第一章 三角形的证明、 核心·重难探究 知识点一等边三角形的判定 相等的三角形是等边三角形”进行判定， 【例1】如图，延长 (3)若已知该三角形是等腰三角形，则可 △ABC的各边，使得BF= 再寻找一个内角等于60°即可. AC,AE=CD=AB,顺次连 知识点二含30°角的直角三角形的性质 接D,E,F,得到△DEF为等 E 【例2】如图，在等边三 边三角形.求证： 角形ABC中，点D,E分别 (1)△AEF≌△CDE; 在边BC,AC上，且DE∥ (2)△ABC是等边三角形 AB,过点E作EF⊥DE, 思路点拨(1)需要根据AE=AB,AC= 交BC的延长线于点F, BF,证出AF=CE.再结合已知条件即可证出 (1)求∠F的度数； △AEF≌△CDE. (2)若CD=2,求DF的长 (2)由(1)中的三角形全等，可得出 思路点拨(1)△DCE是哪种特殊的三 ∠AFE=∠CED,再结合△DEF是等边三角 角形？为什么？ 形，可知∠DEF=60°，从而得出∠BAC=60°， (2)△DEF是哪种特殊的三角形？ 同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°.因 ∠EDC等于多少度？ 而△ABC是等边三角形. (3)CD与DE的大小关系如何？DF与 证明(1)，BF=AC,AB=AE, DE呢？ ∴.AF=CE 解(1)，△ABC为等边三角形， .△DEF是等边三角形，EF=DE. ∠B=60°. 又'AE=CD,.△AEF≌△CDE. .DE∥AB,∴.∠EDC=∠B=60°. (2)由△AEF≌△CDE,得∠EFA= ,EF⊥DE,∴∠DEF=90 ∠DEC ∴.∠F=90°-∠EDC=30°. :△DEF是等边三角形， (2)∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴.∠DEF=60°. ∴.△EDC为等边三角形. ∴.∠DEC+∠FEC=60° ∴.ED=CD=2. ∴·∠EFA+∠FEC=60° ∠DEF=90°，∠F=30°， .∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°. ∴.DF=2DE=4. 同理可得∠ACB=60°. 【方法归纳】 ∴.∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°. ∴.△ABC是等边三角形 含30°角的直角三角形的性质： (1)在直角三角形中，如果一个锐角等于 【方法归纳】 30°，那么三个角的度数之比是1：2：3. 等边三角形的判定方法的选择： (2)在三角形中，如果三个角的度数之比 (1)若已知三边关系，则考虑运用等边三 是1：2：3，那么有一个锐角等于30° 角形的定义进行判定： (3)在直角三角形中，如果一个锐角等于 (2)若已知三角关系，则根据“三个角都 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 9
儿家庭作业·数学·八年级，下册·配北师大版 新知·饥练巩固 1.下列三角形：①有两个角等于60°的三角 A.4 B.6 C.45D.8 形；②有一个角等于60°的等腰三角形； 3.如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B, ③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰 C为小路端点)和一棵小树(A为小树位 三角形.其中能判定该三角形是等边三角 置).测得的相关数据为：∠ABC=60°， 形的个数是(A). ∠ACB=60°，BC=48米，则AC=48米. A.3B.2 C.1 D.0 2.如图，在Rt△ABC中， CM平分∠ACB交AB 于点M,过点M作 B☒ MN∥BC交AC于点N,且MN平分 ∠AMC.若AN=1,则BC的长为(B). 素能·演练提升 1.如图，∠AOB=60°，OA= BC的方向平移2个单位后，得到△A'B'C', OB,动点C从点O出发， 连接A'C,则△A'B'C的周长为12. 沿射线OB方向移动，以 5.如图，点D是等边三角 AC为边在右侧作等边三 形ABC的边BC延长线 角形ACD,连接BD,则BD所在直线与 上的一点，∠EBC= OA所在直线的位置关系是(A). ∠DAC,CE∥AB.求证： A.平行 B.相交 △CDE是等边三角形. C.垂直 D.平行、相交或垂直 证明.'∠ABE+∠CBE=60°， 2.已知等边三角形ABC的边长为12，D是 ∠CAD+∠ADC=60°，∠EBC= AB上的动点，过点D作DE⊥AC于点E, ∠DAC, 过点E作EF⊥BC于点F,过点F作FG⊥ .∠ABE=∠ADC AB于点G.当点G与点D重合时，AD的 .CE∥AB,∴.∠BEC=∠ABE. 长是(C). .∴.∠BEC=∠ADC A.3 B.4 C.8 D.9 天.'BC=AC,∠EBC=∠DAC, 3.如果三角形三内角度数之比为1：2：3，最 .∴.△BCE≌△ACD. 大边长是8cm,那么最小边长是4cm .CE=CD,∠BCE=∠ACD, 4.如图，在△ABC中， 即∠ECD=∠ACB=60°. AB=4,BC=6,∠B= ∴△CDE是等边三角形 60°，将△ABC沿射线 10
