/儿家庭作业·数学·八年级，下册·配北师大版 2.我们在进行证明的分析过程中，往往采 果”的顺序，这一点应注意把握好.当然，对于 用“执果索因”的方式，即由要证明的结论逆推 较复杂的证明题，分析时往往采用“两头凑”的 到已知条件，而证明的书写则一般是“执因索 方式，即结合结论与已知条件进行全盘考虑 新知·训练巩固 1.如图，在CD上找一点P,使得它到OA,OB A.25° B.30° C.35°D.40° 的距离相等，则应找到(B). A.线段CD的中点 B.CD与∠AOB平分线的交点 C.OC的垂直平分线与CD的交点 (第3题图) (第4题图) D.OD的垂直平分线与CD的交点 4.(2022·四川南充中考)如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点 D,DE∥AB,交AC于点E,DF⊥AB于点 B F,DE=5,DF=3,则下列结论错误的是 (第1题图) (第2题图) (A). 2.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°， A.BF=1 B.DC-3 AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB, C.AE=5 D.AC-9 垂足为E.若DE=1,则BC的长为(A). 5.如图，点P是∠AOC的 A.2+√2 B.2+√5 角平分线上一点，PD⊥ C.2+√5 D.3 OA,垂足为D,且PD= M 3.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交 3,点M是射线OC上一 AB于点D,CD平分∠ACB,若∠A=50°， 动点，则PM的最小值为3. 则∠B的度数为(B). ☑素能·演练提升 1.如图，在△ABC中，∠C A.4 B.3 C.2 D.1 90°，AC=8,DC= AD. 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分 ∠ABC,DE⊥AB,垂足为E,则下列结论 BD平分∠ABC,则点D到AB的距离等 错误的是(C). 于(C). 24
第一章三角形的证明、 在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC, ∠CBE,∠BCD的平分线的交点.其中正确 的是①②③④.（填序号） D A.AD+DE=ACB.DB平分∠EDO 6.如图，在Rt△ABC中， C.DE平分∠ADBD.DC+BE>BD ∠B=90°，以顶点C为圆 心，适当长为半径画弧，分 3.如图，在△ABC中，∠ABC= 别交AC,BC于点E,F,再 50°，∠ACB=60°，点E在 BC的延长线上，∠ABC的 B 分别以点E,F为圆心，大于EF的长为 平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于 半径画弧，两弧交于点P,作射线CP交 点D,BD与AC相交于点O,连接AD.下 AB于点D.若BD=3,AC=10,则△ACD 列结论不正确的是(B). 的面积是15， A.∠BAC=70° B.∠DOC=909 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB= C.∠BDC=35° D.∠DAC=55 90°，∠B=30°，AC=3,AD是 4.已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线， △ABC的角平分线，DE⊥AB 点D为OC上一点，过点D作直线DE⊥ 于点E,连接CE,求CE的长. OA,垂足为点E,且直线DE交OB于点 解，AD是△ABC的角平分线， F,如图所示.若DE=2,则DF=4 ∴·∠EAD=∠CAD ,∠ACB=90°，DE⊥AB, ∴.∠ACD=∠AED=90. PB 在△ACD与△AED中，∠ACD= D (第4题图) (第5题图) ∠AED=90°，∠EAD=∠CAD,AD=AD, 5.如图，已知点P到AE,AD,BC的距离相 ∴.△ACD≌△AED.∴.AE=AC. 等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线 .∠B=30°，∴.∠BAC=60°. 上；②点P在∠CBE的平分线上：③点P △ACE是等边三角形. ..CE=AC=3. 第2课时 三角形的三条角平分线 基础·自主梳理 1.三角形的三条角平分线 温馨提示 三角形的三条角平分线相交于一点，并 任意三角形的三条角平分线的交点 且这一点到三条边的距离相等， 均在三角形的内部。 2.判断下面结论的对错. (1)在三角形内部，到三角形三边距离相 25
