儿家庭作业·数学·八年级·下册·配北师大版 第2课时直角三角形全等的判定 基础·自主梳理 1.直角三角形全等的判定 形全等的是(D). 定理斜边和一条直角边分别相等的两 A.斜边和一锐角分别对应相等 个直角三角形全等.可以简述为“斜边、直角 B.两条直角边分别对应相等 边”或“HL”. C.一条直角边与斜边分别对应相等 2.下列条件中，不能判定两个直角三角 D.两锐角对应相等 核心·重难探究 知识点用“HL”判定两直角三角形全等 又，∠AOB=∠DOC, 【例题】如图，∠A .△ABO≌△DCO(AAS). ∠D=90°，AC=DB, ..OB=OC. AC,DB相交于点O.求B 【方法归纳】 证：OB=OC 判定直角三角形全等的方法： 思路点拨(1)由已知条件能得到哪两个 (1)若有一组直角边和斜边分别相等，则 三角形全等？ 用“HL”进行判定. (2)要证OB=OC,可证哪两个三角形全 (2)若有一组锐角和斜边分别相等，则用 等？或哪两个角相等？ “AAS”判定 证法一，∠A=∠D=90°，AC=DB, (3)若有一组锐角和一组直角边分别相 BC=CB, 等：①若直角边是锐角的对边，则用“AAS”判 .Rt△ABC≌Rt△DCB(HL). 定；②若直角边是锐角的邻边，则用“ASA” ∴.∠OBC=∠OCB. 判定 ..OB=OC. (4)若有两组直角边分别相等，则用 证法二.∠A=∠D=90°，AC=DB, “SAS判定 BC=CB,.Rt△ABC≌Rt△DCB(HL). .'.AB=DC. 14
第一章三角形的证明、 新知·训练巩固 1.如图，∠BAD=∠BCD= 3.如图，已知AB⊥BD,ED⊥BD,垂足分别 90°，AB=CB,可以证明 为B,D,AB=CD,AC=CE,则∠ACE= △BAD≌△BCD的理由 90°. 4.如图，在△ABC中，AB= 是(A). AC,D为AC的中点， A.HL B.ASA C.SAS D.AAS DE⊥AB,DF⊥BC,垂足 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD=AC, 分别为点E,F,且DE= DE⊥AB交BC于点E.若∠B=28°，则 DF. ∠AEC等于(B). 求证：△ABC是等边三角形. A.28°B.59° C.60° D.629 证明.AB=AC,∴∠B=∠C DE⊥AB,DF⊥BC, ∴.∠DEA=∠DFC=90°. ,D为AC的中点，.DA=DC 天.DE=DF, '.Rt△ADE≌Rt△CDF(HL). (第2题图) (第3题图) ∴.∠A=∠C.∴.∠A=∠B=∠C ∴△ABC是等边三角形. ☑素能·演练提升 1.如图，∠C=∠D=90°，添加 一个条件，可使用“HL”判定 Rt△ABC与Rt△ABD全 等.以下给出的条件： ①∠ABC=∠ABD:②AC= A.3对B.4对 C.5对 D.6对 AD;③BC=BD:④∠BAC=∠BAD.合适 3.如图，在△ABC中， 的有(B ∠BAC=90°，AB= A.1个 B.2个 AC,AE是经过点A的 B C.3个 D.4个 一条直线，且B,C在 2.如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于 AE的两侧，BD⊥AE于点D,CE⊥AE于 点D,CE⊥AB于点E,BD和CE交于点 点E,CE=2,BD=6,则DE的长 O,AO的延长线交BC于点F,则图中全等 为(D). 的直角三角形共有(D). A.2B.3 C.5 D.4 15
1家庭作业·数学·八年级，下册·配北师大版 4.如图，在Rt△ABC和Rt B (1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF: △EDF中，∠B=∠D, (2)若∠CAE=30°，求∠ACF的度数. 在不添加任何辅助线的 C F (1)证明，∠ABC=90°， 情况下，请你添加一个条件AB=ED(或 ∴.∠CBF=∠ABE=90° BC=DF或AC=EF或AE=CF),使 在Rt△ABE和Rt△CBF中， Rt△ABC和Rt△EDF全等 .AE=CF,AB=CB 5.如图，直线MN∥PQ,MAP ∴.Rt△ABE≌Rt△CBF(HL). AB⊥PQ于点B,点A, (2)解：'AB=CB,∠ABC=90°， D,B,C分别在直线MN P ∴.∠CAB=∠ACB=45°. B C 与PQ上，点E在AB ∠BAE=∠CAB-∠CAE=45° 上，AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则 30°=15°. AB=7. 由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF, 6.如图，在△ABC中，AB ∴.∠BCF=∠BAE=15. CB,∠ABC=90°，点F为 ∴.∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+ AB延长线上一点，点E 45°=60°. 