儿家庭作业·数学·八年级，下册·配北师大版 第2课时 等腰三角形的其他性质与等边三角形的性质 基础·自主梳理 1.等腰三角形的其他性质 温馨提示 等腰三角形两底角的平分线相等，两腰 等边三角形是一种特殊的等腰三角 上的中线相等，两腰上的高相等， 形，它具有等腰三角形的一切性质，等边 知识拓展 三角形也是轴对称图形，有3条对称轴. 由面积法容易得到如下结论：等腰三 3.(2022·海南中 角形底边上任意一点到两腰的距离和等 考)如图，直线m∥n, 于一腰上的高， △ABC是等边三角形， 2.等边三角形的性质 顶点B在直线n上，直线 等边三角形的三个内角都相等，并且每 m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°， 个角都等于60°， 则∠2的度数是(B). A.80° B.100°C.120°D.140 核心·重难探究 知识点等边三角形的性质 即∠BCE=∠ACD. 【例题】如图， 在△ACD和△BCE中， △ABC,△CDE均为等边 .AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE, 三角形，连接AD,BE交 ∴.△ACD≌△BCE.∴.∠CAD=∠CBE. 于点O,AC与BE交于点 .∠APO=∠BPC, P.求证：∠AOB=60° ∴.∠AOP=∠BCP=60°，即∠AOB=60°. 思路点拨(1)△ACD与△BCE有何关 【方法归纳】 系？∠CAD与∠CBE是否相等？ 正确地利用等边三角形中隐含的条件证 (2)∠AOB与∠ACB有何大小关系？为 明全等是解决本题的关键.若当条件中已知 什么？ 边求角的度数时，要考虑应用“等边对等角” 证明，'△ABC和△ECD都是等边三角 将边相等转化为角相等；当出现等边三角形 形，.AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE= 求角的度数时，要想到应用“等边三角形的每 60°. 个内角都等于60”. .∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE, 4
第一章三角形的证明、 新知·训练巩固 1.下列说法不正确的是(C). 3.如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC A.等腰三角形两腰上的中线相等 的中点，则∠BAD=30°， B.等腰三角形两底角的平分线相等 4.如图，在等边三角形ABC C.等腰三角形的高、中线、角平分线互相 中，点D为BC延长线上一 重合 点，点E为CA延长线上一 D.等边三角形同一条边上的高、中线互相 点，且AE=DC.求证： 重合 AD=BE. 2.如图，在△PAB中，PA=PB,M,N,K分 证明在等边三角形ABC中， 别是边PA,PB,AB上的点，且AM=BK, ∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC BN=AK.若∠MKN=44°，则∠P的度数 .∠BAE=∠ACD=120°. 为(D). 又AE=DC, A.44°B.66°C.88°D.92 ∴.△ABE≌△CAD. ∴.AD=BE. (第2题图) (第3题图) 素能·演练提升 1.如图，已知D为△ABC的边AB的中点， 2.如图，等边三角形ABC的边长为2，过点B 点E在边AC上，将△ABC沿着DE折叠， 的直线L⊥AB,且△ABC与△A'BC'关于 使点A落在边BC上的点F处.若∠B= 直线1对称，D为线段BC'上一动点，则 65°，则∠BDF等于(C). AD+CD的最小值为(A). A.30° B.40° A.4 B.3√2 C.50° D.60 C.2√5 D.2+3 3.如图，在△ABC中，AB= AC=2,P是BC上任意 A 一点，PE⊥AB于点E, PF⊥AC于点F,若S△ABC=1,则PE十 (第1题图) (第2题图) 5
1家庭作业·数学·八年级，下册·配北师大版 PF=1. 证明地下：，△ABC是等边三角形， 4.如图，在等边三角形ABC AD1BC,∠DAC-2X60°=30. 中，AD⊥BC于点D,以 AD为一边向右作等边三 ,△ADE是等边三角形， 角形ADE,判断AC,DE ∴.∠ADE=60°. 的位置关系，并给出证明. .∠AFD=180°-30°-60°=90°， 解AC⊥DE. 即AC⊥DE. 第3课时 等腰三角形的判定与反证法 基础·自主梳理 1.有两个角相等的三角形是等腰三角 1:1:1;④内角比为1：2：3.其中是等腰三 形.这一定理可以简述为：等角对等边 角形的有①②③.（填序号） 2.如图，在Rt△ABC 4.反证法 中，∠ACB=90°，CA=CB, 在证明时，先假设命题的结论不成立，然 AB=2,过点C作CD⊥AB, A 后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知 垂足为D,则CD的长为(C). 