系统态（多粒子态）和单粒子态 Fermion Firmim E年t1元1 3 8 90名，四> 8界 1名g,①月)为④ 海 E {1四名四月wg吵 干)名8四 心发/四心> 098 1么Q刻 9/2=0 E:4E W=1 中8管智9世留
系统态（多粒子态）和单粒子态 Fermion
系统态（多粒子态）和单粒子态 。经典粒子 p(E=4e1) C1W(E=4e1) C1/C2 p(E=E1+2E2+E3) C2W(E=E1+2E2+E3) 48 Q全同Boson p(E=4e1) C1W(E=4e1) C1/C2 p(E=E1+2E2+E3) C2W(E=E1+2E2+E3) 3 a全同Fermion p(E=4e1) C1W(E=4e1) =0 p(E=E1+2E2+E3) C2W(E=E1+2E2+E3) 相同外界条件下，Fermionic系统处于高能量的可能性>经 典粒子系统>Bosonic系统
系统态（多粒子态）和单粒子态 经典粒子 𝑝(𝐸 = 4𝜀1) 𝑝(𝐸 = 𝜀1 + 2𝜀2 + 𝜀3) = 𝐶1𝑊 (𝐸 = 4𝜀1) 𝐶2𝑊 (𝐸 = 𝜀1 + 2𝜀2 + 𝜀3) = 𝐶1/𝐶2 48 全同 Boson 𝑝(𝐸 = 4𝜀1) 𝑝(𝐸 = 𝜀1 + 2𝜀2 + 𝜀3) = 𝐶1𝑊 (𝐸 = 4𝜀1) 𝐶2𝑊 (𝐸 = 𝜀1 + 2𝜀2 + 𝜀3) = 𝐶1/𝐶2 3 全同 Fermion 𝑝(𝐸 = 4𝜀1) 𝑝(𝐸 = 𝜀1 + 2𝜀2 + 𝜀3) = 𝐶1𝑊 (𝐸 = 4𝜀1) 𝐶2𝑊 (𝐸 = 𝜀1 + 2𝜀2 + 𝜀3) = 0 ☞ 相同外界条件下，Fermionic 系统处于高能量的可能性 > 经 典粒子系统 > Bosonic 系统
分布函数 微观描述：系统态、多粒子波函数Ψ)→分布函数as or a1→ 宏观描述：内能密度u(r),粒子数密度p(r),总能量 分布函数：每个态/能级上有几个粒子占据as/a 霉从分布函数可以得到宏观描述 pn=2s-nim-之，oP-2a.or 求密度时，不关心具体粒子，只要知道每个态上的粒子数即可 u0=m立edg-rm-立，op-a,,o U==∑s=∑6a,=∑sa N=∑1=∑a,=∑a4 不同的分布函数代表不同的宏观态，可以是平衡态， 也可以是非平衡态
分布函数 微观描述：系统态、多粒子波函数 |Ψ⟩ ⇒ 分布函数 𝑎𝑠 or 𝑎𝑙 ⇒ 宏观描述：内能密度 𝑢(𝒓)，粒子数密度 𝜌(𝒓)，总能量 · · · 分布函数：每个态/能级上有几个粒子占据 𝑎𝑠/𝑎𝑙 ☞ 从分布函数可以得到宏观描述 𝜌(𝒓) = ⟨Ψ| Õ 𝑁 𝑖=1 𝛿(𝒓 − 𝒓𝑖)|Ψ⟩ = Õ 𝑁 𝑖=1 |𝜓𝑠𝑖 (𝒓)|2 = Õ 𝑠 𝑎𝑠 |𝜓𝑠 (𝒓)|2 ✞ ✝ ☎ 求密度时，不关心具体粒子，只要知道每个态上的粒子数即可 ✆ 𝑢(𝒓) = ⟨Ψ| Õ 𝑁 𝑖=1 𝜀𝑠𝑖 𝛿(𝒓 − 𝒓𝑖)|Ψ⟩ = Õ 𝑁 𝑖=1 𝜀𝑠𝑖 |𝜓𝑠𝑖 (𝒓)|2 = Õ 𝑠 𝑎𝑠𝜀𝑠 |𝜓𝑠 (𝒓)|2 𝑈 = ⟨Ψ|𝐻ˆ |Ψ⟩ = Õ 𝑖=1 𝜀𝑠𝑖 = Õ 𝑠 𝜀𝑠𝑎𝑠 = Õ 𝑙 𝜀𝑙𝑎𝑙 𝑁 = Õ 𝑖 1 = Õ 𝑠 𝑎𝑠 = Õ 𝑙 𝑎𝑙 ☞不同的分布函数代表不同的宏观态，可以是平衡态， 也可以是非平衡态