家庭作业·数学·八年级，下册·配北师大版 等的点只有一个. (/) (4)等腰三角形的底边中点到两腰的距 (2)在同一平面内，到三角形三边所在直 离相等 (√) 线距离相等的点只有一个. (×) (5)三角形是以它的角平分线为对称轴 (3)三角形的三条角平分线交于一点. 的轴对称图形. (×) (/) 核心·重难探究 知识点三角形的三条角平分线的性质 则S△BC=S△PB+S△PAc+S△mC 的应用 2AB·h+7AC.h+号BC.h=号h(AB十 【例题】如图，在△ABC B ACBC). 中，AB=5,BC=3,AC=4,点 P. 天.32+42=52，即BC十AC=AB2, P是∠A,∠B的平分线的交 ∴.△ABC为直角三角形. 点，试求点P到边AB的距离， 思路点拨由勾股定理的逆定理可知 (AB+AC+BC)-AC.BC. △ABC是直角三角形，所以可求出其面积；又 由点P是角平分线的交点知，点P到三边的距 南号×(5+4+3)·h=×4X3. 离都相等，因此连接PA,PB,PC,将△ABC ∴.h=1,即点P到边AB的距离为1. 分割成三个小三角形，利用S△ABC=S△PAB十 【方法归纳】 S△PC十S△PAC可求得，点P到边AB的距离. 解图，连接PA,PB,PC 三角形角平分线的交点与三角形三个顶 点P是∠A,∠B的平 点的连线把原三角形分割成三个小三角形， 线的交点， 利用分割成的三个小三角形的面积的和等于 .点P到△ABC三边的距离相等. 原三角形的面积，进而求出角平分线的交点 设点P到△ABC三边的距离为h, 到三边的距离.这是面积法解题的有效途径. 新知·训练巩固 1.如图，在平面直角坐标系 2.如图，直线AB∥CD,点P到AB,BC,CD 中，以O为圆心，适当长为 的距离相等，则∠P=90° 半径画弧，交x轴于点M, 交y轴于点N,再分别以 点M,N为圆心，大于司 -D D MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交 (第2题图) (第3题图) 于点P.若点P的坐标为(a,b),则a与b 3.如图，已知AD是△ABC的角平分线.若 的数量关系为a十b=0. AC=8cm,AB=6cm,则△ADC与 △ADB的面积之比为4：3. 26
第一章三角形的证明、 素能·演练提升 1.如图，在△ABC中，AB= 5.如图，在△ABC中，N是三条角平分线的 AC,AD是△ABC的角平分 交点，EF⊥BN于点N,∠BAN=20°， 线，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足 ∠ENA=30°，则∠FNC=20° 分别为E,F,则有下列结论： D ①AD上任意一点到AB,AC的距离相等； ②∠BDE=∠CDF; ③BD=CD,AD⊥BC. (第5题图) (第6题图) 其中正确的个数是(A). 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= A.3 B.2 C.1 D.0 6,BC=8,AB=10,AD是∠BAC的平分 2.如图，点P为定角∠AOB的 线.若P,Q分别是AD和AC上的动点，则 平分线上的一个定点，且 PC+PQ的最小值是登 ∠MPN与∠AOB互补.若 7.如图，在四边形ABCD中， ∠MPN在平面内绕，点P旋转 OA,OB,OC,OD分别是 的过程中，其两边分别与OA,OB相交于 ∠A,∠B,∠C,∠D的平 M,N两点.以下结论：①PM=PN恒成 分线.求证：AB+CD=AD+BC 立；②OM+ON的值不变；③四边形 证明过点O分别作OE1 PMON的面积不变：④MN的长不变.其 AB,OF⊥BC,OG⊥CD,OH1 中正确的个数为(B. AD,垂足分别为E,F,G,H, A.4 B.3 C.2 D.1 则∠AE0=∠AH0=90°. 3.如图，在△ABC中，∠BAC=96°，∠ABC, ,OA平分∠BAD, ∠ACB的平分线相交于点O,则∠OAB的 ..OE=OH. 度数是48°， 在△OAE和△OAH中，OE=OH, OA=OA,.∴.Rt△OAE≌Rt△OAH. .'.AE=AH. B 4.已知一个三角形的面积是30cm2,周长是 同理可得BE=BF,CF=CG,DG= 25cm,则这个三角形两条角平分线的交点 DH. 到这两个角夹边的距离是2.4cm, ..AB+CD=AE+BE+DG+CG= AH+DH-BF+CF=AD-BC. 27
第二章 元一次不等式与一元一次不等式组 1不等关系 ☑基础·自主梳理 1.不等式 3.根据下列不等关系列不等式 般地，用符号“<”（或“≤”），“>”（或 (1)x与y的和不大于 “≥”)连接的式子叫做不等式。 2.列不等式表示不等关系的步骤 (2)a与b的差不小于a与b的和. (1)审题，分清数量的大小关系； 答案(1)x+≤号 (2)a-b≥a+b. (2)列出相等的代数式，用表示不等式关 系的符号列出不等式. 温馨提示 常用的表示不等数量关系的词语与 用数学符号表示转化举例： 明确表明数量 明确表明数量的不等关系 的范国特征 联 ①大于 ①小于 ①不大于①不小于 语 非 ②比…大②比…小 ②不超过 ②不低于 正负 数数 非负数 正 ③超过 ③低于 ③至多 ③至少 ≤ 0000 核心·重难探究 知识点一不等式的定义 (6)a2+2a≥4a-2. 【例1】判断下列各式哪些是等式，哪些 思路点拨根据等式与不等式的定义逐 是不等式 一识别即可. (1)4<5;(2)x2-1>0;(3)x<2.x-5: (4)x=2x+3;(5)3a2+a; 28