条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一 A子 B司 C.1 D.2 定成立.这种证明方法称为反证法 5.用反证法证明“一个三角形中不能有 3.满足下列条件的三角形：①内角比为 两个角是钝角”，我们可先假设这个三角形中 1：2:1:②内角比为2：2：5；③内角比为 有两个角是纯角，与之相矛盾的定理是三角 形内角和定理。 核心·重难探究 知识点等腰三角形的判定 两个三角形中？这两个三角形全等吗？ 【例题】如图，在△ABC (2)∠ABC与∠ACB分别在哪两个三角 中，点D,E分别在边AC,AB 形中？它们相等吗？ 上，BD=CE,∠DBC=∠ECB. 证明，BD=CE,∠DBC=∠ECB,BC= 求证：AB=AC. CB,∴.△BCE≌△CBD. 思路点拨(1)条件“BD=CE”与 ∴.∠ABC=∠ACB. “∠DBC=∠ECB”中涉及的边、角分别在哪 .'.AB=AC. 6
第一章三角形的证明、 【方法归纳】 (1)“角平分线十平行线”构造等腰三角 形，应用平行线的性质得到角的相等关系，应 1.等腰三角形的判定方法“等角对等边” 用“等角对等边”得到边相等， 是证明两条线段相等的重要方式之一，当所 (2)“角平分线十垂线”构造等腰三角形， 要证明相等的两条线段（或与之相等的相关 逆用等腰三角形的“三线合一”的性质， 线段)在同一个三角形中，即可考虑运用该判 (3)利用“三角形中角的2倍关系”构造 定方法进行证明， 等腰三角形 2.构造等腰三角形的“三个方法”： 新知·训练巩固 1.如图，在△ABC中，AB=AC, 3.用反证法证明“在一个三角形中，至少有一 ∠C=72°，BC=√5，以点B为 个内角大于或等于60”时，可先假设“三角 圆心，BC为半径画弧，交AC 形的三个内角都小于60”，然后可证明与 于点D,则线段AD的长为 “三角形内角和定理”相矛盾，从而可知原 (C). 命题为真命题， 4.如图，AC和BD相交于 D A.2√2B.2√3C.√5 D.√6 2.由8个全等的小长方形组成 点O,且AB∥DC,OA= 的大正方形如图所示，线段 OB AB的端点都在小长方形的 求证：OC=OD. 顶点上，如果点P是某个小 证明，OA=OB, 长方形的顶点，连接PA,PB,那么使 ∴.∠A=∠B. △ABP为等腰直角三角形的点P的个数 .AB∥DC, 是(B). ∴∠A=∠C,∠B=∠D A.2B.3 C.4 D.5 .∠C=∠D. ∴.O℃=OD. 素能·演练提升 1.四张形状不同的纸片如图所示，用剪刀沿 一条直线将它们分别剪开（只允许剪一 次)，不能得到两个等腰三角形纸片的是 4670加 4670°30B A B (B). 7
儿家庭作业·数学·八年级·下册·配北师大版 4.用反证法证明：在一个三角形中，如果两个 27.59 209 △70° 人70° 角不相等，那么它们所对的边也不相等。 证明假设在一个三角形中，这两个角所对 2.在Rt△ABC中，∠ACB= 的边相等，那么根据等边对等角，它们所对 的两个角也相等，这与已知条件相矛盾，所 90°，CD⊥AB于点D,CE A 以假设不成立.因此，在一个三角形中，她 平分∠ACD交AB于点 果两个角不相等，那么它们所对的边也不 E,则下列结论一定成立的是(C) 相等. A.BC=EC B.EC=BE 5.如图，∠BAC= C.BC=BE D.AE=EC ∠ABD,AC=BD, 3.如图，在△ABC中，D为 点O是AD,BC的交点，点E是AB的中 AB上一点，E为BC上 点.试判断OE和AB的位置关系，并给 一点，且AC=CD=BD= 出证明. 解OE⊥AB.证明地下： BE,∠A=50°，则∠CDE的度数为(D). 在△BAC和△ABD中， A.50°B.51° C.51.5°D.52.5° ,AC=BD,∠BAC=∠ABD,AB= BA,∴.△BAC≌△ABD(SAS). ·∠OBA=∠OAB..OA=OB. 又.AE=BE,∴.OE⊥AB. 第4课时等边三角形的判定 基础·自主梳理 1.等边三角形的判定 2.如果一个三角形是轴对称图形，且有 定理三个角都相等的三角形是等边三 一个角等于60°，那么这个三角形是等边三 角形. 角形. 定理有一个角等于60°的等腰三角形是 3.含30°角的直角三角形的性质 等边三角形 定理在直角三角形中，如果一个锐角 温馨提示 等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 1.等腰三角形中的60°角既可以是顶 一 角，也可以是底角 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°， 2.等边三角形包括定义在内共有三 ∠A=30°，CD⊥AB于点D,AB=4cm,则 种判定方法，在实际应用时要根据具体的 BC=2cm,BD-1cm. 已知条件选择合适的判定方法. 8