7.2 Boltzmann统计 等几率假设：分布为{a}的宏观态出现几率 p({a)c2(E,N,V,{a}):分布对应的系统微观态数目 非全同粒子组成的系统的2(E,N,V,{a) 2(E,N,V,{am》=C%C-a…CN-a-a--a-1 N (N-a1)! (W-a1-a2-·-a1-1! a1!(N-a1)！a2!(N-a1-a2)J a!(N-a)！ N! E=∑=∑a,s=∑a N=∑1=a=∑a
7.2 Boltzmann 统计 ☞ 等几率假设：分布为 {𝑎𝑙} 的宏观态出现几率 𝑝({𝑎𝑙}) ∝ Ω(𝐸, 𝑁, 𝑉, {𝑎𝑙})：分布对应的系统微观态数目 非全同粒子组成的系统的 Ω(𝐸, 𝑁, 𝑉, {𝑎𝑙}) Ω(𝐸, 𝑁, 𝑉, {𝑎𝑙}) = 𝐶 𝑎1 𝑁 𝐶 𝑎2 𝑁 −𝑎1 · · ·𝐶 𝑎𝑙 𝑁 −𝑎1−𝑎2−···−𝑎𝑙−1 · · · × 𝜔 𝑎1 1 𝜔 𝑎2 2 · · · 𝜔 𝑎𝑙 𝑙 · · · = 𝑁! 𝑎1!(𝑁 − 𝑎1)! (𝑁 − 𝑎1)! 𝑎2!(𝑁 − 𝑎1 − 𝑎2)! · · · (𝑁 − 𝑎1 − 𝑎2 − · · · − 𝑎𝑙−1! 𝑎𝑙!(𝑁 − 𝑎𝑙)! · · · × 𝜔 𝑎1 1 𝜔 𝑎2 2 · · · 𝜔 𝑎𝑙 𝑙 · · · = 𝑁! 𝑎1!𝑎2! · · · 𝑎𝑙! · · · 𝜔 𝑎1 1 𝜔 𝑎2 2 · · · 𝜔 𝑎𝑙 𝑙 · · · = 𝑁! Î 𝑙 𝑎𝑙! Ö 𝑙 𝜔 𝑎𝑙 𝑙 𝐸 = Õ 𝑖 𝜀𝑠𝑖 = Õ 𝑠 𝑎𝑠𝜀𝑠 = Õ 𝑙 𝑎𝑙𝜀𝑙 𝑁 = Õ 𝑖 1 = Õ 𝑠 𝑎𝑠 = Õ 𝑙 𝑎𝑙
热力学平衡态台最可几态 Stirling公式： nN!≈NlnW-W hn=lhr-∑na+∑ 假设a,很大 =NinN-N-∑a,lna-a）+∑ain =∑awn∑)-2rdaa-hai W=∑1a1 {a→a+6al} (x Inx)'=Inx +1 =[in()a-(n+1-In6a =∑laN-n器lsa a不独立
热力学平衡态 ⇔ 最可几态 ln Ω = ln 𝑁! − Õ 𝑙 ln 𝑎𝑙! + Õ 𝑙 𝑎𝑙 ln𝜔𝑙 ✞ ✝ ☎ 假设 ✆ 𝑎𝑙 很大 = 𝑁 ln 𝑁 − 𝑁 − Õ 𝑙 (𝑎𝑙 ln 𝑎𝑙 − 𝑎𝑙) + Õ 𝑙 𝑎𝑙 ln𝜔𝑙 = ( Õ 𝑙 𝑎𝑙) ln( Õ 𝑙 𝑎𝑙) − Õ 𝑙 𝑎𝑙(ln 𝑎𝑙 − ln𝜔𝑙) ✞ ✝ ☎ ✆ 𝑁 = Í 𝑙 𝑎𝑙 {𝑎𝑙 → 𝑎𝑙 + 𝛿𝑎𝑙} (𝑥 ln 𝑥) ′ = ln 𝑥 + 1 0 = 𝛿 ln Ω = [ln( Õ 𝑙 𝑎𝑙) + 1] Õ 𝑙 𝛿𝑎𝑙 − Õ 𝑙 (ln 𝑎𝑙 + 1 − ln𝜔𝑙)𝛿𝑎𝑙 = Õ 𝑙 h ln 𝑁 − ln 𝑎𝑙 𝜔𝑙 i 𝛿𝑎𝑙 0 = 𝛿𝐸 = Õ 𝑙 𝛿𝑎𝑙𝜀𝑙 0 = 𝛿𝑁 = Õ 𝑙 𝛿𝑎𝑙 ✞ ✝ ☎ ✆ 𝑎𝑙 不独立 ☛ ✡ ✟ ✠ Stirling 公式： ln 𝑁! ≃ 𝑁 ln 𝑁 − 𝑁