知底边长和底边上的中线长 BD,AB=6,∠C=30°，则△ACD的面积为 3.如图，分别以线段AC的两个 93. 端点A,C为圆心，大于2AC 的长为半径画弧，两孤弧相交 于B,D两点，连接BD,AB, BC,CD,DA.以下结论：①BD垂直平分 7.如图，OE是△ABC的边AC的垂直平分 AC:②AC平分∠BAD:③AC=BD:④四 线，OA平分∠BAC,EO交AB的延长线于 边形ABCD是轴对称图形.其中正确的有 点D,连接CD.求证：OC平分∠ACD. (C). A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④ 4.如图，点O是等腰三角形ABC三边垂直平 分线的交点，AB=AC,且∠A=50°，则 证明DE垂直平分AC, ∠BOC的度数是100°. ..DA=DC,OA=OC. ·.∠DAC=∠DCA,∠OAC=∠OCA. '.∠DAO=∠DCO. D OA平分∠BAC, ..∠DAO=∠OAC (第4题图) (第5题图) .∠OAC=∠OCA, 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3, .∠DC0=∠OCA. BC=5,分别以A,B为圆心，大于号AB的 ∴.OC平分∠ACD. 长为半径画弧，两弧交点分别为点P,Q,过 P,Q两点作直线交BC于点D,则CD的长 是琴 22
第一章三角形的证明 4角平分线 第1课时角平分线的定理 基础·自主梳理 1.角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等 温馨提示 应用角平分线的性质要具有两个条件： 3.角平分线的判定定理 (1)点在角的平分线上； 在一个角的内部，到角的两边距离相等 (2)过这一点作角的两边的垂线段 的点在这个角的平分线上 角平分线的性质是证明两线段相等 4.如图，点P为∠AOB D 的重要方法之一，而且不用再证明两个三 内一点，PD⊥OA,PE⊥ 角形全等】 OB,垂足分别为D,E,且O PD=PE,则∠DOP= 2.如图，AD是△ABC的角平分线.若 ∠EOP.(填“>”“<”或“=”) ∠B=90°，BD=√3，则点D到AC的距离是√3. 核心·重难探究 知识点角平分线的判定 在△DCF和△EBF中， 【例题】如图，点B,C ∠CDF=∠BEF, 分别在∠MAN的两边上， D ∠DFC=∠EFB, BD⊥AM于点D,CE⊥AN A CF=BF, EB N 于点E,BD,CE相交于点F,且BF=CF. ∴.△DCF≌△EBF(AAS). 求证：点F在∠MAN的平分线上 ∴.FD=FE. 思路点拨(1)欲证，点F在∠MAN的平 .点F在∠MAN的平分线上. 分线上，只需证哪两条线段相等？ 【方法归纳】 (2)图中哪两个三角形全等？为什么？ 1.判定角平分线时，需要满足两个条件： 证明，BD⊥AM,CE⊥AN, “垂直”和“相等”. ∴.∠CDF=∠BEF=90°. 23