第一章三角形的证明、 2直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 基础·自主梳理 1.直角三角形两锐角的关系 弦为(A). 定理直角三角形的两个锐角互余 A.5 B.6 C.7 D.8 定理有两个角互余的三角形是直角三 5.在△ABC中，AB=12,BC=9,则当 角形 AC=15或3√7时，△ABC是直角三角形 2.如图，直线AC∥BD,AO,BO分别是 6.互逆命题与互逆定理 ∠BAC,∠ABD的平分线，则∠AOB=90°； (1)互逆命题在两个命题中，如果一个 若∠ABO=30°，则∠BAO=60° 命题的条件和结论分别是另一个命题的结论 和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中 一个命题称为另一个命题的逆命题. (2)互逆定理如果一个定理的逆命题 3.勾股定理及其逆定理 经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其 勾股定理直角三角形两条直角边的平 中一个定理称为另一个定理的逆定理， 方和等于斜边的平方。 7.命题：“如果m是整数，那么它是有理 勾股定理的逆定理如果三角形两边的 数”，则它的逆命题为处果m是有理数，郡么 平方和等于第三边的平方，那么这个三角形 它是整数， 是直角三角形 4.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则 核心·重难探究 知识点勾股定理及其逆定理 (1)求证：AD⊥BD; 【例题】如图，在四 (2)求四边形ABCD的面积. 边形ABCD中，∠C= 思路点拨(1)BD的长是多少？△ABD 90°，AB=13,BC=4, CD=3,AD=12. 11
家庭作业·数学·八年级，下册·配北师大版 是什么三角形？ S△CD= ×12×5+2×3×4=30+6=36. (2)四边形ABCD的面积为哪两个三角 形的面积之和？ 【方法归纳】 (1)证明在Rt△BCD中，由勾股定理， 1.涉及直角三角形中的求边长问题，通 得BD=√BC+CD=√/42+3=5. 常用到勾股定理.当图形中涉及等边三角形 在△ABD中，BD=5,AB=13,AD=12, 和等腰直角三角形时，除注意有关性质的应 则AD2+BD2=122+52=169=132=AB2,即 用外，还要注意轴对称等性质的灵活应用. AD2+BD2=AB2. 2.勾股定理的逆定理常用来判定三角形 由勾殷定理的递定理知，△ABD是直角 是直角三角形，其最长边所对的角为直角. 三角形，且∠ADB=90°，即AD⊥BD. (2)解四边形ABCD的面积为S△AwD十 新知·训练巩固 1.将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且 4.如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B 斜边与这根直尺平行.在形成的这个图中， 的坐标为(D). 与∠a互余的角共有(C). A.4个 B.3个C.2个 D.1个 A.(1,1) 2.以下列各组数据为边长，不能构成直角三 B.(5,1) 角形的是(A). C.(5,√5) A.6,7,8 B.8,15,17 C.7,24,25 D.12,35,37 D.(1,√3) 3.下列命题中，其逆命题是真命题的是 5.为了比较5十1与√10的大小，可以构造图 (B). 形进行推算，如图，其中∠C=90°，BC=3, A.对顶角相等 点D在BC上，且BD=AC=1.通过计算 B.两直线平行，同位角相等 可得5+1≥√10.（填“>”“<”或“=”） C.全等三角形的对应角相等 D.正方形的四个角都相等 12
第一章三角形的证明、 素能·演练提升 1.把Rt△ABC与Rt△CDE 4.已知CD是△ABC的边AB上的高，若 放在同一水平桌面上，摆 CD=√3，AD=1,AB=2AC,则BC的长为 放成如图所示的形状，使两 D 25或27 个直角顶点重合，两条斜边平行，若∠B 5.(2022·内蒙古鄂尔多 B 25°，∠D=58°，则∠BCE的度数是(B). 斯中考)如图，AB⊥BC A.83 B.57 于点B,AB⊥AD于点 C.54° D.33° A,E是CD中点，若 D 2.如图，圆柱的高AB=3,底面直 径BC=3.现有一只蚂蚁想从A BC=5,AD=10,BE= 号，则AB的长是 处沿圆柱表面爬到对角C处捕 12. 食，则它爬行的最短距离是(C). 6.如图，在四边形ABCD中， D A.3√1+元 B.32 ∠B=90°，AB=BC=2,CD= C,3√4+x 3,AD=1,求∠DAB的度数， D.3√1+π 2 解∠B=90°， 3.(2022·贵州遵义中考)图①是第七届国际 AB=BC=2, 数学教育大会的会徽，它是由一串直角三 ∴.AC2=AB2+BC2=8,∠BAC=45°. 角形构成.在其主体图案中选择两个相邻 天.CD=3,DA=1, 的直角三角形，恰好能组合得到如图②所 ∴.AC+DA2=8+1=9. 示的四边形OABC.若AB=BC=1, 又.CD=9, ∠AOB=30°，则点B到OC的距离为 ∴.AC+DA2=CD2. (B). △ACD是直角三角形. .∠CAD=90°. ∴.∠DAB=45°+90°=135°. 309 故∠DAB的度数为135°. 0 图① 图② A.5 B26 5 C.1 D.2 13