在BC上，且AE=CF. 3 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的定理 基础·自主梳理 1.线段垂直平分线的性质与判定 2.如图，已知直线EF是线段AB的垂直 定理线段垂直平分线上的点到这条线 平分线，M是EF上一点.若MA=6,则MB= 段两个端点的距离相等， 6;若∠AMF=20°，则∠BMF=20°， 定理到一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上 B 温馨提示 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平 1.线段是轴对称图形，线段的垂直平 分∠CAB,DE⊥AB于点E.若CD=3,BD= 分线是线段的一条对称轴， 5,则BE的长为4. 2.线段垂直平分线的性质定理与判 定定理是互逆定理.运用判定定理判定一 条直线是某线段的垂直平分线时，应找到 与这条线段的两个端，点距离相等的两个 点才行. 16
第一章三角形的证明、 核心·重难探究 知识点一线段垂直平分线的性质 【例1】如图，点P是 ∠AOB外一点，点M,N分别 是∠AOB两边上的点，点P 思路点拨(1)∠B与∠D有何数量关 关于OA的对称点Q恰好落 系？再结合直角三角形两锐角互余的特征， 在线段MN上，点P关于OB 你能得到∠DFC=∠A吗？ 的对称点R落在线段MN的 (2)EA与EF具备什么数量关系？ 延长线上.若PM=2.5,PN=3,MN=4,则 (3)你想运用什么方法证明点E在线段 线段QR的长为(A). AF的垂直平分线上？ A.4.5 B.5.5C.6.5 D.7 证明，点E在线段BD的垂直平分 思路点拨(1)直线OA与线段PQ、直线 孩上， OB与线段PR是什么关系？ ∴.ED=EB. (2)线段QM与RN的长各是多少？为 ∴.∠B=∠D. 什么？ ,∠ACB=90° 【方法归纳】 .∠A+∠B=90°，∠D+∠DFC=90°. .∠DFC=∠A. 线段的垂直平分线是证明线段相等的重 天.∠DFC=∠AFE, 要依据之一.在应用时，要注意分清条件与结 ∴.∠AFE=∠A.∴.EA=EF. 论，防止混淆.在含有线段垂直平分线的图形 点E在线段AF的垂直平分线上. 中，含有全等三角形.但在应用时，一般不用 三角形全等的方法来解决，因为应用线段垂 【方法归纳】 直平分线的性质可使解题过程更为简捷.借 要证明某点在一条线段的垂直平分线 助线段垂直平分线的性质解决问题，有时需 上，只要证明这点到已知线段的两个端点的 要作辅助线，其方法是连接线段的端点和垂 距离相等即可.而若证明一条直线是某条线 直平分线上的已知点， 段的垂直平分线，根据“两点确定一条直线” 的基本事实，则需说明两点都在这条直线上 知识点二线段垂直平分线的判定 【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，D是BC延长线上的一点，BD的垂直平 分线交AB于点E,DE交AC于点F.求证： 点E在线段AF的垂直平分线上. 17
儿家庭作业·数学·八年级·下册·配北师大版 新知·训练巩固 1.如图，AC=AD,BC=BD 长为2. 则(A). 4.如图，在△ABC中， A.AB垂直平分CD ∠B=30°，∠C=45°， B.CD垂直平分AB AB的垂直平分线交 B D\E C.AB与CD互相垂直平分 BC于点D,BD=6√2，AE⊥BC于点E, D.CD平分∠ACB 求线段CE的长 2.如图，AB=AC,AB的垂直平分线MN交 解处图，连接AD AC于点D,若∠C=65°，则∠DBC的度数 AB的垂直平分 是(D) 线交BC于点D, A.25° B.20° C.30 D.15 .BD=AD=6√2. ∴.∠DAB=∠B=30° ∴.∠ADE=60°. D :AELBC,.∴DE=AD=3E. (第3题图) ∴.AE=√AD-DE= (第2题图)》 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A= √(6√2)2-(3√2)=3√6. 30°，线段AB的垂直平分线分别交AC,AB .∠C=45°，∴.CE=AE=3√6. 于点D,E,连接BD.若CD=1,则AD的 素能·演练提升 1.两组邻边分别相等的四边形 ∠MBN的关系是(D). 叫做“筝形”.如图，四边形 A.∠MAN>∠MBN ABCD是一个“筝形”，其中 B.∠MAN∠MBN AD=CD,AB=CB.小明同 C.∠MAN+∠MBN=180 学在探究“筝形”的性质时， D.∠MAN=∠MBN 得到如下结论：①AC⊥BD;②AO=CO= 3.如图，在△ABC中， 专AC,③△ABD≌△CBD,其中正确的结 AB的垂直平分线交 D AB于点D,交BC于 论有(D). 点E,连接AE.若 A.0个B.1个C.2个 D.3个 BC=6,AC=5,则 2.已知直线I是线段AB的垂直平分线，M, △ACE的周长为(B). N是直线L上的两点，则∠MAN和 A.8 B.11 C.16 D.17 18